Pi sayısının basamakları, çarpışan toplar ve kuantum arama algoritmaları arasında nasıl bir ilişki olabilir? İlk bakışta tamamen alakasız görünen bu kavramlar, aslında beklenenden çok daha derin bir ortak zeminde buluşur.
İki dikkat çekici çalışma, bu beklenmedik kesişimleri gözler önüne seriyor. Dinamikleri, geometrik yapıları ve kuantum hesaplamayı ortak bir çerçevede buluşturarak, en soyut matematiksel problemlerin bile şaşırtıcı fiziksel karşılıkları olabileceğini ortaya koyuyorlar.
Çarpışan Toplar ile Pi Sayısı Hesaplaması
Bu bağlantıları kavramaya başlamak için iki metal top hayal edelim; her biri 1 kilogram kütleye sahip olsun. Duvara daha yakın olan top başlangıçta hareketsizdir; diğer top ise sağdan sola doğru kayarak ona yaklaşır.
Art arda çarpışmalar gerçekleşir ve her çarpışmada kinetik enerjinin korunduğunu varsayalım. Bu ideal koşullar altında süreç kabaca şöyle ilerler: Sağdaki top soldakine çarpar ve momentumunu ona aktarır. Sol top duvara çarpar, geri seker ve ardından yeniden sağdaki topla çarpışarak momentumu tekrar ona devreder.
Ancak sağdaki topun kütlesini artırdığımızda işler ilginçleşir. Örneğin kütlesi 100 kilogram olursa, her çarpışmada küçük topa momentumunun yalnızca küçük bir bölümünü aktarır ve toplam çarpışma sayısı üç yerine 31’e çıkar.
Daha da çarpıcı olanı şudur: Kütleyi 10.000 kilograma yükselttiğinizde ortaya çıkan sayı şaşırtıcı biçimde tanıdık görünür. Toplam çarpışma sayısı yaklaşık olarak π sayısının basamaklarını verir.
Eastern Illinois Üniversitesi’nden matematikçi Gregory Galperin, bu olguyu ilk fark eden kişiydi. Galperin, 2003 yılında yaptığı açıklamada, bu çarpışmaların fiziğini bloklar ve duvarın bir noktalar dizisi olarak temsil edildiği geometrik bir probleme dönüştürebileceğimizi gösterdi. Böylece yapbozun ikinci parçasına ulaşmış oluruz.
Kuantum Aramalar Nasıl Çalışır?
Elinizde sıralanmamış, örneğin bir milyon isimden oluşan uzun bir liste olduğunu düşünün. Klasik bir bilgisayar için bu liste, birbirinden bağımsız birçok kutudan ibarettir ve her adımda yalnızca bir kutu kontrol edilebilir. Doğru sonuca ulaşmak için ortalama olarak listenin yarısını taramak gerekir. Yani problem büyüdükçe gereken süre doğrusal biçimde artar.
En azından klasik bilgisayarlar için durum budur. Ancak 1996’da, Lov Grover, bir kuantum bilgisayarın aynı aramayı çok daha hızlı gerçekleştirebileceğini gösterdi. Yaklaşık bir milyon öğelik bir liste için 1.000 adımdan daha azı yeterlidir.
Kuantum yaklaşımında liste, ayrı ayrı kutular olarak değil, tek bir vektör olarak temsil edilir. Bu vektörün her bileşeni bir konuma karşılık gelir; bileşenin karesi ise o konumun ölçüm sonucunda elde edilme olasılığını verir. Başlangıçta tüm olasılıklar eşittir.
Grover algoritmasının her yinelemesinde doğru cevaba karşılık gelen bileşenin genliği artarken diğerlerininki azalır. Bu süreç, tüm sistemi temsil eden vektörün adım adım doğru cevaba doğru döndürülmesi gibi düşünülebilir.
Yaklaşık turdan sonra sistem neredeyse tamamen doğru cevabı gösterir. Ölçüm yaptığınızda tek bir indeks gelir, ama yüksek olasılıkla aradığınız odur. Özetle klasik arama tek tek dener, Grover ise olasılıkları topluca şekillendirir. Bu yüzden yerine yaklaşık adım yeterli olur.
Bunun nasıl çalıştığını gözünüzde canlandırmak zor geliyorsa yalnız değilsiniz. Adam Brown da bu soyut vektör işlemlerini daha somut bir bilmece üzerinden düşünmenin bir yolunu bulduğu için heyecanlanmıştı.
Brown, çarpışan topların pi sayısını nasıl verdiğini anlatan videoları gördüğünde aklında Grover algoritması vardı ve aradaki bağlantıyı fark etti.
Çarpışan Toplar İle Kuantum Aramanın Bağlantısı Nedir?
Şöyle düşünelim. İki bloğun hızını iki sayı olarak yazarız. Bu iki sayı birlikte düzlemde bir noktayı temsil eder; yani sistemin durumu tek bir noktadır.
Her çarpışma bu noktayı değiştirir, ama rastgele değil. Nokta sanki bir aynadan yansımış gibi yer değiştirir. Blok duvara çarpınca nokta bir eksene göre yansır. İki blok çarpışınca bu kez eğik bir doğruya göre yansıma olur. Çarpışmalar sürdükçe nokta düzlemde yansıya yansıya ilerler ve izlediği yol bir çemberi andırır.
Grover algoritmasında da durum benzerdir. Sistem yine bir vektörle, yani uzayda bir noktayla temsil edilir. Algoritmanın her adımı bu noktaya iki işlem uygular ve bu işlemler geometrik olarak yansıma gibidir. İki farklı yansıma art arda geldiğinde ortaya bir dönme çıkar.
Sonuç olarak
Yani blok çarpışmalarında hızların yaptığı hareketle, Grover aramasında olasılıkların yaptığı hareket aynı geometrik fikre dayanır. Bu bağlantılar, matematiğin evrensel bir dil gibi çalıştığını gösteriyor. Bir sistemi vektörlerle ifade etmek, ister makroskobik blok çarpışmaları olsun ister mikroskobik kuantum durumları, aynı çerçevede işe yarıyor.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- The most unexpected answer to a counting puzzle; yayınlanma tarihi:13 Mart 2019; Bağlantı: https://www.youtube.com
- Galperin, G.. (2003). Playing pool with π (the number π from a billiard point of view). Regular and Chaotic Dynamics. 8. 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
