Kaosun hâkim olduğu bir dünyada yaşıyor olsak da, düzen ve örüntüler ararız. Ramsey teorisi, bu eğilimi matematiksel düzeyde ele alır ve karmaşık görünen sistemlerde ortaya çıkan düzenleri incelemeyi amaçlar.
Taylor Swift hayranları, yani Swiftie’ler, popüler kültürde sıra dışı bir topluluk olarak öne çıkar. Swiftie kültürünün önemli bir parçası ise dostluk bileklikleridir. Renkli boncuklardan yapılan bu bileklikler yalnızca bir hatıra değil, küçük bir takas kültürünün de temelidir.
Bileklikler genellikle konser öncesinde takas edilir. Altı Swiftie’nin bulunduğu varsayımsal bir durumda, bazıları takas yaparken bazıları yapmaz. Ancak kimlerin kimlerle takas ettiği değişse de sonuç değişmez. Her durumda ya üç kişinin karşılıklı takas yaptığı ya da yapmadığı bir grup ortaya çıkar.
Bu durumu ağ kuramı diliyle ifade etmek mümkündür. Swiftie’ler düğümler, bileklik takasları ise bağlantılar olarak düşünüldüğünde, karşılıklı takas yapan üçlüler tam bağlı ağlar oluşturur. Hiç takas yapmayan üçlüler ise bağlantısız ağlardır. Altı düğümlü bir ağda, bağlantılar nasıl düzenlenirse düzenlensin, mutlaka üç bağlantılı ya da üç bağlantısız ağ ortaya çıkar.
Bu sonuç, etkileşimin türünden bağımsızdır. Bileklik takası yerine arkadaşlık, tanışıklık ya da başka bir sosyal ilişki konulduğunda da aynı yapı geçerlidir. Altı kişilik bir grupta her zaman ya üç karşılıklı arkadaş ya da üç karşılıklı yabancı mevcuttur. Buna karşılık beş kişilik bir grupta böyle bir garanti yoktur.
Swiftie’lerin dostluk bilekliği takası üzerinden anlatılan bu örnek, ağların temel bir özelliğini gösterir. Belirli bir büyüklüğün üzerindeki ağlarda, bağlantılar ne kadar düzensiz görünürse görünsün, düzenli alt yapılar kaçınılmazdır. Bu ilke, sosyal ağlardan edebiyata ve matematiğe kadar pek çok alanda karşımıza çıkan evrensel bir örüntüdür.
Altı sayısı, her durumda en az üç kişiden oluşan, ya herkesin birbiriyle bağlantılı olduğu ya da hiç kimsenin birbirine bağlanmadığı bir alt grubun ortaya çıkmasını garanti eden en küçük sayıdır. Ancak mesele burada bitmez.
Ramsey Teorisi Nedir?
On binlerce hayranı bir araya getirebilen bir Taylor Swift konserinde, bu tür tam bağlantılı ya da tamamen bağlantısız alt grupların ne kadar büyüktür? Hayran sayısı ne kadar artarsa artsın, bu tür yapıların mutlaka ortaya çıkacağından emin olabilir miyiz?
Bu sorunun yanıtı, Taylor Swift doğmadan çok önce, yaklaşık bir yüzyıl önce verildi. Frank Ramsey, 1928 yılında yayımladığı bir makaleyle bu yanıtın çerçevesini ortaya koydu. “On a Problem of Formal Logic” başlıklı bu çalışma, matematikte bütünüyle yeni bir araştırma alanının doğmasına da yol açtı.. Makale o denli etkili oldu ki, zamanla bu alan Ramsey’nin adıyla anılmaya başlandı.
Ramsey teorisi şu iddiayı ortaya koyar. Diyelim ki 10 sayısını seçtik. Düğüm sayısı yeterince büyük olan her ağda, mutlaka 10 düğümlük belirli bir düzen ortaya çıkar. Bu düzen ya her düğümün diğerlerinin tümüyle bağlantılı olduğu ya da hiçbir bağlantının bulunmadığı bir gruptur.
Asıl sorun, “yeterince büyük” ifadesinin ne anlama geldiğidir. Böyle bir 10’lu grubun ortaya çıkması için ağda kaç düğüm gerekir? 20 mi gerekir, 100 mü, yoksa çok daha fazlası mı? Bu sorunun kesin yanıtını bulmak, 1930’lardan beri matematikçileri zorlayan bir problem olmuştur.
Ramsey teoremini anlamanın bir yolu şudur: Büyük ağlarda tam bir düzensizlik mümkün değildir. Bir sayfaya yeterince çok nokta çizdiğinizi ve bu noktalar arasında bağlantıları rastgele kurduğunuzu düşünün. Bu durumda, ağın içinde mutlaka kaçınılmaz bazı düzenli yapıların ortaya çıktığını görürsünüz.
Ağların bu tür yapılara sahip olabilmesi için ne kadar büyük olmaları gerektiği sorusu, bizi Ramsey’nin adıyla anılan başka bir kavrama götürür: Ramsey sayıları.
Ramsey Sayıları Nedir?
Bu tür düzenli yapıların ortaya çıkması için bir ağın ne kadar büyümesi gerektiği sorusu, Ramsey sayıları kavramını gündeme getirir. Ramsey sayıları, bu eşiği ölçen sayılardır.
Örneğin 10 için Ramsey sayısı, hangi bağlantılar kurulursa kurulsun, içinde mutlaka 10 düğümlük böyle bir düzenli grubun yer aldığı en küçük ağın düğüm sayısını ifade eder. Bu sayı kısaca R₁₀ ile gösterilir ve “R alt on” diye okunur.
Ramsey teoremi, bu sayının mutlaka var olduğunu söyler. Ancak bu sayının tam değerini nasıl bulacağımızı göstermez. Biraz düşününce R₂’nin neden 2 olduğunu kolayca görürüz. İki düğümlü bir ağda ya bu iki düğüm birbirine bağlıdır ya da değildir. Her iki durumda da aradığımız düzen ortaya çıkar.
Daha önce Swiftie bileklikleri örneğinde tartıştığımız gibi, üç düğümlük bir düzen aradığımızda sonuç R₃ = 6 olur. Daha fazla emek ve durum incelemesiyle R₄’ün 18 olduğu da gösterilmiştir. Ancak beşinci Ramsey sayısı, yani R₅’in hâlâ bilinmemektedir. Aranan şey şudur: Kaç düğümden sonra, her ağda mutlaka beş düğümlük böyle bir düzen ortaya çıkar? Bugün bildiğimiz kadarıyla R₅ en az 43, en fazla 46’dır.
Bu aralık yalnızca dört olası değerden oluşur ve ilk bakışta çok küçük görünür. Aklımıza hemen şu soru gelir: Bunu bir bilgisayara yaptırmak mümkün değil mi? Ne yazık ki, günümüz hesaplama gücüyle bile bu mümkün değildir. Olası durumların sayısı, en güçlü bilgisayarların bile altından kalkamayacağı kadar fazladır.
Ramsey Sayılarını Bulmak Neden Bu Kadar Zor?
Bu sayının ne kadar büyük olduğunu görmek için küçük bir hesap yapalım. Sadece 43 düğüm olduğunda bile, aralarında 903 olası bağlantı vardır. Bu da incelenmesi gereken ağ sayısının 2⁹⁰³ olduğu anlamına gelir. Yani 2’nin kendisiyle 903 kez çarpılması. Bu sayı, beynimizdeki sinir bağlantılarının sayısından çok daha büyüktür ve evrendeki elektron sayısını bile kat kat aşar.
Üstelik sorun burada da bitmez. Bu 2⁹⁰³ farklı ağın her biri için, beş düğümden oluşan tüm alt grupların tek tek incelenmesi gerekir. Bu da aramayı daha da yavaşlatır.
Altıncı Ramsey sayısı için durum çok daha kötüdür. Bu sayının 102 ile 160 arasında bir yerde olduğu bilinmektedir. Yani önümüzde 59 olası değerlik oldukça geniş bir aralık vardır. Sorun büyüyerek devam eder. Örneğin R₁₀ için 22.000’den fazla olasılık söz konusudur. On dokuzuncu Ramsey sayısında ise bu sayı 9 milyarı aşar. Matematikçiler, var olduklarını bildikleri ama kesin değerlerine yaklaşamadıkları sayılarla karşı karşıyadır.
Ramsey sayılarının tam değerlerini hesaplamak çok zor olsa da, matematikçiler bu sorunu sınırlar koyarak ele alır. Alt ve üst sınırlar, bir Ramsey sayısının ne kadar büyük ya da küçük olabileceğini kabaca gösterir ve belirsizliği dar bir aralık içine hapseder.
Bu alandaki ilk önemli sonuçlar, Macar matematikçi Paul Erdős ve George Szekeres’e aittir. İkili, 1935’te k’ncı Ramsey sayısının 4ᵏ’yi aşamayacağını göstererek bir üst sınır bulmuştur. Bu sınır çok hızlı büyür, ancak yine de Ramsey sayılarının kontrolsüz biçimde artmadığını gösterir.
Erdős, 1947’de bu kez yaklaşık 2k/2 biçiminde bir alt sınır elde etmiştir. Bu da Ramsey sayılarının ne kadar küçük olamayacağını belirler. Böylece Ramsey sayıları hem aşağıdan hem yukarıdan sınırlandırılmış olur.
Sonraki çalışmalar bu aralığı biraz daraltmıştır, ancak asıl hedef, sınırları mümkün olduğunca birbirine yaklaştırmaktır. Alt ve üst sınırların çakışması ise hâlâ matematikte ulaşılması çok zor bir ideal olarak durmaktadır.
Sonuç Olarak
Ramsey sayıları üzerindeki ilerleme çok yavaş olsa da, son yıllarda önemli adımlar atılmıştır. 2023’te Marcelo Campos, Simon Griffiths, Robert Morris ve Julian Sahasrabudhe, k’ncı Ramsey sayısının 3.993ᵏ ile üstten sınırlandığını gösterdi. Sayısal fark küçük görünse de, bu sonuç son 90 yıldaki en güçlü ilerlemelerden biri sayılır.
Benzer biçimde, dengesiz Ramsey sayıları için de önemli bir gelişme gerçekleşti. Jacques Verstraete ve Sam Mattheus, bir ağda ya dört düğümlük tam bağlantılı bir grup ya da k düğümlük bağlantısız bir grup bulunmasını garanti eden en küçük sayı için yaklaşık k³ mertebesinde bir alt sınır elde etti. Bu, önceki sonuçlara göre büyük bir sıçramaydı ve üst sınıra oldukça yaklaştı.
Ramsey teorisi bugün olgunlaşmış bir alan olsa da, Ramsey sayılarının tam değerleri büyük ölçüde bilinmemektedir. Buna rağmen, kaos içinde düzenin kaçınılmaz olduğu fikri, ağlardan sayı teorisine kadar pek çok alanda matematiksel düşünceyi yönlendirmeye devam etmektedir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Mathematicians Discover Novel Way to Predict Structure in Graphs. Yayınlanma tarihi: 23 Haziran 2023. Kaynak site: Bağlantı: Mathematicians Discover Novel Way to Predict Structure in Graphs
- Ramsey Theory Extracts Order from Chaos when Sorting through Confusing Arrangements of Numbers. Kaynak site: Scientific American. Yayınlanma tarihi: 8 Kasım 2022. Bağlantı: Ramsey Theory Extracts Order from Chaos when Sorting through Confusing Arrangements of Numbers/
Matematiksel
