Savaşın gölgesinde yazılmış bir mektup, modern matematiğin en etkileyici fikirlerinden birini ortaya koydu. Fransız matematikçi André Weil, kız kardeşi Simone’a yazdığı bu mektupta önce bir uyarıyla başladı: “Bir noktadan sonra yazdıklarımı anlayamayacaksın.”
Ardından 14 sayfa boyunca, matematikte çığır açacak bir kavramı anlattı: Sayılar kuramı, geometri ve sonlu alanları birbirine bağlayan bir tür “Rosetta taşı”.
Antik Mısır yazılarını çözülebilir kılan üç dilli yazıtla aynı ismi taşıyan bu fikir, matematiğin görünürde birbirinden kopuk üç alanı arasında derin ilişkiler kurmayı amaçlıyordu. André Weil’in önerisi, daha sonra Langlands programı adlı dev bir araştırma alanının öncüsü oldu.
André Weil Kimdir?
Pek çok insan, matematikle yaşadığı zorlukları anlatırken suçluluk hissine kapılır. Matematikle başa çıkamamak neden bu kadar derin bir hayal kırıklığı yaratır? Neden bu kadar çok kişi, eğitim hayatında matematikten yara alır? Ve en önemlisi: Matematik öğrenmeye gerçekten değer mi?
Bu tür sorular, André ve Simone Weil kardeşlerin sıkça tartıştığı konular arasındaydı. André, saygın bir matematikçiydi; cebir ve geometriyi tam sayıların yapısına uygulayarak soyut problemlere çözüm arardı. Simone ise filozof ve mistikti; dikkatini, dünyanın insan ruhu üzerindeki baskılarına yöneltmişti.
Farklı alanlarda olsalar da, ikisi de matematik eğitiminin nasıl olması gerektiğini sorguladı. Birbirini tamamlayan ya da zaman zaman çelişen görüşleri, hem matematiğin hem de matematik eğitiminin insan yaşamı ve kültürü üzerindeki derin etkisini ortaya koyuyordu.
1906’da doğan ve 1998’de hayatını kaybeden André Weil, önceki kuşak Fransız matematikçilerden farklıydı. Onlar gibi felsefi tartışmalara pek ilgi göstermedi. Weil için matematik, derin bir geçmişe ve güçlü bir yapıya sahip, yaşayan bir alandı. Bu yüzden, kendi deyimiyle, “onu savunmaya gerek görmüyordu.”
İnsan ilişkilerinde keskin bir eleştirmen olarak tanınırdı. Bazı meslektaşları onun düşünsel gücüne hayranlık duyarken, öğrencileri arasında zaman zaman mesafeli, hatta ürkütücü biri olarak görülürdü.
Weil’in etkisi, yalnızca bireysel çalışmalarıyla sınırlı değildi. Modern matematiğin dilini ve yapısını kökten dönüştürmeyi amaçlayan Bourbaki kolektifinin kurucularından biriydi. Bu grup, soyutlama ve mantıksal titizliği temel alarak matematiği yeniden yapılandırdı ve birçok alana derinlik kazandırdı.
André Weil’in zihinsel heyecanı, matematiğin bir alanındaki kavrayışları başka alanlara uygulamaktan besleniyordu. Kız kardeşi Simone’a yazdığı bir mektupta, çalışmalarını üç temel matematiksel nesnenin—sayıların, polinomların ve geometrik uzayların—ileri düzeydeki biçimleri arasında analojiler kurmaya adadığını anlatıyordu. Amacı, bu alanlar arasında çeviri yapılmasını sağlayacak mecazi bir “Rosetta taşı” inşa etmekti.
André Weil’in Rosetta Taşı
André Weil’in Rosetta taşı metaforundaki ilk sütun, sayılar kuramıydı. Bu alan, binlerce yıldır matematiğin merkezinde yer alır. Pozitif ve negatif tam sayılarla ilgilenir; asal sayıların dağılımı gibi temel sorulara yanıt arar. Sayılar kuramı, çoğu zaman soyut araçlarla çalışır. Bu kuram içinde yer alan “sayı alanları” ise, tam sayıların bazı temel özelliklerini genelleyerek daha geniş yapılar sunar.
Taşın karşı ucunda geometri vardı. Weil’in ilgilendiği şekiller—küreler, simitler ve çok delikli yüzeyler—belirli polinom denklemlerinin çözüm kümeleriyle oluşur. Bu şekiller, polinomların geometrik izdüşümüdür. Karmaşık analiz gibi araçlarla incelenebilirler; çünkü hem reel hem de sanal bileşenler içeren karmaşık sayılarla tanımlanırlar.
19. yüzyılda bazı matematikçiler, bu geometrik yapıların sayı kuramına uygulanabileceğini hayal etti. Ancak Weil, kız kardeşi Simone’a yazdığı mektubunda, bu iki alan arasında doğrudan bir geçiş olmadığını itiraf ediyordu. Riemann yüzeyleri ile sayılar kuramı arasındaki mesafe, düşündüğünden büyüktü. İşte o noktada Weil devreye girdi: Bu iki dünya arasında bir köprü kuruyordu. Bu köprünün adı: sonlu alanlar idi.
Sayılardan Şekillere: Weil’in Kurduğu Köprü
Sonlu alanlar, sayı kuramı ile geometrinin birbirine yaklaştığı eşsiz bir zemin sunar. Bunu görmek için, yalnızca iki elemandan oluşan bir sonlu alan düşünün: 0 ve 1. Bu alanda, katsayıları yalnızca 0 ya da 1 olabilen polinomlar yazabilirsiniz. Örneğin:
- Örnek A: 0x³ + 1x² + 0x + 1
- Örnek B: 1x³ + 1x² + 1x + 0
Bu polinomlar, sadece katsayılarıyla tanımlanır. Bu da onları birer “sıfır ve bir dizisi”ne dönüştürür. Benzer şekilde, doğal sayılar da ikili sistemde, 2’nin kuvvetleri şeklinde 1 = 2⁰, 2 = 2¹, 3 = 2¹ + 2⁰ vb. ifade edilir.
Bu bağlamda, Örnek A’daki 0101 dizisi ikili sistemde 5 sayısını, Örnek B’deki 1110 dizisi ise 14 sayısını temsil eder. Yani bu polinomlar, doğal sayılar gibi davranır. Ama benzerlik yalnızca biçimsel değil. Bazı doğal sayılar asal, bazıları bileşiktir. Aynı ayrım, polinomlar için de geçerlidir. Kimi polinomlar daha küçük polinomlara ayrılamaz. Bunlar polinomlar dünyasının asal sayılarıdır.
Weil, Simone’a yazdığı mektupta, sayı alanları ile fonksiyon alanları arasındaki yapısal benzerliğin gücüne dikkat çekiyordu. Ardından vizyonunu açıkladı. “Her sütundan elimde yalnızca parçalar var. Her bir ‘dil’ hakkında bazı fikirlerim var. Ama her sütunun anlamı diğerlerinden öylesine farklı ki, hiçbir şey beni buna önceden hazırlamamıştı.”
Bu satırları 1940 yılında kaleme aldı. Sonraki on yılda, bu vizyonu somut matematiksel yapılarla geliştirdi. Sayılar kuramı ile geometri arasındaki ilişkiyi ortaya koyan bir dizi varsayım geliştirdi. En iddialı olanı, Riemann hipotezinin sonlu alanlara uyarlanmış versiyonuydu. Bu versiyonun bir boyutlu hâlini kendisi kanıtladı.
1973 yılında Pierre Deligne, Weil’in varsayımlarından birini daha yüksek boyutlarda ispatladı. Bu gelişme, sayı kuramı ile geometri arasında kurulan köprünün ne kadar sağlam olduğunu gösterdi.
Weil’in Rosetta taşı metaforu, yalnızca kendi dönemini değil, modern matematiğin geleceğini de etkiledi. 1967’de Robert Langlands’ın Weil’e yazdığı mektup, bu vizyonun doğal bir uzantısı oldu. Böylece Langlands programı başladı.
Langlands Programı Nedir?
1967 yılında, Robert Langlands, bir konferansta André Weil ile karşılaştı. O sıralarda Langlands bazı L-fonksiyonları üzerine hesaplamalar yapıyordu ve bu fonksiyonların taşıdığı potansiyel dikkatini çekmişti. Fikirlerini Weil’e anlattığında, Weil ona bunları yazmasını önerdi. Langlands eve döndü ve 17 sayfalık el yazısıyla bir mektup kaleme aldı.
Bu mektubunda, sayı kuramı, cebirsel geometri ve otomorfik formlar teorisi gibi birbirinden bağımsız gibi görünen alanlar arasında köklü bir bağ kurmayı hedefleyen büyük birleştirici bir kuram önerdi. O günden bu yana, matematikçiler bu mektuptaki varsayımlar üzerinde çalışmayı sürdürüyor.
Langlands programının bazı kısımları bugün artık ispatlanmış durumda. Örneğin, Laurent Lafforgue’un “fonksiyon alanları için Langlands varsayımı”nı kanıtlaması, 1999’da ona Fields Madalyası kazandırdı. Diğer bazı sonuçlarsa görünüşte alakasız teoremlerin ispatına kapı araladı. En çarpıcı örnek, Andrew Wiles’ın 1994’te Fermat’nın Son Teoremi’ni ispatlaması oldu.
Sonucunda Veil’in bir zamanlar bir hücrede kurduğu bu hayal, bugün matematiğin en ileri sınırlarında yol göstermeye devam ediyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Knapp, Anthony. (2005). “Weil’s letter to his sister,” Letters to the Editor.
- A Rosetta Stone for Mathematics. Yayınlanma tarihi: 6 Mayıs 2024. Kaynak site: Quanta magazine. Bağlantı: A Rosetta Stone for Mathematics
- Copeland, Bob. (2015). Langlands Program & Extended Number Theory.
Matematiksel
