Günlük Hayatımızda Matematik

Braess Paradoksu: Daha Fazla Yol Daha Az Trafik Demek Değildir!

Yazıya size garip gelecek bir cümle ile başlayalım. Yeni yollar inşa etmek trafik sıkışıklığını artırır. Mevcut yolların kapatılması ise trafik sıkışıklığını azaltır. Tamamen sezgilerimize aykırı olan bu durum kanıtlanmıştır ve günümüzde Braess Paradoksu olarak bilinmektedir.

Şimdi bir senaryo düşünelim. Sabahtan akşama trafik sıkışıklığı ile boğuşmak zorunda kaldığınız herhangi bir metropolde yaşamak zorunda olun. O sıralarda da bu metropole yeni bir belediye başkanı seçilsin. Bu başkan da bir biçimde tanıdığınız olsun. Bir gün sizinle konuşurken şu cümleleri söylesin. “Şehrimde yeni yollar inşa etmek için bir milyar dolara kadar harcayabilirsin. Bana nerede ve nasıl olduğunu söyle, projeni finanse edeyim.”. İşte o zaman yapmanız gereken 1968’de Alman matematikçi Dietrich Braess tarafından öne sürülen ve bu durumda yapılması gereken en iyi şeyin yeni yol yapmak değil mevcut yolları kapatmak olduğunu söylemeniz gerekir. Başkanın tepkisinin ne olacağını bilemeyiz ancak matematik açısından çözüm budur.

Braess Paradoksu Fikri Nasıl Ortaya Çıktı?

Dietrich Braess ağ bağlantılı sistemlerin sağduyuya meydan okuyan garip bir özelliğini keşfetti. Dr. Braess trafik akışını incelerken bazı durumlarda araba akışının sıkışık olduğunda, yeni yolların eklenmesinin tıkanıklığı daha da kötüleştirdiğini fark etti. Bu durum Braess Paradoksu olarak bilinmeye başlandı. Braess çalışmasında, sürücülerin bencilce davranacağını, her birinin diğer sürücülerin yararını dikkate almadan kendi çıkarlarına göre bir rota seçeceğini varsayıyordu. Yoğun trafiğin zorlu koşullarını oldukça iyi yansıtan bir varsayım! Braess’in gözlemlediği bu durum aslında bir paradoks değildir. Bizlere sadece kolektif etkileşimlerin sonuçlarını tahmin etmede çok da iyi olmadığımızı göstermektedir.

Örneğin, şehir merkezinden bir banliyö alışveriş merkezine gitmenin iki yolu olduğunu hayal edin. Her yol da iki bölümden oluşsun. Bu bölümlerin ilki yolculuğun yaklaşık 30 dakika süreceği otoban kısım. Diğeri ise daha dar ve bu bölümü geçmek için harcanan süre üzerindeki araç sayısı ile alakalı. Dar bölümde seyahat etmek için geçen sürenin, T = yoldaki araba sayısı olmak üzere, T / 5 olduğunu kabul edelim. Şehir merkezinden alışveriş merkezine gitmek isteyen 200 kişi olduğunu düşünelim. O zaman oraya ulaşmanız ne kadar sürecektir?

Her iki yolda aynı olduğundan, sürücülerin eşit biçimde iki parçaya ayrılacağını düşünebilirsiniz. Bu durumda her biri için yoldaki seyahat süresinin 50 dakika ( 30+100/5) olması gerekirdi. Bu yollardan birindeki bir sürücünün diğer yolu kullanmak için hiçbir nedeni yoktur. Çünkü zaman kazanacağını düşünmeyecektir.

Şimdi gelin işleri biraz karıştıralım. Trafik de daha az zaman harcayacağımız düşüncesi ile yukarıdaki görselde gördüğünüz gibi bir ara yol yapalım. Bu ara yoldan geçmek için sürücü neredeyse hiç zaman harcamasın. Hangi yolu tercih ederdiniz? Muhtemel cevabınız önce dar olan yoldan gidip ara yoldan geçerek diğer dar olan yola geçmek biçiminde olmuştur. Ancak elbette bunu düşünen sadece siz değilsiniz. 200 sürücünün tamamı seyahat süresini kısaltmak amacıyla bu rotayı kullanmak isteyecektir. Bu da yolculuğun 200/5 + 200/5 veya seksen dakika süreceği anlamına gelir. Sonuç olarak, trafik akışı kötüleşecektir.

Braess Paradoksu İle İlgili Örnekler

Seul’de Cheonggyencheon deresi restorasyon projesi öncesi fotoğrafı solda görüyorsunuz. Sağ da ise yollar kaldırıldıktan sonraki hali yer alıyor.

1990’da New York’ta çok yoğun bir şehirlerarası yol olan 42. caddenin kapanmasının bir trafik kabusuna neden olması bekleniyordu. Bunun yerine, 25 Aralık 1990’da The New York Times’ta bildirildiği gibi, trafik akışı gerçekten iyileşti. 2005 yılında, Seul’de altı şeritli bir otoyol kaldırıldı. Sonrasında çevresel faydaların yanı sıra şehir genelinde trafikte bir hızlanma olduğu görüldü. Bunun tam tersi örnekler de var. Örneğin, 1960’ların sonlarında Stuttgart şehri, şehir merkezindeki trafiği hafifletmek için yeni bir cadde açmaya karar verdi. Ancak bu cadde trafiği daha kötü hale getirdi, sonrasında da yetkililer kapatmak zorunda kaldı.

Braess paradoksu sadece trafik için geçerli değildir ve birçok bağlamda ortaya çıkar. Örneğin, 2012 tarihli bir makalede, Max Planck Enstitüsü’ndeki bilim insanları, bir enerji şebekesine güç hatları eklemenin şebekenin performansını mutlaka iyileştirmeyeceğini ortaya koydu. Yeni hatlar, mevcut hatlara göre nerede bulunduklarına bağlı olarak sonucu daha verimsiz hale de getirebiliyordu. Daha az hat bazen daha verimli bir elektrik şebekesi demek olabiliyordu. Sonuç olarak trafikte bunaldığınız zamanlarda daha fazla değil, daha az yola ihtiyacınız olduğunu anımsayın. Bu paradoksun nedeninin bencilce hareket eden sürücüler olduğunu unutmayın. Aslında bu durum ekonomide de kendine bir yer edinmiştir. Herkesin işbirliği yerine bencilce davrandığı için daha kötü durumda olduğu “Price of anarchy”( Anarşinin bedeli) olarak bilinmektedir.


Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu