Bir anlamda hepimiz sonsuzluğun ne olduğuna dair bir sezgiye sahibiz. Sonsuzluk, asla bitmeyen şeyleri tanımlar. Örneğin, sonu olmayan bir evren ya da 1, 2, 3, 4, … şeklinde uzayıp giden doğal sayılar listesi. Ne kadar sayarsanız sayın, tüm sayılara ulaşamazsınız. En hızlı uzay gemisiyle bile hareket etseniz, sonsuz bir evrenin sonuna varamazsınız.
Bu tür bir sonsuzluk, Antik Yunanlı matematikçi Aristoteles’in “potansiyel sonsuzluk” olarak adlandırdığı şeydir: Varlığı kesindir, ancak onunla doğrudan karşılaşmanız mümkün değildir. Bu listelerin ya da uzamların sonuna ulaşamazsınız.
Şimdi sonsuz uzunlukta bir düz çizgi düşünün; tam önünüzdeki bir noktadan başlayıp sonsuza kadar dümdüz uzanan bir çizgi. Temsil ettiği sonsuzluk, doğal sayılarla temsil edilen sonsuzlukla aynı mıdır? Sezgisel olarak, ikisinin farklı olduğunu düşünebilirsiniz.
Doğal sayılar birbirinden ayrık, kesikli varlıklardır; oysa doğru bir süreklilik oluşturur. Doğal sayıları doğru üzerine, her biri arasında 1 metre olacak şekilde yerleştirebilirsiniz. Bu durum, doğrunun temsil ettiği sonsuzluğun, doğal sayıların sonsuzluğundan daha “fazla” olduğu izlenimini verir; çünkü doğru, sayılar arasındaki boşlukları da doldurabilir.
Matematikçiler bu sezgiye katılıyorlar. Bu nedenle bir matematikçiye “Sonsuzluk nedir?” biçiminde bir soru sorarsanız alacağınız cevap muhtemelen “Hangi sonsuzluk? biçiminde olacaktır. Bunun nedeni matematikçilerin sonsuzluğu sayılabilen sonsuzluklar ile sayılamayan sonsuzluklar olarak ikiye ayırmasıdır.
Sayılabilir Ve Sayılamayan Sonsuzluk Nedir?
Doğal sayılar sayılabilen bir sonsuzluktur. Eğer sonsuz bir zamanınız olsaydı hepsini sayabilirdiniz. Sonsuz sayıda insandan oluşan bir grup da sayılabilir bir sonsuzluktur. Sonucunda bir kere daha sonsuz zamanınız olsaydı bu insanların tümünün isimlerini bir liste yapardınız, sonra da aynı doğal sayılarda olduğu gibi sayardınız.
Peki ya sonsuz uzunluktaki doğru? O da sonsuz sayıda nesneden oluşur; bu durumda nesneler, doğru üzerindeki noktalardır. Bu doğruyu sonsuz uzunlukta bir cetvel gibi düşünürseniz, her nokta bir sayıyla eşleşir. Başlangıç noktası 0 olur, yarım metre ilerideki nokta 0.5 olur, ve bu şekilde devam eder.
Peki bu sayıları da listeleyerek onların da sayılabilir sonsuzluk oluşturduğunu gösterebilir misiniz? Bu sayıları büyüklüklerine göre sıralamaya çalışmak bir yol olacaktır.. Ancak bu yöntem hızla sorun yaratır. İlk sayı açıkça 0 olmalıdır, ama ikinci ne olacak? 0.1 diyebilirsiniz, fakat 0.01 ondan küçüktür, o zaman önce gelmelidir. Peki ya 0.001? Ondalık noktadan sonra fazladan bir sıfır ekleyerek her zaman daha küçük bir sayı bulabilirsiniz. Bu nedenle, bu sayıları büyüklük sırasına göre listelemek işe yaramaz.
Peki başka bir sıralama yöntemi mümkün mü? Cevap: Hayır. Pozitif reel sayılarla ilgili oldukça açık bir argüman, hangi listeyi yaparsanız yapın, o listenin mutlaka en az bir pozitif reel sayıyı dışarıda bırakacağını gösterir. Tam bir liste oluşturmak mümkün değildir.
Bu durum, sonsuz uzunluktaki doğrunun (ya da eşdeğer olarak pozitif reel sayıların) temsil ettiği sonsuzluğun sayılamaz bir sonsuzluk olduğunu gösterir.
Hangi Sonsuzluk Daha Büyüktür?
Peki, sonsuz uzunluktaki doğrunun temsil ettiği sonsuzluğun, doğal sayıların sonsuzluğundan “daha büyük” olduğu düşüncesi ne anlama geliyor? Sonlu kümelerin büyüklüğünü karşılaştırmanın bir yolu, saymaya gerek kalmadan öğeleri birebir eşleştirmektir. Örneğin, bir grup sandalye ve bir grup insan düşünün. Eğer her insan için bir sandalye varsa ve hiç sandalye artmıyorsa, sandalye sayısı ile insan sayısı eşittir. Sandalye artıyorsa, sandalye sayısı daha fazladır; ayakta kalan insanlar varsa, insan sayısı daha fazladır.
Bu fikri sonsuz kümelere de uygulamak mümkündür. Eğer A kümesindeki her nesne, B kümesindeki tam olarak bir nesneyle eşleşiyorsa ve tersi de geçerliyse, yani her iki küme birebir eşlenebiliyorsa, bu kümelerin aynı büyüklükte — matematiksel terimle, aynı kardinaliteye — sahip olduğu söylenir. Daha önce verdiğimiz sonsuz insan örneğinde bunu gördük. İnsanlar listeye alınarak, her birine bir doğal sayı verilmişti. Bu şekilde, her insan bir doğal sayıyla, her doğal sayı da bir insanla eşleşmişti. Bu yüzden, bu iki küme aynı tür sonsuzluğu temsil eder.
Ancak sonsuz doğru üzerindeki noktalara dönersek, bu noktaları doğal sayılarla birebir eşleştirmeye çalıştığınızda, her zaman dışarıda kalan en az bir nokta olur. Bu nedenle, doğrunun kardinalitesi (yani sayılamaz sonsuzluk), doğal sayıların kardinalitesinden (sayılabilir sonsuzluk) büyüktür.
Sonsuzluk ile Uğraşmak Tuhaf Sorunlara Neden Olacaktır.
Sezgisel olarak, sayılamaz sonsuzluklar sayılabilir olanlara göre daha karmaşık ve yönetilmesi zor görünür. Ancak bu, sayılabilir sonsuzlukların da her zaman basit olduğu anlamına gelmez. Örneğin, tüm çift sayıları düşünün: 2, 4, 6, 8, … Bu sayıların da sonu yoktur. Peki, bu sonsuzluğun kardinalitesi (yani “büyüklüğü”), tüm doğal sayıların kardinalitesine göre nedir? İlk bakışta yarısı kadar olmalı gibi gelecektir.
Ama cevap hayırdır. Daha önce söylediğimiz gibi, iki sonsuz kümenin aynı kardinaliteye sahip olması, aralarındaki öğelerin birebir eşleşebilmesi anlamına gelir. Ve tüm çift sayılar ile doğal sayılar arasında birebir eşleme yapmak oldukça kolaydır:
Bu durumda, çift sayıların kardinalitesi doğal sayılarınkiyle aynıdır. Bu size garip geliyorsa, sıradaki sonuç daha da şaşırtıcı olabilir: Tüm rasyonel sayılar — yani 1/2 ya da 5/6 gibi kesirli sayılar — da listelenebilir. Yani, doğal sayılarla birebir eşleştirilebilirler.
Oysa ilk bakışta rasyonel sayıların çok daha fazla olduğu düşünülür. Sonucunda iki ardışık doğal sayı arasında bile sonsuz sayıda kesir vardır. Buna rağmen, rasyonel sayılar kümesi ile doğal sayılar kümesi aynı kardinaliteye sahiptir.
George Cantor Tüm Sonsuzlukların Aynı Olmadığını Akıllıca Kanıtlamıştı
Ünlü bilim insanı Galileo Galilei, 17. yüzyılda sonsuzlukla ilgili bu tür garip gerçekleri keşfetmişti. Ancak ona o kadar tuhaf gelmişti ki, sonsuzluk üzerine düşünmekten vazgeçmiş ve “sonsuz nicelikler arasında daha büyük, daha küçük ya da eşit gibi bir ayrım yapamayız” demişti.
Bu düşünceleri, 200 yıl kadar sonra, matematikçi Georg Cantor yeniden ele aldı. Bu garipliklerden etkilenmeden çok daha ileri gitti. Her biri bir öncekinden daha büyük olan sonsuzluklardan oluşan bir yapı keşfetti. Doğal sayıların sonsuzluğu ve doğrunun sonsuzluğu, bu yapının yalnızca iki katmanıdır.
Cantor, kümelerin farklı büyüklüklerini ölçen özel sayılardan oluşan bir sistem geliştirdi. Bu sayılara kardinal sayılar denir. Temel özellikleri, her kümenin yalnızca bir kardinal sayı ile eşleştirilebilmesidir.
İlk sonsuz kardinal sayı ℵ₀ (aleph sıfır) olarak adlandırılır; ℵ, İbranice alfabenin ilk harfidir. ℵ₀, doğal sayılar kümesinin büyüklüğünü ifade eder. Yani, bir kümedeki elemanlar doğal sayılarla birebir eşleşebiliyorsa, o kümenin büyüklüğü ℵ₀’dır. Bu nedenle, ℵ₀ kardinalitesine sahip kümelere sayılabilir kümeler denir.
Bir sonraki kardinal sayı ℵ₁’dir: bu, ilk sayılamaz kardinaldir. Ardından ℵ₂, ℵ₃ ve devamı gelir — ve bu sadece başlangıçtır. En büyük kardinal sayı yoktur; ne kadar büyük bir kardinal sayıdan bahsederseniz edin, her zaman ondan daha büyük bir sonraki kardinal tanımlanabilir.
Sonuç olarak
Cantor fikirlerini ilk yayımladığında, bazı meslektaşlarının güçlü tepkileriyle karşılaştı. Henri Poincaré, Cantor’un düşüncelerini “ağır bir hastalık” olarak nitelendirdi. Leopold Kronecker ise onu “bilimsel bir sahtekâr” ve “gençliğin ahlakını bozan biri” olarak suçladı. Cantor, bu reddedilmenin de etkisiyle ağır zihinsel sorunlar yaşadı. Sonucunda “Sonsuzluk nedir?” sorusuna aradığı ve bulduğu cevap onun akıl sağlığını etkiledi ve sonunu hazırladı.
Bugün biliyoruz ki, Cantor’un çalışmaları yalnızca zamanının ilerisindeydi. Aradan geçen 150 yılın ardından, onun fikirleri matematiğin temel taşlarından biri hâline gelmiş durumda.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- What Is Infinity? Yayınlanma tarihi: 30 Kasım 2017; Bağlantı: https://www.mentalfloss.com/
- What is infinity? Yayınlanma tarihi: 4 Şubat 2015. Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: What is infinity?
Matematiksel
