Matematikte çözülemeyen en eski problem yaklaşık iki bin yıllıktır ve size tek mükemmel sayı olup olmadığını sorar. Tek mükemmel sayılar sorununu anlamak için öncelikle mükemmel sayıların ne olduğunu hatırlamalısınız.
Bir sayı, kendisi dışındaki pozitif bölenlerinin toplamına eşitse o sayıya mükemmel sayı denir. Örneğin 6 sayısının pozitif bölenleri 1, 2 ve 3’tür; bu sayıların toplamı 6’ya eşittir. Bu yüzden 6 bir mükemmel sayıdır.
İkinci sırada gelen ise 28 sayısıdır. Bu sayı da 1, 2, 4, 7 ve 14’e bölünür ve 1+2+4+7+14=28’e eşittir. Ondan sonraki mükemmel sayılar 496 ve 8128 sayısıdır.
Aşağıda mükemmel sayıların bazılarının bir listesini görebilirsiniz. Ancak sizin de dikkatinizi çekeceği gibi bu listedeki tüm sayılar çifttir. İşte bu nedenle de matematikçiler tek mükemmel sayı olup olmadığını yıllardır sorguluyor.
Mükemmel Sayılar Nasıl Hesaplanır?
Mükemmel sayıların ilginç yanlarından biri, Mersenne asal sayıları ile olan bağlantılarıdır. Mersenne asalları,
2ⁿ − 1 biçiminde yazılabilen asal sayılardır. Örneğin 3 sayısı bir Mersenne asalıdır; çünkü 2² − 1 = 3 şeklindedir.
Öklid, 2ⁿ − 1 sayısı asal olduğunda, 2ⁿ⁻¹ · (2ⁿ − 1) ifadesinin bir mükemmel sayı verdiğini kanıtlamıştır. Bundan yaklaşık 2000 yıl sonra Leonhard Euler, daha güçlü bir sonuç elde etmiş ve tüm çift mükemmel sayıların mutlaka bu biçimde olduğunu göstermiştir.
Örneğin n = 2 için 2¹ · (2² − 1) = 2 · 3 = 6 olur. Aynı formülü kullanarak 28 ve 496’nın da gerçekten mükemmel sayı olduğunu kolayca kontrol edebilirsiniz.
Bu sonuçlar sayesinde, mükemmel sayıları anlamak büyük ölçüde Mersenne asallarını anlamaya indirgenmiştir. Ancak Mersenne asalları son derece seyrek ortaya çıktığı için, mükemmel sayılar da doğal olarak çok nadirdir.
Tek Mükemmel Sayılar Gerçekten Var mı?
Çift mükemmel sayılar konusunda tablo büyük ölçüde netleşmiş durumda. Peki ya tek mükemmel sayılar? İşte burada durum tamamen farklı. Bugüne kadar tek bir tek mükemmel sayı bile bulunamadı; hatta böyle bir sayının gerçekten var olup olmadığı bile bilinmiyor.
Antik Yunan matematikçisi Nikomakhos, MS 100 civarında tüm mükemmel sayıların çift olması gerektiğini öne sürmüştü. Ancak aradan geçen iki bin yıla rağmen, bu iddiayı kesin olarak kanıtlayan ya da çürüten kimse çıkmadı.
Üstelik bu arayışın ne kadar zor olduğunu gösteren güçlü sonuçlar vardır. 1991 yılında yapılan bir çalışmada, eğer tek bir mükemmel sayı varsa, bu sayının 10³⁰⁰’den büyük olması gerektiği kanıtlandı. 2012’de ise Pascal Ochem ve Michaël Rao, bu alt sınırı daha da yukarı taşıyarak, tek mükemmel sayıların —varlarsa— 10¹⁵⁰⁰’den büyük olmak zorunda olduğunu gösterdi.
Bu yüzden tek mükemmel sayılar, sayı teorisinin hâlâ çözülememiş en derin problemlerinden biri olarak varlığını sürdürmektedir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem; Kaynak site: Ouanta Magazine. Yayınlanma tarihi: 10 Mayıs 2020. bağlantı: Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem/
- Heath-Brown, Roger. (1994). Odd perfect numbers. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 115. 191 – 196. 10.1017/S0305004100072030.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
