Sayıları temsil etmenin pek çok yolu vardır. Her biri farklı matematiksel ihtiyaçlara çözüm sunar. Ancak, genellikle göz ardı edilen ve matematiksel anlatımlarda nadiren yer verilen bir yöntem daha vardır: sürekli kesirler.
Sürekli Kesirler Nedir?
Her şeyden önce, sürekli kesirler sıradan kesirlere benzer; ama daha fazlasıdır. Bir kesir gibi görünürler, fakat tek bir pay ve tek bir paydada durmazlar. Örneğin 1/2 gibi basit bir kesirde payda sona erer. Sürekli kesirlerde ise paydanın içinde bir kesir daha vardır; onun paydasında bir kesir daha, ve bu yapı böyle devam eder.
Bu zincir sonlu ya da sonsuz olur. Sonlu olduğu durumda, sürekli kesir bir rasyonel sayıyı temsil eder. Buna karşılık, sürekli kesirde sonsuz sayıda terim varsa, ortaya çıkan sayı irrasyoneldir. Bu durum, ondalık gösterimlerle karşılaştırıldığında sürekli kesirlerin önemli bir avantajını ortaya koyar.
İkinci dereceden şu denklemi ele alalım: z² − bz − 1 = 0. Bu denklemi z’ye böldüğümüzde şu ifadeyi elde ederiz: z = b + 1/z. Şimdi sağ taraftaki kesrin paydasındaki z yerine, yine bu ifadeyi yazalım: z = b + 1 / (b + 1/z).
Bu işlemi aynı biçimde sürdürdüğümüzde, iç içe geçen ve sonsuza kadar devam eden bir kesir yapısı ortaya çıkar: z = b + 1 / (b + 1 / (b + 1 / …)). Ortaya çıkan bu yapı, bir sürekli kesir örneğidir. Bu yapı bizi, bir sayının genel sürekli kesir açılımını tanımlamaya götürür
Sürekli Kesirler İle Nasıl İşlem Yapılır?
Bir sürekli kesrin ne kadar “uzun” olduğu, aslında temsil ettiği sayının doğasıyla ilgilidir. Bazı sürekli kesirler birkaç adım sonra sona erer, bazıları ise hiç bitmez. Bu iki durum arasındaki fark, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkın tam kendisidir.
Eğer bir sürekli kesir sonluysa, yani yalnızca sınırlı sayıda terim içeriyorsa, bu kesir alttan başlayarak kolayca hesaplanır ve sonuç her zaman bir rasyonel sayı olur. Ama sürekli kesir sonsuz olduğunda tablo değişir. Terimler bitmediğinde, ortaya çıkan sayı artık irrasyoneldir.
Ancak bu tür sonsuz açılımlar her zaman düzensiz değildir; aksine, çoğu zaman şaşırtıcı bir düzen sergiler. Örneğin e sayısının sürekli kesir açılımı şu şekilde başlar: e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, …]
Burada hemen bir düzen hissi oluşur. Terimler rastgele değildir; belirli aralıklarla büyüyen, bilinçli bir yapı izlenimi verir. √2’nin sürekli kesir açılımı ise √2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, …] şeklindedir. Yapı son derece sadedir ve neredeyse tekdüze bir tekrar içerir.
√3’e geçtiğimizde ise desen bir miktar çeşitlenir: √3 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …]. Bu örnekler, sürekli kesirlerin tek bir davranış biçimine sahip olmadığını gösterir. Bazı sayılar basit ve tekrar eden desenler üretirken, bazıları daha karmaşık ama yine de düzenli yapılar sergiler. Bu farkın en çarpıcı biçimde ortaya çıktığı sayı ise π’dir.
Peki Bu Ne İşe Yarar?
Bazı durumlarda sürekli kesirlerle işlem yapmak, ilk bakışta sanıldığından çok daha kolaydır. Örneğin sıradan bir kesirde çarpmaya göre tersi almak için yaptığımız şey basittir. Sadece pay ile paydayı yer değiştiririz. Sürekli kesirler çok uzun, hatta sonsuz olabildiği için, bu tür bir işlemin burada mümkün olmayacağı düşünülebilir. Oysa durum tam tersidir.
Elimizdeki bir sayıyı sürekli kesir biçiminde yazdığımızda, ters alma işlemi neredeyse zahmetsiz hâle gelir. Örneğin 2,3456 sayısının gösterimi [2; 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 4] şeklindedir. Bu sayının çarpmaya göre tersini almak için uzun hesaplar yapmaya gerek yoktur. Yapılacak tek şey, ifadenin başına bir sıfır eklemektir. Böylece ters çevrilmiş hâli [0; 2, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 4] olur.
Eğer zaten 0 ile başlıyorsa, bu kez yapılacak işlem tersine döner. Baştaki sıfırı kaldırmak yeterlidir. Bu kadar basit bir kuralın, bu kadar karmaşık görünen bir yapıda işe yaraması oldukça şaşırtıcıdır.
Peki, sürekli kesirlerin gerçekten işe yaradığı somut bir alan var mıdır? Özellikle bilgisayarlar söz konusu olduğunda bu sorunun yanıtı nettir: evet. Bu bağlantı ilk kez 1972 yılında Bill Gosper tarafından açık biçimde ortaya kondu.
Gosper, sürekli kesirleri kullanarak bugün “lazy evaluation” olarak bilinen programlama yaklaşımının temellerini attı. Bu çalışmayla birlikte, sürekli kesirler bilgisayar programlarında doğrudan kullanılabilecek bir yapıya kavuştu.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Mark C. Chu-Carroll; A Geek’s Guide to the Beauty of Numbers, Logic, and Computation; 2013 The Pragmatic Programmers
- What’s So Great about Continued Fractions? Yayınlanma tarihi: 17 Mart 2015; Bağlantı: https://blogs.scientificamerican.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Ilgi ve merakla takip ediyorum. Emekleriniz için teşekkürler.
Keşke matematik eğitimi bu sayfadan yapılsa.
Bu arada 55 yaşındayım ve matematik ilgimi doyuran çalışmalarınız için tekrar teşekkür ediyorum.