İlginç Sorular ve Bulmacalar

19. Yüzyıldan Kalma Bir Resimde Yer Alan Matematik Sorusu

On dokuzuncu yüzyılın sonunda, Rus ressam Nikolai Petrovich Belsky (1868–1945), 1895 yılında “Mental Arithmetic. In the People’s School of SA Rachinsky” isimli bu tablosunu tamamladı. Resim, 19. yüzyılın sonlarına ait bir köy okulunu ve bu okuldaki bir aritmetik dersini tasvir ediyordu. Resimdeki öğretmen Sergei Alexandrovich Rachinsky (1833-1902) idi. Moskova Üniversitesi’nde profesör olan matematikçi Rachinsky, 1872’de üniversitedeki görevinden istifa edip köyüne dönmüş, buradaki köy okulunda devrim niteliğinde çalışmalar yapmış ve matematik öğretmek için benzersiz yöntemler geliştirmişti. Kendisi de Rachinsky’nin eski bir öğrencisi olan Belsky, çalışmalarına, bu okula ait anılarını sıklıkla yansıtmıştı.

Çocukluğunda yaşadığı bir anıdan mıdır yoksa tamamen kurgusal mıdır bilinmese de resimde tahtada yazılan bir soru üzerine düşünen ve kafalarından hesap yapmaya çalışan öğrencileri görüyoruz. Yüz ifadelerine bakıldığı zaman bu öğrencilerin soru karşısında zorlandıklarını görmek mümkün.

Aslında resme daha dikkatli bakıldığı zaman tahtada gerçek bir matematik sorusu yazıldığı görülüyor. Tahtadaki soru aşağıdaki gibi.

Hesap makinesi olmadan bu sorunu çözmeye çalıştığınızı hayal edin. Kesinlikle yapılabilirsiniz ancak bu biraz zaman alıcıdır. Bununla birlikte, sayılar arasında var olan harika ilişkiler sayesinde, sorunun cevabını çok kısa sürede yapmanız mümkündür. Hatta bu ilişkiyi tam olarak anladıktan sonra sizde başka rakamlar ile başka sorular oluşturabilir ve etrafınızda aynı şaşkınlığı yaratabilirsiniz. Bu soruyu çözmenin yolu pay kısmında bulunan sayıları gruplayarak düşünmektir. Öncelikle 10,11 ve 12 sayılarının kareleri toplamına bir göz atalım. 102+112+122=365 yapacaktır. Şimdide 13 ve 14 için hesaba bakalım. 132+142 nin de 365 yaptığını göreceksiniz. Bu durumda ilginç bir ilişki keşfetmiş olduk. 102+112+122=132+142

Bu sayede sorunun cevabı da 730/365 hesabıyla iki çıkacaktır. Aslında bu bir kuraldan ziyade cebirsel ifadelerin matematiksel işlemleri yapmada nasıl kullanılabileceğimi gösteren keyifli bir örnektir. Tahtadaki soruyu aşağıdaki gibi düşünürsek, birçok sayı parantezler açıldığında birbirini götürdüğü için çözümü sağlayan tek sayının 12 olduğunu kolayca görebiliriz.

Bu Matematik Sorusu Üzerine Nasıl Bir Genelleme yapabiliriz?

Bu durumda 102+112+122+132+142 = (12-2)2+(12-1)2+122+(12+1)2+(12+2)2 olacaktır. Açılımı yaptığımız zaman 5. 122+2.4+2.1 elde ederiz. Şimdi öğrendiğimiz bu bilgiyi 482 + 492 + 502 + 512 + 522 sonucunu hesaplamak için kullanalım. Yukarıdaki mantığı buraya uygularsanız cevap 5. 502+ 2.4+2.1 olacaktır. 12510 cevabını da bu aşamadan sonra birçok kişi aklından verebilecektir.

Aynı biçimde 84 2 + 87 2 + 90 2 + 93 2 + 96 2 işleminin cevabının da 5.902+2.36+2.9 oluğunu ve sonucun fazlada zorlanmadan 40590 çıktığını söyleyebiliriz. Bu kalıbı anlayanlar aslında aşağıdaki örnekte de benzer kalıp olduğunu fark edeceklerdir. 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272 = 2,030

Yukarıdaki mantıkla bu hesabı da cebirsel ifadeler biçiminde yazabilir ve bulduğunuz sonuçları kolaylıkla başka sayılara uygulayabilirsiniz Bu tür hesaplamaları bir hesap makinesi ile yapmak mümkün olsa da, hesaplamamızı kolaylaştırmak için bir model aramak daha eğlenceli olabilir. Uğraşmak isteyenlere şimdiden iyi eğlenceler!

Kaynak: Alfred S. Posamentier; Mathematical Curiosities: A Treasure Trove of Unexpected Entertainments; 2014; Prometheus Books

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu