Fizik

Fizikte Sürekli Simetriler ve Korunum Yasaları Üzerine Kısa Bir Bakış

İnsanlar tarihin eski zamanlarından beri simetriden her zaman etkilenmiştir çünkü simetrik cisimler mükemmelliği, dengeyi ve düzeni anlatan şekillerdir. İyonlar, Yunanlar ve antik zamanların doğa bilimcilerinin yetiştiği birçok uygarlığa ait bulunan yazılı kayıtlarda, insanların doğayı simetrik görmek istediği görülmüş, en simetrik geometrik şekil olan küre, daire ile evreni, dünyayı ve kutsalı açıklamaya çalışmıştır. Simetri, her zaman olabildiğince basit olmayı amaçlayan, evrenin zarif bir açıklaması gibidir. Nedeniyle ilgili bir fikir edinmek için, fizikçilerin “simetri” kelimesiyle ne demek istediğini ve o zamandan beri neredeyse her büyük keşfin temelini oluşturan büyük ölçüde unutulmuş bir matematikçi olan Emmy Noether’in çarpıcı iç görüsünü anlamanız gerekir.

Fizikte Simetri

Fiziksel bir sistemi tanımlamak için iki yolumuz vardır. Birincisi başlangıç koşullarını kullanarak sistemin özelliklerini bulmaya çalışmak ki bu çözüme ulaşma açısından belirsiz ve zor bir yoldur. Diğer bir yöntem ise korunum yasalarının kullanılması ile başlangıç koşullarından bağımsız sistemi çözmeye çalışmaktır. Bilimsel anlamıyla simetrinin tanımı dönüşümler ve yansımalar altında değişmez olan matematiksel sistemlerdir. Fiziksel bir sistemi ele aldığımızda iki farklı simetri türü ile karşılaşırız: sürekli simetriler ve süreksiz simetriler. Her iki simetri türünü de grup teorisi ile açıklamakla birlikte, sürekli simetriler Lie Grubu ile; süreksiz simetriler ise Sonlu Gruplar ile ilgilidirler.

Süreksiz simetrileri gördüğümüz yerlerden bazıları kuantum fiziğinde harmonik salınım, elektron orbitlerine göre dalga denklemi ve kimya problemleridir. Sonlu gruplar belirli bir sayıda dönüşüm ve yansıma ile elde edilen cebirleri ve topoloji problemlerini içerir. Merkezinden dairesel olarak çevirdiğimiz bir kare düşünelim, karenin aynı konuma tekrar gelmesi için tam tur dönmesi gerekir bu sonlu gruplara bir örnektir. Sürekli simetriler ise fiziksel bir sistemin sonsuz küçük ve sürekli dönüşümler altında her yerde aynı davrandığı simetri türüdür. Üç boyutlu uzayda koordinat sistemi değişimleri Lie Gruplarına ve sürekli simetriye örnek olarak verilebilir. Öyleyse simetri, özel grup dönüşümleri altında değişmez olan matematiksel ya da fiziksel sistemlerdir.

Korunum Yasalarında Ve İnvaryantlarda Simetri

Her korunum yasası için bir simetri vardır. Her simetri için bir kuvvet alanı vardır. Her kuvvet alanı için bir korunum yasası vardır.

Robert L. Mills

Değişmezlik kavramının, bir sisteme yapılabilecek tüm işlemler yapıldığında hala aynı kalan niceliklere dendiğini öğrenmiştik. Bu fizikte ise herhangi bir dönüşüm altındaki fizik yasalarının aynı kalmasıdır. Işık hızı, kütle, yük, spin gibi fiziksel nicelikler değişmezlere örnek olarak verilebilir. Son kez daha basit bir örnekle değişmez kavramı üzerinde duralım. Bulunduğumuz odanın sıcaklığını odanın farklı yerlerinde ölçersek her yerde aynı sonucu alırız. Bu durum, sıcaklığın ölçüm yaptığımız sistemde değişmez olduğunu gösterir.

Emmy Noether, 1915 yılında yayınladığı çalışmasında sürekli simetriler altında değişmez kalan fiziksel niceliklerin korunum yasaları ile ilişkisini matematiksel olarak ispatladı. Korunum yasaları, doğada hangi süreçlerin meydana gelip gelemeyeceğini tanımlamaları açısından doğa ve evreni anlamanın temelini oluşturur. Korunum yasalarını, sürekli simetriler ile ilişkilendirdiğimiz için diferansiyellenebilir denklem çözümlemeleri ile elde edebiliriz. Bu yasaları kullanarak kullanarak korunumlu nicelikleri ve hareketi tanımlayabilir, sistemin özelliklerini diğer çözüm türlerinden çok daha hızlı hesaplayabiliriz. Örneğin; Zaman öteleme simetrisi enerjinin korunumunu; Uzay ötelemesi momentumun korunumunu, Dönmelerdeki simetri açısal momentumun korunumunu ve galgalarda faz ötelemesi elektrik yükünün korunumunu gösterir.

Klasik Fizikte Simetri

Dünya’nın Güneş etrafında dönüşü

Dünya Güneş’in etrafında dönerken eliptik yörüngeden dolayı Güneş’e yaklaşıp uzaklaşır. Kendi etrafında dönerken Güneş’e bakan yüzeyi sürekli değişir ve bu sırada zaman akmaya devam eder. Uzay ve zaman üzerinde sürekli bir değişim vardır ancak ne yörüngeden çıkıyoruz, ne de güneşe yaklaşıyoruz yani Dünya ve Güneş arasında değişmeyen bir etki var diyebiliriz.

Newton’un kütle çekim yasasına göre iki cisim arasındaki kuvvet mesafenin ters karesi ile orantılıdır. Bu yasa evrenin herhangi bir yerinde veya herhangi bir zamanında, cisimlerin birbirlerine göre yönü fark etmeksizin aynıdır. Öyleyse çeşitli ötelemeler altında herhangi iki cisim arasındaki kütle çekim kuvveti değişmez diyebiliriz. Newton hareket yasaları sonrası fizikçiler ve matematikçiler bu yasalara alternatif olacak yasalara ulaşmak için çalışmalar yaptılar. Daha sade ve daha simetrik denklemler elde edilmesiyle sonuçlanan bu çalışmalar sonucunda, klasik fizik daha bütün ve sade bir hal aldı.

En az eylem ilkesini kullanarak simetri işlemlerinden korunum yasalarını türetebiliriz. Lagrange ve Hamilton denklemlerinde, mekanik sistemlerde yalnızca kinetik enerji ve potansiyel enerjinin kullanılması ile hareket denklemleri ve korunum yasaları elde edilebilir. Hamilton işlemcisi (H)= Kinetik Enerji (T) + Potansiyel Enerji (U) şeklindedir ve türevlenebilir bir denklemdir. Denklemden görüyoruz ki Hamilton işlemcisinin kendisi toplam enerji ile denktir.

Güneş ve Dünya örneğindeki gibi uzaysal ve zamansal değişimlerden bağımsız bir sistem içerisinde Hamilton işlemcisinin bize vereceği bilgiler şunlardır: zamana göre türevi sıfırı verir, böylece enerjinin korunumunu göstermiş oluruz aynı zamanda konuma göre türev aldığımızda sıfır elde ederiz bu da momentumun korunumudur. Hareket denklemlerini de elde ettiğimizde sistemi çözmüşüz demektir. Öyleyse bir sistemi simetri altında çözersek, çok daha hızlı bir şekilde sistem hakkında bilgiler toplayabiliriz demektir. Hamilton prensibinin simetriye olan dayanağı sayesinde elektrodinamik, görelilik ve kuantum mekaniği içinde farklı varyasyonlar altında geçerliliğe sahip olduğunu görürüz.

Elektromanyetizmadan bir örnekle klasik fiziğe son bir örnek verelim. Kapalı bir devre de güç kaynağından çıkan akım miktarı, devrenin tamamından geçip tekrar güç kaynağına gelen akım ile aynı miktardadır. Bunu elektrik yükünün korunumuna örnek olarak verebiliriz. Daha kapsamlı bir örnek verecek olursak global ve yerel yük korunumu yasasına göre evrendeki toplam yük her zaman aynıdır. Bundan dolayı yüklü bir parçacığı sürekli bir yol üzerinde İstanbul’dan Muğla’ya getirdiğimizi hayal edersek, sistemin yükünün değişmeden kaldığını görürüz. Süreklilik denklemleri sayesinde sistemin elektrodinamik durumu hakkında bilgi sahibi olabiliriz.

Görelilikte Simetri

Einstein uzay ve zamanın birbirinden bağımsız kavramlar olmadığını ve bu iki kavramın aslında tek bir şeyi oluşturduğunu keşfetti: uzayzaman. Minkowski uzayı olarak bilinen, zamanın da koordinat sistemine eklendiği 3 uzaydan ve 1 zamandan oluşan geometridir. Minkowski uzayında, Einstein’ın farklı eylemsiz referans sistemlerindeki hareket denklemleri ile ilgili çalışmaları Lie grubunun bir alt dalı olan Lorentz grubunda incelenir. Daha önce Öklid uzayında L uzunluğundaki bir cismin değişen durumlarda başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki mesafesinin aynı kaldığına (yine L olduğuna) değinmiştik.

Özel görelilikte bu tür bir değişmez var mı bunu inceleyelim: Öklid uzayında mesafenin nasıl hesaplandığını bildiğimizi varsayarak artı bir boyut olan zaman eklentisi ile Minkowski uzayında özel görelilikteki değişmezliği belirlemek için benzer bir hesaplama yapacağız. Einstein’ın özel göreliliğin temelini oluşturan ilk postulatı: “Fizik yasaları bütün eylemsiz referans sistemlerinde aynıdır.” Görelilikte, iki farklı referans sisteminden hareketi incelediğimizde metriğin/mesafenin aynı kaldığını görürüz.

Mesafeleri hesapladığımızda birbirine eşit olduğunu görürüz. Metriğin invaryant kalmasının bir sonucu olarak fizik yasalarının farklı referans sistemlerinde değişmediğini görüyoruz böylece bir referans sistemini tanıdığımızda ikinci referans sisteminin ilgili hareket denklemlerini kolayca elde edebilir, olay incelemesi yapabiliriz. Einstein, keşfettiği durgun enerji denklemi E= mc2 ile birlikte kütlenin korunumu ve enerjinin korunumu yasasını bir araya getirdi. Enerji ve kütlenin birbirine dönüşebileceğini ancak bir sistemdeki enerji ve kütlenin toplamının her zaman sabit kaldığını gösterdi. Buna örnek olarak yıldızlarda meydana gelen füzyon tepkimelerini örnek verebiliriz, tepkimelerde açığa çıkan enerji kütlenin bir dönüşümüdür.

Kuantumda Simetri

Grup teorisi işlemcileri ile simetrinin kuantum mekaniğine dair birçok sonucu çıkar. Bir sistemin iç mekanizmasını bilmesek dahi simetri işlemlerinde ilk ve son durum bize sistem hakkında, faz farkı hakkında bilgi verir. Eğer bu sistem bir Hamilton işlemcisi ile işleme sokuluyorsa enerjisine, momentumuna ve açısal momentumuna dair bilgiler edinebiliriz ve sistemin simetri karakterini biliyor oluruz. Örnek olarak uzaydan bağımsız bir Hamilton işlemcisi düşünelim. Kuantum dünyası ile uyumlu bir parçacığın tanımlanabilir bir momentuma sahip olduğunu varsayarsak momentumu etkiyecek herhangi bir aktivite (çarpışma, patlama vb) sonrası momentumunun değişmeden kaldığını görürüz. Rotasyonla ilgili durumları süper pozisyon ilkesi ile bir araya getirebiliriz ve değişmeyen tek bir dönme durumu elde edebiliriz: atomik spektrumları yöneten seçim kuralları, en düşük enerji seviyesi rotasyonel simetrinin bir sonucudur.

Grup işlemcileri sayesinde fizikte simetrinin sonuçlarıyla sürekli karşılaşırız. Birkaç genel alandan kısa örnekler vererek fizik yasalarının simetriden nasıl etkilendiğini görmüş olduk. Ancak doğanın tamamen simetrik bir sistem olduğunu söyleyemeyiz. Kepler gezegen yörüngelerinin dairesel olması için uğraşmasına rağmen daireden daha az simetrik bir yapıda olan eliptik yörüngeleri keşfetmişti.


Kaynaklar:

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.