Ehrenfest Paradoksu, yalnızca çemberlerin geometrik özelliklerini değil, aynı zamanda fizik ile geometri arasındaki ilişkiyi de sorgulayan temel bir problemdir.
Matematik ve geometri eğitiminde yıllardır öğretilen temel bir gerçek vardır. Bir çemberin çevresi, yarıçapı ve π sayısı arasında değişmez bir ilişki mevcuttur. Bu ilişki C = 2πr biçimindedir.
Bu denklem Antik Çağ’dan beri bilinmektedir. Eski Mısır ve Çin medeniyetleri, çemberin çevresinin her zaman çapıyla orantılı olduğunu fark etmişti. MÖ 3. yüzyılda Arşimet bu oranı daha hassas biçimde hesapladı. 18. yüzyılda ise matematikçiler, π’nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve ondalık açılımının sonsuza kadar devam ettiğini kanıtlayarak bu sabitin doğasını daha iyi ortaya koydular.
Bu bilgiler ışığında, bir bisiklet tekerleğinin ya da dev bir dönme dolabın çevresini hesaplamak kolaydır.
Örneğin yarıçapı 50 santimetre olan bir bisiklet tekerleği için çevre Ç = 2π × 0,5 = π metre olur. Aynı şekilde, yüksekliği 100 metre olan bir dönme dolabın yarıçapı 50 metre olduğundan çevresi C = 2π × 50 = 100π metre olarak bulunur.
Çember ne kadar büyük ya da küçük olursa olsun, bu formülle çevresi hesaplanabilir. Bu nedenle, 2πr bağıntısının evrensel olarak geçerli gibi gelir. Ancak işin ilginç yanı burada ortaya çıkar. Çember dönmeye başladığında, özellikle hız çok yükseldiğinde, bu ilişki artık sorgulanabilir hâle gelir.
Dönme hareketi, özellikle ışık hızına yakın hızlarda, klasik geometrinin varsayımlarını zorlar. Bu da bizi fiziğin derinliklerinde yer alan beklenmedik bir paradoksa götürür.
Ehrenfest Paradoksu Nedir?
Albert Einstein’ın Özel Görelilik Teorisi, hareket eden cisimlerin hızları ışık hızına yaklaştıkça, hareket yönündeki uzunluklarının kısaldığını öngörür. Bu etki yalnızca çok yüksek hızlarda fark edilir hâle gelir.
Dönen referans sistemlerinin işin içine girmesi, görelilik kuramı açısından önemli bir düşünsel sorun ortaya çıkarmıştır. Einstein ve Max Born, 1909 yılında Özel Görelilik Teorisi üzerinde çalışırken bu güçlükle karşılaşmıştır. Aynı dönemde Paul Ehrenfest de, bağımsız olarak, özel göreliliğe göre dönen bir diskin çevresini ölçmek için kullanılan ölçüm çubuklarının, hareket yönünde kısalma yaşayacağını fark etmiştir.
Bu nedenle diskin çevresi hareket yönünde olduğu için, çevreyi ölçmekte kullanılan ölçüm çubukları kısalır. Bu durumda daha fazla çubuğa ihtiyaç duyulur. Buna karşılık, diskin yarıçapını ölçen çubuklar hareket yönüne dik konumda oldukları için bu etkiden etkilenmez. Diğer bir deyişle yarıçap değişmeden kalır.
Duruma bir örnek verelim. Tekerleğin çevresi boyunca ölçüm çubuklarını uç uca dizdiğimizi düşünelim. (Bu çubukların, tekerleğin eğriliğine uyum sağlayacak şekilde eğri olması gerekir.) Tekerlek döndüğünde, bu ölçüm çubukları da hareket yönünde büzülür ve aralarında boşluklar oluşur. Bu boşlukları kapatmak için daha fazla ölçüm çubuğu yerleştirmek gerekir.
Ortaya çıkan sonuç oldukça dikkat çekicidir. Dönen bir diskte çevrenin yarıçapa oranı, Öklid geometrisinin öngördüğü değerden daha büyük hâle gelir. Başka bir deyişle, klasik geometrik ilişkiler, dönme söz konusu olduğunda artık aynen korunmaz. Bu beklenmedik durum, literatürde Ehrenfest Paradoksu olarak adlandırılmış ve uzun süre tartışmalara konu olmuştur.
Ehrenfest Paradoksu’nun Çözümlemesi Nedir?
Gerçekte hiçbir tekerlek ışık hızına yakın hızlarda dönemez. Bu yüzden Ehrenfest’in ortaya koyduğu durum, fiziksel bir deneyden çok bir düşünce deneyi olarak ele alınır. Bu deney bizi basit ama zorlayıcı bir soruyla karşı karşıya bırakır: Tekerlek dönerken çevresi gerçekten kısalır mı, yoksa ölçüm yaparken aralarda boşluklar mı oluşur?
Bu soruya verilen temel yanıt şudur: Çok yüksek hızlarda dönen bir cisim, şeklini aynen koruyamaz. Hız arttıkça, cisim üzerindeki gerilmeler artar ve yapı bozulmaya başlar. Yani tekerlek, olduğu gibi kalamaz. Ehrenfest’in dikkat çektiği nokta da budur: Görelilik kuramında, “şekli hiç değişmeyen” cisimler varsaymak mümkün değildir.
Ancak düşünce deneyi içinde kalarak, tekerleğin şeklini koruduğunu varsayalım. Bu durumda soru tekrar ortaya çıkar: Çevre uzar mı, yoksa kısalır mı? Cevap, ölçümü yapan kişinin nerede durduğudur.
Önce en basit durumla başlayalım. Eğer tekerlek dönmüyorsa ve ölçümü yapan kişi de tekerlekle birlikte duruyorsa, çevre her zamanki gibi ölçülür. Yani sonuç 2πR olur. Bu herkesin alışık olduğu durumdur.
Şimdi tekerlek dönmeye başlasın, ama ölçümü yapan kişi dışarıda dursun. Bu kişi, tekerleğin çevresi boyunca ölçüm yaparken, kullandığı ölçüm çubuklarının hareket yönünde kısaldığını görür. Bu yüzden çubuklar uç uca dizildiğinde aralarında boşluklar oluşur.
Bu boşlukları kapatmak için daha fazla çubuk gerekir. Ancak bu durum, ölçümü yapan kişiye göre çevrenin değiştiği anlamına gelmez. Dışarıdan bakan gözlemci için çevre hâlâ 2πR olarak hesaplanır.
Şimdi üçüncü ve en kritik duruma geçelim. Bu kez ölçümü yapan kişi, tekerleğin kenarında duruyor ve onunla birlikte dönüyor. Bu kişi de ölçüm çubuklarıyla birlikte hareket ettiği için, çubukların kısaldığını fark etmez.
Her şey normal görünür. Ancak ölçüm sırasında çubuklar arasında yine boşluklar oluştuğunu görür ve bu boşlukları kapatmak zorunda kalır. Sonuçta, çevreyi ölçmek için normalden daha fazla çubuk gerekir. Tekerlekle birlikte dönen bu gözlemciye göre, tekerleğin çevresi artık 2πR’den daha büyüktür.
Sonuç Olarak
Gerçek deneyler, Ehrenfest’in tamamen yanılmadığını gösterir; ancak bunun nedeni görelilik kuramından ziyade fiziksel sınırlardır. Bir cisim yeterince hızlı döndürüldüğünde parçalanır ve bu durum ışık hızına yaklaşmadan çok daha önce gerçekleşir.
Yine de bu paradoks, Einstein’ın özel görelilik teorisinin geometrik prensipler üzerindeki etkisini anlamak için düşünmeye değer bir problem sunar.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Kumar, Jitendra. “Ehrenfest paradox: A careful examination.” American Journal of Physics (2023): n. pag.
- Spinning the wheel: The Ehrenfest paradox. Yayınlanma tarihi: 23 Ağustos 2023. Kaynak site: Plus Math Bağlantı:Spinning the wheel: The Ehrenfest paradox
Matematiksel
