Hangisi daha büyüktür? Evrendeki atomların sayısı mı, yoksa satranç hamlelerinin sayısı mı? Bu soru, 1948’de “Bilgi Kuramı”nı ortaya atan Claude Shannon’dan gelmişti.
Satrançta tahta sekiz satır ve sekiz sütundan oluşur; oyuna başlarken 32 karede taşlar yer alır. Her oyuncu sekiz piyon, iki kale, iki at, iki fil, bir vezir ve bir şahla oyuna başlar. Her taşın kendine özgü hareket kuralları vardır. Örneğin piyon genelde bir kare ileri gider; yalnızca ilk hamlesinde bir ya da iki kare ilerleme seçeneği bulunur.
Hamle sırası oyuncular arasında dönüşümlüdür ve oyunu beyaz başlatır. Taşlar, rakip taşın bulunduğu kareye giderek onu oyundan çıkarır. Oyunun amacı, rakip şahı kaçamayacağı bir saldırının içine sokmaktır. Bu duruma “şah mat” denir.
Satrançta beyaz oyuncu oyuna başlarken 20 farklı hamle seçeneğine sahip olur. Siyah oyuncu da aynı sayıda olası karşılık verir.. Ancak oyun ilerledikçe tahtada oluşacak konumların sayısı hızla büyür. İlk iki hamle çifti tamamlandığında 197.742 farklı konum mümkündür. Üç hamle çiftinden sonra bu sayı 121 milyonun üzerine çıkar.
Bir fikir vermesi için: Ortalama bir konumda oyuncunun seçeceği yaklaşık 30 yasal hamle vardır. Ortalama bir satranç oyunu da yaklaşık 40 hamle çifti sürer. Bu durumda, tüm olası oyun konumlarının sayısı kabaca 10¹²⁰ biçiminde olacaktır. Bu devasa sayıya, matematikçi ve elektrik mühendisi Claude Shannon’ın onuruna “Shannon sayısı” denir.
Shannon Sayısı Nedir?
Olası satranç oyunlarının toplamı “Shannon Sayısı” olarak bilinir ve 10¹¹¹ ile 10¹²³ arasında olduğu tahmin edilmektedir.. Claude Shannon bu sayıyı ilk kez 1950’de yayımladığı “Programming a Computer for Playing Chess” adlı makalesinde hesapladı. Bu çalışma bilgisayarla satranç alanının doğuşu olarak kabul edilir.
Satrançta her hamle, rakibin verebileceği birçok karşılığı doğurur. Bu durum, dallanarak büyüyen bir yapı oluşturur ve buna oyun ağacı denir. Shannon sayısı, bu devasa oyun ağacının ne kadar büyük olduğunu tahmin etmeye çalışır.
Bu sayı satrançtaki olası oyunların en düşük sınırını verir; yani yasal hamleler ve mümkün konumlar hesaba katılarak elde edilen minimum oyun sayısını gösterir. Hesap yapılırken ortalama dallanma faktörü (bir hamlede seçilebilecek ortalama hamle sayısı) ve ortalama oyun uzunluğu dikkate alınır. Bu sayede satrancın ne kadar karmaşık bir olasılık uzayına sahip olduğu ortaya çıkar.
Ya İşin İçine Bilgisayarlar Karışırsa?
İki büyük yapay zekâ olayı dünya çapında ses getirdi: 1997’de Deep Blue’nun Garry Kasparov’u yenmesi ve 2016’da AlphaGo’nun Lee Sedol’e karşı aldığı zafer. Medya bu karşılaşmaları makinelerin zekâsının kanıtı gibi sundu.
Oysa bu başarıların temelinde gerçek bir zekâ değil, güçlü işlem kapasitesi ve bu oyunlara özel geliştirilmiş algoritmalar vardı. Bu karşılaşmalar, insanların sezgisel oyun anlayışı ile makinelerin hesaplama gücü arasındaki farkı açıkça gösterdi.
Satranç motorları oyunu dallanan bir yapı olarak ele alır. Bilgisayar konumları değerlendirir, işe yaramayacak yolları budar ve en yüksek puanı veren hamleyi seçer. Alpha–beta budama gibi yöntemler, milyonlarca gereksiz konumu incelemeyi engeller.
Motor, taşların etkinliği, merkez kontrolü ve güvenlik gibi ölçütleri sayısal değerlere çevirerek konumu puanlar. Büyükustaların oyunlarından ve açılış veri tabanlarından da yararlanır.
Go ise satrançtan çok daha geniş bir oyun uzayı sunar. Erken bilgisayar programları geleneksel yöntemlerle sınırlıydı. 1998’de geliştirilen SANE yaklaşımı, sinir ağları ve genetik algoritmalarla, önceden tanımlı bilgi olmadan oynamayı öğrendi. AlphaGo ise derin öğrenme, geniş veri tabanları ve kendi kendine oynadığı milyonlarca oyun sayesinde olağanüstü bir düzeye ulaştı.
İnsan oyuncular ise bu süreçlere bambaşka bir noktadan yaklaşır. Hesaplama yapsalar da oyunları tamamen sayısallaştırmazlar; strateji, deneyim ve rakibin niyetini okumak büyük rol oynar.
Sonuç olarak
Shannon sayısı, satrancın olasılık uzayının ne kadar büyük olduğunu gösterir. Bu büyüklük, bilgisayarların tüm hamleleri tek tek hesaplayamayacağını kanıtlar. Böylece modern satranç motorlarının neden budama, sezgisel değerlendirme, derin öğrenme gibi yöntemlere ihtiyaç duyduğunu açıklayan temel düşünceyi oluşturur.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- How Many Different Ways Can a Chess Game Unfold?; https://www.popsci.com/
- Stern, Adrian & Javidi, Bahram. (2004). Shannon number and information capacity of three-dimensional integral imaging. Journal of the Optical Society of America A. 21. 1602-1612. 10.1364/JOSAA.21.001602.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
