Muhtemelen adını hiç duymadığınız on “gizli” trigonometrik fonksiyon var. Üstelik haversinüs ve ekskesant gibi kulağa oldukça hoş gelen isimler taşıyorlar.
Birim çember üzerinde, alıştığımızdan çok daha fazla trigonometrik fonksiyon gösteren bir diyagram düşünün. Sık kullanılan sinüs, kosinüs ve tanjant sırasıyla kırmızı, mavi ve açık kahverengiyle gösterilir.
Kosinüsün yanında yeşil renkle versinüs bulunur. Onun sağında ise pembe renkte ekssekant yer alır. Diyagramda ayrıca ekskosekant ve koversinüs gibi daha az bilinen başka fonksiyonlar da vardır.
Bu diyagramı ister öğrencileri biraz zorlamak için kullanın, ister bir sohbet sırasında ortaya atarak bilgili görünmeye çalışın. Kayıp trigonometrik fonksiyonlar olarak bilinen bu terimlerin tanımları aşağıda yer alıyor.
- Versine: versin(θ)=1-cos(θ)
- Vercosine: vercosin(θ)=1+cos(θ)
- Coversine: coversin(θ)=1-sin(θ)
- Covercosine: covercosine(θ)=1+sin(θ)
- Haversine: haversin(θ)=versin(θ)/2
- Havercosine: havercosin(θ)=vercosin(θ)/2
- Hacoversine: hacoversin(θ)=coversin(θ)/2
- Hacovercosine: hacovercosin(θ)=covercosin(θ)/2
- Exsecant: exsec(θ)=sec(θ)-1
- Excosecant: excsc(θ)=csc(θ)-1
Bu fonksiyonların tümü, aslında bildiğimiz sinüs ve kosinüsün basit birleşimlerinden oluşur. Peki o halde neden ayrı adlar almışlardır?
Trigonometrik Fonksiyonlar Neden Var?
Bugün oturduğumuz yerden herhangi bir açının sinüsünü çevrim içi bir hesaplayıcıyla anında ve onlarca basamak doğrulukla hesaplayabiliyoruz. Ancak hesap makinelerinin olmadığı bir dünyada durum farklıydı. Bu bugün fazlalık gibi duran fonksiyonlar, ön-hesaplama tabloları, elle yapılan işlemler ve sayısal kararlılık açısından gerçek ihtiyaçlara karşılık geliyordu.
Logaritmalar, çarpma işlemini toplama işlemine dönüştürür. Bir logaritma tablosu kullanarak iki sayıyı çarpmak istediğinizde önce her iki sayının logaritmasını bulur, ardından bu değerleri toplardınız. Daha sonra tabloda bu toplamın karşılığını arar ve sonucu elde ederdiniz.
Bugün bu yöntem kulağa zahmetli gelebilir. Oysa elle çarpma yapmak, toplamaya kıyasla çok daha fazla adım gerektirir. Her adım zaman alır ve hata riskini artırır. Böyle bir dünyada çarpmayı daha basit bir işleme, yani toplamaya indirgemek büyük bir avantaj sağlıyordu. Bu yöntem yalnızca süreyi kısaltmakla kalmıyor, hesapların doğruluğunu da artırıyordu.
Bu “gizli” trigonometrik fonksiyonlar, tıpkı logaritmalar gibi hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanılıyordu. En yaygın olanları versinüs ve haversinüstü. Bunun temel nedeni, küçük açılarda kosinüs değerinin 1’e çok yaklaşmasıdır.
Hesaplamada 1 − cos(θ) gibi bir ifade yer aldığında, kosinüs tablolarındaki basamak sayısı yetersizse sonuç ciddi biçimde sapabilirdi. Örneğin 5 derecenin kosinüsü 0,996194698, 1 derecenin kosinüsü ise 0,999847695’tir. Bu iki değer arasındaki fark 0,003652997’dir.
Elinizde yalnızca üç anlamlı basamak içeren bir kosinüs tablosu olduğunu düşünün. Bu durumda söz konusu farkta yalnızca tek bir anlamlı basamak kalır. Baştaki sıfırlar nedeniyle hassasiyet büyük ölçüde kaybolur. Hatta böyle bir tablo, 0 derece ile 1 derece arasındaki farkı bile ayırt edemez.
Tek bir adımda bu kayıp çok önemli olmaz. Ancak uzun ve çok aşamalı hesaplamalarda bu tür küçük hatalar birikerek ciddi sonuçlara yol açar. Versinüs ve haversinüs bu noktada devreye girer.
Versinüs ve Haversinüs Fonksiyonları Nedir?
Bu fonksiyonların önemli bir avantajı, hiçbir zaman negatif değer almamalarıdır. Örneğin versinüs 0 ile 2 arasında değişir. Bu özellik, logaritma tablolarıyla çalışırken büyük bir kolaylık sağlar. Çünkü logaritma negatif sayılar için tanımlı değildir. Bir başka önemli avantaj, bu fonksiyonların kare alma gereğini ortadan kaldırmasıdır.
Basit bir trigonometrik özdeşlik 1 − cos(θ) = 2 sin²(θ/2) eşitliğini verir. Bu eşitlikten, haversinüsün aslında sin²(θ/2) olduğu anlaşılır. Benzer biçimde havercosinüs de cos²(θ/2)’yi ifade eder. Dolayısıyla hesaplama sinüsün ya da kosinüsün karesini içeriyorsa, ayrıca kare almak ya da karekök çıkarmak gerekmez. Doğrudan haversinüs veya havercosinüs tablolarına başvurmak yeterlidir.
Hesap makinelerinin olmadığı bir dünyada bu küçük farklar büyük avantajlar sağlıyordu. Bugün gereksiz görünen bu fonksiyonlar, geçmişte hem hız hem de doğruluk açısından gerçek ihtiyaçlara karşılık veriyordu.
Bu fonksiyon adları, matematiksel öneklerin nasıl işlediğini de gösterir. “Ha” öneki yarım anlamına gelir; haversinüs, versinüsün yarısıdır. “Co” ise tümleyik açıya karşılık gelen fonksiyonu ifade eder. Sinüs ile kosinüs arasındaki ilişki bunun en bilinen örneğidir. Koversinüs de tümleyik açının versinüsüdür.
Sonuç Olarak
Listedekitüm trigonometrik fonksiyonlar belirli açılar civarında hesaplamaları daha güvenilir hâle getirebiliyordu. Ancak hangilerinin gerçekten yaygın biçimde kullanıldığı, hangilerinin ise daha çok başka fonksiyonlara benzetilerek adlandırılıp nadiren işe koşulduğu net değil.
Bugün bu fonksiyonlara nadiren ihtiyaç duyuyoruz. Ama onları anlamak, geçmişte matematikçilerin ve hesapçıların hangi sorunlarla uğraştığını ve bu sorunlara nasıl yaratıcı çözümler ürettiğini görmemizi sağlıyor. Bu yönüyle “kayıp” trigonometrik fonksiyonlar, matematik tarihinin küçük ama öğretici ayrıntıları olarak hâlâ değerini koruyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
10 Secret Trig Functions Your Math Teachers Never Taught You. Kaynak site: Scientific American. Yayınlanma tarihi: 12 Ekim 2013. Bağlantı: 10 Secret Trig Functions Your Math Teachers Never Taught You
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
