İstatistik ve genel olarak matematik, birçok kişi için gerçek dünyadan kopuk soyut kavramlar gibi algılanır. Oysa Alman Tank Problemi, bu algının ne kadar yanıltıcı olduğunu bize açıkça gösterir.
İstatistikte, “az da olsa veri, hiç veriden iyidir” anlayışına sıradanlık ilkesi denir. Bu ilkeye göre, geniş bir kümeden rastgele seçilen bir ya da iki örnek bile çoğu zaman o kümenin genel özelliklerini yansıtma eğilimindedir.
Bunu basit bir örnekle açıklayalım: İçini göremediğimiz bir kutuda yeşil ve kırmızı toplar olduğunu varsayalım ve yalnızca bir top çekme hakkımız bulunsun. Eğer çektiğimiz top yeşilse, kutuda büyük olasılıkla kırmızıdan çok yeşil top vardır; kırmızı gelirse de bunun tersi geçerlidir.
Elbette yalnızca tek bir örnekle yüksek kesinlik sağlanamaz. Ancak örnek sayısı arttıkça güven düzeyimiz de artar. Yine de, yalnızca bir çekiliş bile tamamen bilgisiz kalmaktan iyidir.
Bu yaklaşım, bir asrı aşkın süredir matematikçiler tarafından gerçek dünya problemlerini çözmekte kullanılmakta ve pek çok durumda şaşırtıcı derecede isabetli sonuçlar vermektedir. Bu yöntemin en bilinen örneklerinden biri ise Alman Tank Problemidir.
Alman Tank Problemi Nedir?
II. Dünya Savaşı sırasında Müttefikler, Almanya’nın aylık tank üretim miktarını öğrenmek istiyordu. Ancak savaş koşullarında bu bilgilere ulaşmak son derece zordu. Gizli kaynaklar ve sorgulamalardan elde edilen raporlar hem çok sayıdaydı hem de birbiriyle çelişiyordu. Bu raporların bir kısmı doğru olsa da, söylentiler ve kasıtlı yanlış beyanlar arasında güvenilir olanları ayırt etmek analistler için neredeyse imkânsızdı.
ABD istihbaratının en iyi tahmini, casus raporları ve esir alınan Alman askerlerinden elde edilen bilgilere dayanarak Almanya’nın ayda yaklaşık 1.400 tank ürettiği yönündeydi. Buna karşılık, Londra’daki Ordu Lojistik Ofisi’nde görevli matematikçiler farklı bir yöntem benimsedi. Ellerinde ele geçirilmiş bazı Alman tanklarına ait veriler, özellikle de şanzıman seri numaraları bulunuyordu.
Almanlar tank şanzımanlarını sırayla numaralandırıyordu. Bu basit bilgi, büyük bir kestirimi mümkün kıldı. Sıradanlık ilkesine göre, rastgele ele geçen birkaç seri numara, üretimin ortasını işaret etme eğilimindeydi.
Alman Tank Problemi Nasıl Çözülecekti?
ALO’nun (Ordu Lojistik Ofisi) Alman tank üretimini nasıl tahmin ettiğini basit bir örnekle açıklayalım. Kullandıkları yöntemde, ele geçirilen seri numaraları arasındaki farkın yarısı alınır ve bu değer en yüksek seri numarasına eklenerek toplam üretim tahmin edilir.
Diyelim ki Müttefikler, şanzıman seri numaraları 100 ve 150 olan iki tank ele geçirdi. Bu iki sayı arasındaki fark 50’dir; yarısı 25 eder. Bu değeri en yüksek seri numarası olan 150’ye eklediğimizde, yaklaşık 175 tank üretildiği sonucuna varılır.
ALO’nun gerçekte kullandığı istatistiksel formül biraz daha karmaşıktı ve ileri düzey matematik içeriyordu. Ancak hesaplamanın temelinde aynı ilke yatıyordu: Seri numaralarının tipik, yani dizinin ortasına yakın değerlere karşılık geldiği varsayımı.
Az sayıdaki ele geçirilmiş tanktan elde edilen verilere dayanarak, ALO Almanya’nın aylık tank üretimini yaklaşık 246 olarak tahmin etti. Bu rakam, ABD istihbaratının öngörüsünden yaklaşık %80 daha düşüktü. Normandiya çıkarması öncesi Müttefiklerin daha güvende hissetmesinin nedenlerinden biri de bu daha düşük üretim tahminiydi. Savaşın ardından incelenen Alman kayıtları, gerçek aylık üretimin 245 olduğunu ortaya koydu.
ALO aynı yöntemi V-1 roketlerinin üretimini tahmin etmekte de kullandı. Toplam üretimi yaklaşık 13.000 olarak hesapladılar; savaş sonrası belirlenen gerçek sayı ise yaklaşık 12.000 idi. Benzer teknikler hafif, orta ve ağır kamyon üretimi için de uygulandı. Savaş sonrası yapılan analizler, bu tahminlerin gerçek değerlerden ortalama yalnızca %22 sapma gösterdiğini ortaya koydu.
Sonuç olarak
Gördüğünüz gibi, kimi zaman bir savaşın yönünü değiştiren şey, cephedeki silahlar değil, sessiz bir odada yapılan matematiksel bir hesaptır.
İstatistiğin savaşta başarılı biçimde kullanılmasına dair bir başka örnek için de bu yazıya göz atınız. Matematikçi Abraham Wald 2. Dünya Savaşının Seyrini Nasıl Değiştirdi?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- How a statistical formula won the war; Kaynak site: The Guardian. yayınlanma tarihi: 20 Temmuz 2006; Bağlantı: How a statistical formula won the war/
- Simon, Cory. (2023). A Bayesian Treatment of the German Tank Problem. The Mathematical Intelligencer. 46. 1-11. 10.1007/s00283-023-10274-6.
- Miller, Steven J. et al. “The German Tank Problem with Multiple Factories.” The PUMP Journal of Undergraduate Research (2024): n. pag.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
