Bazen doğruluğundan emin olamadığımız bir düşüncenin yanlış olduğunu varsayarak ne sonuçlar doğuracağını sorgularız. Ya da yanlış olduğunu düşündüğümüz bir önermeyi doğru kabul edip bu varsayımın bizi nereye götüreceğini inceleriz. Aristo’ya kadar uzanan bu eski ama geçerli akıl yürütme yöntemi reductio ad absurdum, yani olmayanı varsayma yoluyla kanıtlama ya da olmayanına ergi olarak bilinir.
Bu Latince terimin kökeni, Aristoteles’in Önermeler Analitiği (Prior Analytics) adlı eserinde sıkça geçen Yunanca ifade hê eis to adunaton apagôgêye, yani “imkânsıza indirgeme”ye dayanır. En genel anlamıyla bir düşünceyi çürütme yöntemidir. Çünkü savunulan bir önermenin kabul edilmesi durumunda saçma, tutarsız veya imkânsız sonuçlar ortaya çıkacağı gösterilir. Bu yöntemin üç temel biçimi vardır:
- Açıkça akla aykırı ya da gülünç sonuçlar üretmesi (ad ridiculum veya ad incommodum)
- Kendiyle çelişen sonuçlara yol açması (ad absurdum)
- Açıkça yanlış sonuçlar doğurması (ad falsum veya ad impossible)
Reductio yöntemi yalnızca önermelere değil, düşünce sistemlerine, tanımlara ve yöntemlere de uygulanabilir. Amacı, bir savın kendi içinde tutarsız olduğunu göstererek onu geçersiz kılmaktır. Bu yönüyle reductio ad absurdum, hem felsefede hem matematikte güçlü bir akıl yürütme aracıdır.
Reductio Ad Absurdum Nasıl Çalışır?
Reductio ad absurdum (olmayanına ergi) yönteminde amaç, bir önermenin yanlış olamayacağını göstermek için onun yanlış olduğunu varsayıp mantıksal bir çelişkiye ulaşmaktır. Şimdi adım adım bakalım:
- p doğru kabul edilir.
- Bu varsayımdan ~p (yani “p yanlış”) sonucu çıkarsa, ortada bir çelişki olur. Çünkü bir şey hem doğru hem yanlış olamaz.
- Bu durumda “p doğruysa, o hâlde p aynı zamanda yanlış olur” biçiminde bir önerme elde ederiz. Bu, mantıksal olarak p → (p & ~p) anlamına gelir, yani “p doğruysa, hem p hem ~p doğrudur.”
- Ancak “p & ~p” yani “bir şeyin hem doğru hem yanlış olması” çelişki yasasına aykırıdır. Mantıkta böyle bir durum imkânsızdır.
- Bu çelişkiyi gördüğümüzde, ilk varsayımımızın (p’nin doğru olduğu varsayımının) yanlış olduğunu anlarız. Dolayısıyla ~p (yani “p yanlış”) sonucuna ulaşırız.
Örneğin, 0’a bölmeyi düşünelim. x ≠ 0 iken x ÷ 0 = Q gibi tanımlı bir büyüklük varsayalım. Bu durumda x = 0 × Q olur. Ancak 0 × herhangi bir sayı 0’dır, dolayısıyla x = 0 çıkar. Bu sonuç başlangıç varsayımıyla çelişir. Dolayısıyla x ÷ 0 ifadesinin tanımlı olabileceği varsayımı reddedilir.
Reductio Ad Absurdum İçin Bir Örnek
Reductio ad absurdum’un en ünlü örneklerinden biri karekök 2’nin irrasyonel olduğuna dair ispatla ilgilidir.
MÖ 5. yüzyılda Pisagor ve onun öğrencileri, evrenin özünün sayılardan oluştuğuna inanıyordu. Onlara göre tüm sayılar rasyoneldi; yani her sayı ya bir sayma sayısıydı ya da iki sayma sayısının oranı biçiminde ifade edilebilirdi. Ancak bir Yunan matematikçi matematiğin temellerini sarsan ve efsaneye göre hayatına mal olan bir keşif yaptı.
Kanıt şöyle kurulur: Karenin kenarı s, köşegeni d olsun. Pisagor teoremine göre d² = 2s²’dir. Şimdi, olmayanına ergi yöntemiyle, d ve s’nin aynı ölçü birimiyle ifade edilebildiğini varsayalım. Yani d = n·u ve s = m·u olsun. (Burada m ve n, aralarında ortak böleni olmayan tam sayılardır).
Bu durumda n² = 2m² olur. Bu eşitlik, n’nin çift olduğunu gösterir. Çünkü yalnızca çift sayıların karesi çifttir. Şimdi n = 2k yazarsak, denklem 4k² = 2m² olur ve buradan m² = 2k² bulunur. Aynı mantıkla m de çift çıkar. Böylece hem m hem n çift olur; bu da aralarında ortak bölenleri olmadığı varsayımıyla çelişir.
Ortaya çıkan bu çelişki, ilk varsayımımızın yanlış olduğunu gösterir. Yani d ve s ortak bir ölçü birimiyle ifade edilemez. Başka bir deyişle, karenin köşegeni irrasyonel bir uzunluktur.
Bu ispat, olmayanına ergi yönteminin özünü yansıtır. Bir varsayımın doğru olduğunu kabul ederiz. Ancak o varsayım bizi imkânsız bir sonuca götürüyorsa, onun yanlış olduğunu anlarız.
Sonuç Olarak
Matematikteki düşünme kalıplarını, çoğu zaman farkında olmadan günlük yaşamda da kullanırız. Reductio ad absurdum tekniği bunun güzel bir örneğidir; mizah alanında da aynı mantıkla işler.
Birçok mizah öyküsü “ya şöyle olsaydı?” biçiminde cümlelerle açılır. Bu “ya olsaydı” varsayımı, öyküdeki saçma sonuçların temelini oluşturur. Matematikte reductio ad absurdum saçmalığa ulaşarak bir önermeyi çürütmeyi amaçlarken, mizah bunu tersine çevirir: saçmalığın kendisi amaç haline gelir. Belki de Hoca fıkralarına bu gözle yeniden bakmanın zamanı gelmiştir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Reductio Ad Absurdum in Argument. Kaynak site: yayınlanma tarihi: Thought Bağlantı: Reductio Ad Absurdum in Argument
- Britannica, The Editors of Encyclopaedia. “reductio ad absurdum”. Encyclopedia Britannica, 29 Apr. 2024, https://www.britannica.com/topic/reductio-ad-absurdum. Accessed 16 May 2024.
- Gilbert Ryle, “Philosophical Arguments,” Colloquium Papers, vol. 2 (Bristol: University of Bristol, 1992), pp. 194-211.
Matematiksel
