Manchester Üniversitesi’nden iki matematikçi, David Cushing ve David Stewart, Birleşik Krallık Ulusal Piyangosu’nun her çekilişinde mutlaka ödül kazanmanın mümkün olduğunu söylüyor. Bunun için yapılması gereken şey, tam olarak 27 bilet satın almak. Ancak bu strateji, kazanmayı garanti etse bile kâr etmeyi garanti etmiyor.
Birleşik Krallık Ulusal Piyangosu’nun Lotto oyununda oyuncular, üzerinde altı sayı bulunan bir bilet satın alır. Çekilişte 1 ile 59 arasından altı sayı rastgele seçilir. Oyuncu, biletindeki sayılardan en az ikisi çekilen sayılarla eşleşirse ödül kazanır.
İki sayıyı tutturanlar bir sonraki çekiliş için ücretsiz bilet alır. Üç eşleşme 25 sterlin, dört eşleşme yaklaşık 100 sterlin, beş eşleşme yaklaşık 1.000 sterlin kazandırır. Altı sayının tamamını tutturmak ise çekilişe bağlı olarak 2 ila 4 milyon sterlin arasında değişen büyük ikramiyeyi getirir.
En az iki sayıyı mutlaka tutturmayı garanti etmek için kaç bilet alınması gerektiğini belirlemek amacıyla araştırmacılar, Fano düzlemine dayanan sonlu geometri temelli bir yöntem kullandı. Bu yaklaşım, sayıların biletler arasında belirli bir düzenle dağıtılmasını sağlayarak, çekiliş sonucu ne olursa olsun en az bir biletin iki eşleşme yakalamasını güvence altına alıyor.
Fano Düzlemi Nedir?
Projektif geometri, doğruların hiçbir zaman “paralel” kalmadığı bir geometri anlayışıdır. Bu yaklaşımda her iki doğru mutlaka bir noktada kesişir. Gündelik Öklid geometrisinde paralel doğruların kesişmemesi bir kuraldır; projektif geometri ise bu kuralı bilinçli olarak kaldırır.
Projektif düzlemin geometrisi iki temel aksiyoma dayanır. Buna göre, her iki nokta tam olarak bir ortak doğruyu belirler. Aynı şekilde, her iki doğru da tam olarak bir ortak noktada kesişir. Bu iki kural, yapıyı hem sade hem de tutarlı kılar.
Adını, 19. yüzyılın sonlarında sonlu geometriler fikrini ciddiyetle ele alan ilk matematikçilerden biri olan Gino Fano’dan alan Fano düzlemi, projektif geometri aksiyomlarının mümkün olan en küçük ölçekte nasıl gerçekleştiğini açık biçimde gösterir.
Fano düzlemi, sezgilerimizi zorlayan bir yapıdır. Çizimine ilk baktığınızda, üzerinde sonsuz sayıda nokta varmış gibi düşünmeniz çok doğaldır. Sonuçta yedi doğru görürüz ve en kısa doğru parçası bile sonsuz sayıda noktadan oluşur. Ama burada durmamız gerekir.
Bu yapıda yalnızca yedi nokta vardır ve başka nokta yoktur. Doğrular, bildiğimiz anlamda noktaların birleşiminden oluşmaz. Şekil yalnızca yedi nokta içerir. Her bir doğru yalnızca üç noktadan oluşur. Toplamda yedi doğru vardır: Altısı düz doğruya benzer, biri ise çember gibi çizilir. Görünüşü ne kadar alışılmadık olursa olsun, bu yapı projektif düzlemin temel iki aksiyomunu eksiksiz biçimde sağlar.
Matematikçiler Lotoda Kazanma İhtimalini Nasıl Hesapladı?
Bu düzeni piyango problemine uyarlamak için her noktayı tek bir sayı yerine iki sayıyla eşleştiririz. Böylece her doğru, üzerinde bulunduğu üç noktanın temsil ettiği toplam altı sayıyı bir araya getirir. Ortaya çıkan bu altılılar, birer piyango biletidir.
Fano düzleminin simetrisi sayesinde bu biletler öyle dağılır ki, çekilişte hangi altı sayı gelirse gelsin, bu biletlerden en az biri mutlaka iki sayıyı tutturur. Yani geometri, sayıların biletler arasında dengeli ve örtüşmesiz biçimde paylaştırılmasını otomatik olarak sağlar.
Altı sayının çekildiği bir piyangodaki tüm olasılıkları kapsayabilmek için araştırmacılar üç Fano düzlemi ve buna ek olarak iki basit üçgen kullandı. Bu yapılardaki tüm doğruları saydıklarında toplam 27 bilet elde ettiler. Bu da bilet başına 2 sterlin üzerinden 54 sterlinlik bir maliyet anlamına geliyor.
Matematikçilere göre, biletler bu şekilde seçildiğinde, olası 45.057.474 farklı çekilişten hangisi gerçekleşirse gerçekleşsin, bu 27 biletten en az biri mutlaka en düşük seviyeden ödül kazanıyor.
Bu iddiayı pratikte test etmek oldukça kolaydır. Rastgele altı sayı seçtiğinizi düşünün. Araştırmacıların oluşturduğu 27 biletlik düzen içinde, bu altı sayıdan en az ikisi, mutlaka aynı bilet üzerinde birlikte yer alır. Yani çekiliş sonucu ne olursa olsun, biletlerin en az biri iki eşleşme yakalar.
Somut örnekler üzerinden bakarsak durum daha netleşir. Çekilişte 1, 12, 22, 32, 42 ve 52 sayıları gelmiş olsun. Bu altı sayının içinden en az ikisi, görselde orta sıranın sağında yer alan üçgende aynı bileti oluşturur.
Benzer biçimde, çekiliş 1, 5, 11, 33, 50 ve 52 olduğunda da, bu kez ilk sıradaki sol üçgende en az iki sayı birlikte bulunur. Bu eşleşmeler tesadüf değildir; biletler özellikle bu sonucu garanti edecek biçimde düzenlenmiştir.
Sonuç Olarak;
Ancak burada önemli bir eşik vardır. Eğer 27 yerine 26 bilet alırsanız, iki sayıyı bile tutturmayan bir çekiliş mümkündür. Yani bu garanti, tam olarak 27 biletle geçerlidir. Öte yandan, 27 biletle en az bir ödül kazanmayı garanti etseniz bile, bu durum kârı garanti etmez. Stewart ve Cushing’e göre, harcanan 54 sterlini geri kazanma olasılığı yalnızca yaklaşık yüzde 1’dir.
Nitekim araştırmacılar bu yöntemi Temmuz 2023’te yapılan bir Lotto çekiliği üzerinde denediğinde, yalnızca üç bilet iki sayıyı tutturabildi. Kazanılan ödül, toplam harcamayı karşılamaya yetmedi.
Bu çalışma, matematiğin rastlantıyı tamamen ortadan kaldırmasa da onu belirli sınırlar içinde kontrol edebildiğini gösteriyor. Aynı zamanda net bir uyarı da içeriyor: Piyangoda kazanmak mümkündür, ama bu her zaman kârlı olmak anlamına gelmez.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Cushing, David & Stewart, David. (2024). Applying constraint programming to minimal lottery designs. Constraints. 1-21. 10.1007/s10601-024-09368-5.
- How many lottery tickets do you need to buy to guarantee a win? Mathematicians find the answer. Yayınlanma tarihi: 3 Ağustos 2023. Bağlantı: How many lottery tickets do you need to buy to guarantee a win? Mathematicians find the answer
Matematiksel
