İnternetin ve akıllı telefonların ortaya çıkmasından tam bin yıl önce, İranlı bilim insanı ve çok yönlü düşünür Muhammed bin Musa el-Harezmi, algoritma kavramının temellerini attı. Aslında “algorithm” kelimesi, onun isminden gelir. Ve tahmin edilebileceği gibi, cebir anlamına gelen “algebra” kelimesiyle de yakından ilişkilidir.
786 ile 809 yılları arasında Halife Harun Reşid, Bağdat’tan yönettiği bir dünya imparatorluğuna hükmeder. Bu imparatorluk, İspanya’dan Himalaya eteklerine kadar uzanır. Harun Reşid döneminde sanat ve bilim teşvik edilir; saray çevresinde canlı bir kültürel hayat gelişir.
Kanlı bir taht mücadelesinin ardından yerine küçük oğlu Memun geçer. Memun, Bağdat’ta “Bilgelik Evi” adını taşıyan bir bilim merkezi kurar. Burada, İskenderiye Kütüphanesi’ne benzer kapsamda büyük bir kütüphane oluşturulur.
Farklı kültürlere ait önemli eserler Arapçaya çevrilirdi. Bu eserler arasında Yunan filozoflarının ve matematikçilerinin çalışmaları da yer alırdı. Bilgelik Evi’nin önde gelen bilim insanları arasında Ebu Cafer Muhammed bin Musa el-Harizmi yer alır.
Harezmi Kimdir?
El-Harezmi’nin yaklaşık 780 ile 850 yılları arasında, İslam’ın Altın Çağı olarak bilinen dönemde, bugünkü Özbekistan sınırlarında, Aral Gölü’nün güneyinde yer alan Harezm bölgesinde doğduğu düşünülüyor. Yaşadığı dönem, bilimde büyük ilerlemelerin yaşandığı Abbâsî Halifeliği dönemiyle çakışır. Ancak ne yazık ki hayatına dair çok az detay günümüze ulaşmıştır.
El-Harezmi yalnızca bir matematikçi değildi. Astronomi üzerine de birçok çalışma kaleme almıştır. Güneş, Ay ve gezegenlerin hareketlerini gösteren ayrıntılı çizelgeler hazırlamıştır. Bu çalışmalar, hem İslam dünyasında hem de Avrupa’da gelen pek çok astronom için temel kaynak olmuştur.
Ayrıca gökyüzü gözlemleri için yeni araçlar tasarlamış, güneş saatlerini geliştirerek Müslümanların namaz vakitlerini daha kolay belirleyebilmesini sağlamıştır. Bazı yazılarında ise, güneş ve ay hareketlerini dikkate alan daha doğru takvimler oluşturma sorunuyla ilgilenmiştir.
Coğrafya alanında da önemli katkılar yapar. Claudius Ptolemaios’un Geographia adlı eserini temel alarak yazdığı Kitab Surat al-Ard (Yeryüzünün Görünümü) adlı kitabında, o dönemde bilinen dünyanın 2402 yerleşim yeri, dağ, ada ve diğer coğrafi noktasının enlem ve boylam koordinatlarını sıralar. Ptolemaios’un Akdeniz’in doğu-batı yönündeki uzunluğunu abarttığını fark eder ve bu değeri 63 yerine 50 boylam derecesi olarak düzeltir.
Ondalık sayı sistemini El-Harezmi’nin geliştirdiği sanılır, ancak bu sistem 5. yüzyılda Hintli matematikçi Aryabhata’ya dayanır. Arap dünyası bu sistemle ilk kez 773 yılında, Halife Mansur’a sunulan Hint astronomi kitapları aracılığıyla tanıştı. El-Harezmi, bu bilgileri temel alarak 820’de kapsamlı bir eser yazdı. Günümüzde kullandığımız rakamların Batı’da yaygınlaşmasında onun katkısı belirleyicidir.
Cebiri Harezmi mi Buldu?
El-Harizmi’nin en önemli eseri, el-Kitâb el-Muhtasar fî Hisâb el-Cebr ve’l-Mukâbele başlığını taşır. Bu başlık, “Tamamlama ve denkleştirme yoluyla hesap yapma üzerine kısa bir kitap” anlamına gelir. Burada geçen “cebr” kelimesi, eksik bir terimi gidermek için denklemde her iki tarafa aynı ifadeyi eklemeyi ifade eder.
Örneğin, ax² – bx = c şeklindeki bir denklem, her iki tarafa bx eklenerek ax² = c + bx biçimine dönüşür. Böylece bir fark içeren denklem, bir toplam içeren hale gelir. Bu eser, 12. yüzyılda Latinceye Liber algebrae et almucabala adıyla çevrildi. Kitabın başlığının bu çevirisi zamanla bozuldu ve Avrupa dillerinde “cebir” anlamındaki algebra terimi buradan türedi..
El-Harizmi’nin adı, bugün kullandığımız “algoritma” kelimesinin de kökenidir. Hint rakamları üzerine yazdığı kitabın Latince çevirisi Algoritmi de numero Indorum başlığını taşır. Bu metinlerde geçen “Algorizmi dixit” (Algorizmi söyledi) ifadesindeki “Algoritmi”, El-Harizmi’nin Latinceleştirilmiş adıdır. Zamanla bu ad, belirli bir hesaplama yöntemini ifade eden “algoritma” terimine dönüşür.
El-Harizmi’nin bu kitabını özel kılan, konuları sistemli ve bilinçli bir şekilde işlemesidir. Sadece örnek problemler çözmekle kalmaz, bu problemleri belli bir düzen içinde sınıflandırır. Kitabın başında, çözülmesi gereken tüm birinci ve ikinci dereceden denklem türlerini sıralar. Ardından denklemleri üç temel bileşene ayırır: kare, kök ve sayı. Bu ayrım üzerinden altı temel denklem tipi tanımlar.
- ax² = bx (Kareler köklere eşittir)
- ax² = b (Kareler sayılara eşittir)
- ax = b (Kökler sayılara eşittir)
- ax² + bx = c
- ax² + c = bx
- ax² = bx + c
Buradaki a, b ve c sabitleri pozitif sayılardır. Bir denklemde fark (eksi terim) varsa, önce “cebr” yöntemiyle bu fark yok edilir. Ardından da denklem yukarıdaki altı temel biçimden birine dönüştürülür. El-Harizmi denklemleri cebirsel değil, geometrik problemler olarak yorumlar. Bu nedenle sadece pozitif çözümleri kabul eder. Bu bakış açısıyla, (1) ve (3) numaralı denklemlere aynı çözümleri verir.
Harezmi’nin Denklem Çözme Mantığı
El-Harizmi, denklem çözümünü somut sayısal örneklerle anlatır. x² + 8x = 65 denklemini çözerken geometrik bir yaklaşım kullanır. Önce kenarı x olan bir kare düşünür. Bu karenin dört kenarına, boyutları 2 ve x olan dört dikdörtgen ekler. Ortaya çıkan şeklin alanı x² + 8x’tir; bu da 65 birim kareye eşittir.
Bu şekli tamamlamak için köşelere kenarı 2 olan dört kare ekler. Her biri 4 birim karelik bu küçük kareler toplam 16 birim karelik ek alan oluşturur. Böylece yeni şeklin alanı 65 + 16 = 81 olur. Elde edilen büyük kare 81 birim kare olduğuna göre, bir kenarı 9’dur. Bu durumda, merkezdeki karenin kenarı x = 5 olmalıdır.
El-Harizmi, bu yöntemle bugün “tam kareye tamamlama” olarak bilinen tekniği ilk kez açık bir sistem içinde gösterir. El-Harizmi, x² + 35 = 12x denklemini çözmek için yine görsel bir yöntem izler.
Önce kenarları x ve 12 olan bir dikdörtgen kurar; alanı 12x’tir. Sağ taraftan x²’lik bir kare ayırır ve kalan kısmın alanını 35 olarak belirler. Bu şeklin alt kenarını ikiye böler ve sol yarıyı kareye tamamlar. Kenarı 6 olan bu yeni karenin alanı 36’dır.
Kareyi üç parçaya ayırır: x ve 6 uzunluklarında bir dikdörtgen, üstte x ve (6−x) kenarlı ikinci bir dikdörtgen ve en köşede, kenarı (6−x) olan küçük bir kare. Bu son parçanın alanı (6−x)² olur. Büyük kare 36 birim kare, içteki gri alan 35 birim kare olduğuna göre, küçük karenin alanı 1 olmalıdır. Buradan (6−x)² = 1 eşitliği ortaya çıkar. Çözüm = 5 olur. Eğer x’i 6’dan büyük seçerse, aynı şekil bu kez (x−6)² = 1 eşitliğini verir ve ikinci çözüm x = 7 olarak ortaya çıkar.
El-Harizmi bu yöntemle, sadece denklemi çözmekle kalmaz, aynı zamanda görsel olarak hangi denklemlerin çözümsüz kaldığını da gösterir. Örneğin, x² + 37 = 12x denkleminde alanlar uyuşmaz; şekil kurulamaz ve çözüm bulunamaz.
Sonuç olarak
El-Harizmi’nin Hisab al-Cebr ve’l-Mukabele adlı eseri, denklem çözümüne dair sistematik yöntemlerin yanı sıra sayıların ne olduğu ve terimlerle nasıl işlem yapılması gerektiği üzerine düşünceler de içerir. Örneğin, a + bx türündeki ifadelerin nasıl çarpılacağı ya da daire, küre, koni ve piramit gibi şekillerin alan ve hacimlerinin nasıl hesaplanacağı açıklanır.
El-Harizmi, cebiri yalnızca soyut kurallarla değil, günlük hayatın sorunlarıyla birlikte ele alır. Miras paylaşımı gibi İslam hukukundan doğan karmaşık problemleri cebirle çözer. Sayıların anlamını, terimlerle işlem kurallarını açıklar; alan ve hacim hesaplarını adım adım gösterir. Böylece matematiği yaşama bağlar, uygulamaya geçirir ve kalıcı bir miras bırakır.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Why algorithms are called algorithms. Yayınlanma tarihi: 9 Temmuz 2022. Kaynak site: BBC. Bağlantı: Why algorithms are called algorithms./
- Renima, A., Tiliouine, H., Estes, R.J. (2016). The Islamic Golden Age: A Story of the Triumph of the Islamic Civilization. In: Tiliouine, H., Estes, R. (eds) The State of Social Progress of Islamic Societies. International Handbooks of Quality-of-Life. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-24774-8_2
Matematiksel
