1982 yılında, Lehigh Üniversitesi’nde matematik profesörü olan Albert Wilansky, Two-Year College Mathematics Journal adlı dergide kısa bir makale yayımladı. Bu yazısında bileşik sayıların yeni bir alt kümesini tanımladı. Ona göre, asal çarpanlarının basamaklarının toplamı, sayının kendi basamakları toplamına eşitse, bu tür bileşik sayılara Smith sayısı denir.
Albert Wilansky tarafından ilk kez tanımlandığından beri Smith sayıları, sayı kuramında dikkat çeken konulardan biri haline geldi. Ancak teknik özelliklerinden önce, bu sayıların ortaya çıkış hikâyesi onları ilginç kılan yönlerden biridir.
Wilansky, bir gün üvey kardeşi Harold Smith’i aramak için telefonun başına geçer ve numarayı çevirir: 4-9-3-7-7-7-5. Matematiksel düşünme alışkanlığıyla bu numarayı bir bütün sayı gibi ele alır: 4.937.775. Sohbet sırasında bu sayının asal çarpanlarına ayırmayı dener. Sonrasında da ilginç bir durumu fark eder:
4.937.775 = 3 × 5 × 5 × 65.837
Sayının basamaklarının toplamı: 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42 yapar. Ayrıca asal çarpanların basamaklarının toplamı: 3 + 5 + 5 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7) = 42‘dir. Bu eşitlik Wilansky’nin ilgisini çeker. Farklı sayılar üzerinde denemeler yapar ve bu özelliği taşıyan birçok sayı daha bulur. Anlamlı bir tesadüf olarak, bu özel sayı grubuna Smith sayıları adını verir.
1000′den küçük 49 tane Smith sayısı vardır. 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958 ve 985.
Smith Sayıları İle Bir Çoğumuz Sınavlar Sayesinde Tanıştık
Asal sayıların tanımı yapıldıktan sonra, matematikçilerin aklındaki ilk büyük sorulardan biri şuydu. Asal sayılar sonsuz mu? Bu soru, sayı kuramının temel taşlarından biri haline geldi. Tarih boyunca matematikçiler tarafından büyük bir ilgiyle takip edildi. Bugün artık biliyoruz ki, asal sayılar gerçekten sonsuzdur. Bu durum, Öklid’in klasik ispatıyla binlerce yıl önce kanıtlanmıştır.
Benzer şekilde, Smith sayılarının da sonsuz tane olup olmadığı zamanla merak konusu oldu. Ve tarih yine kendini tekrar etti: Smith sayılarına dair bu soru da yanıtını buldu. Bu özel sayı grubunun sonsuz sayıda olduğu, Smith sayılarının keşfinden beş yıl sonra, 1987 yılında McDaniel tarafından ispatlandı. Elbette çoğumuzun Smith sayısıyla tanışması, bir sınav sorusu sayesinde olmuştur :)
Smith Sayıları’nın keşfi, yalnızca bu özel sayı grubuna dikkat çekmekle kalmadı. Aynı zamanda bu sayıların içinde başka ilginç desenler ve alt grupların da tanımlanmasına yol açtı. Bu alt gruplardan biri Yarı Asal Smith Sayılarıdır. Bu grup, yalnızca iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen Smith sayılarından oluşur. Örneğin 121 böyle bir sayıdır:
- 121 = 11 × 11
- Basamakları toplamı: 1 + 2 + 1 = 4
- Asal çarpanlarının basamakları toplamı: 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Dolayısıyla 121, hem bir Smith sayısı hem de yalnızca iki asal çarpanı olduğu için bir yarı asal Smith sayısıdır.
Bir diğer ilginç grup, Palindromik Smith Sayılarıdır. Bu sayılar, tersten okunduğunda da aynı kalan sayılardır. Örneğin:
- 666 = 2 × 3 × 3 × 37
- Basamaklar toplamı: 6 + 6 + 6 = 18
- Asal çarpanların basamakları toplamı: 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18. Ayrıca 666 tersten okunduğunda yine 666’dır, bu da onu hem bir Smith sayısı hem de palindromik bir sayı yapar.
Buna ek olarak, art arda gelen Smith sayıları da dikkat çeker. Bu tür örneklere Smith Kardeş Sayılar denir. Örneğin: 728 ve 729, 2964 ve 2965. Bu sayılar aritmetik olarak ardışık olup, her biri ayrı ayrı Smith özelliği taşır.
Sonuç Olarak
Tüm bunları okuduktan sonra aklınıza “Peki ama bunlar ne işe yarar?” sorusu gelmiş olabilir. Aslında bu soru, zaman zaman bazı matematikçilerin de sorduğu bir sorudur.
Smith sayıları gibi özel sayı türleri, çoğu zaman doğrudan bir uygulama sunmaz. Ancak bu onları değersiz kılmaz. Aksine, bu tür sayılar sayıların yapısı üzerine düşünmeyi teşvik eder. Öğrenciler için sayıların dünyasını keşfetmenin kapısını aralar. Üstelik yalnızca sayılarla değil, bu sayıların izini süren, onları tanımlayan ve isimlendiren matematikçilerin hikayeleriyle birlikte gelirler.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- McDaniel, Wayne. (1987). The Existence of Infinitely Many k -Smith Numbers. The Fibonacci Quarterly. 25. 76-80. 10.1080/00150517.1987.12429731.
- Oltikar, Sham & Wayland, Keith. (1983). Construction of Smith Numbers. Mathematics Magazine. 56. 36-37. 10.1080/0025570X.1983.11977013.
- Pickover, Clifford. (2001). A Brief History of Smith Numbers. 10.1093/oso/9780195133424.003.0104.
- Patrick Costello; Largest Smith Number; https://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/40-4/costello.pdf
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
