Babil trigonometrisi gökyüzünü gözlemleyen astronomların değil, yeryüzünü ölçen Babil arazi ölçümcülerinin ihtiyaçlarına yanıt olarak gelişmiştir.
Sümer, Asur, Akad ve Babil uygarlıklarını kapsayan Mezopotamya uygarlıkları, coğrafi olarak Fırat ve Dicle nehirleriyle tanımlanan bir bölgede ortaya çıkmış ve MÖ 3100 ile 540 yılları arasında gelişmiştir. Yaklaşık üç bin yıllık bu süre, olağanüstü bir sürekliliğe işaret eder.
Bu kadar uzun süre var olmuş olmalarına karşın, Mezopotamyalılar hakkında görece az şey duymamız şaşırtıcıdır. Bunun temel nedeni, onları anlatan yazıtların yüzyıllar boyunca çözülememiş çivi yazısı ile yazılmış olmasıdır.
Araştırmacılar Mezopotamya metinlerini çözmeye başladıklarında, sayma ve hesaplama işlemlerinde baskın olarak 60 tabanlı, yani altmışlık sayı sisteminin kullanıldığını fark ettiler.
Bu sistemi aslında bugün de kullanıyoruz. Zaman ölçümünde, bir günün 24 saate, her saatin 60 dakikaya ve her dakikanın 60 saniyeye bölünmesi doğrudan antik Mezopotamya’ya dayanır. Aynı sistem matematikte açı ölçümünde de karşımıza çıkar. Bu da Mezopotamya’nın sayı anlayışının, günümüz ölçü sistemlerine kadar uzanan kalıcı bir miras bıraktığını gösterir.
Si.427 Tableti Matematik Tarihini Biçimlendirdi
Antik Babilliler toprağa, bugün bizim verdiğimize benzer bir değer atfediyordu. İlk dönemlerde geniş tarım arazilerinin büyük bölümü tapınaklar ya da saraylar gibi kurumsal yapılar tarafından sahiplenilmişti. Bu araziler, hasadın büyüklüğünü tahmin etmek için profesyonel ölçümcüler tarafından ölçülürdü; ancak sınırlar belirlenmezdi.
Bu durum Eski Babil Dönemi’nde, yani MÖ 1900–1600 yılları arasında değişti. Büyük kurumsal araziler yerine, daha küçük tarlalar sıradan bireylerin mülkiyetine geçmeye başladı. Mülkiyet yapısındaki bu dönüşüm, arazi ölçümünün niteliğini de etkiledi. Özel toprak sahipleri, sınırların belirlenmesi ve anlaşmazlıkların çözülmesi için ölçümcülere ihtiyaç duyuyordu.
Bu dönemde ölçü ipi ve çubuk, Babil arazi ölçümünün temel araçlarıdır. Zamanla arazi sınırlarının kesin biçimde belirlenmesi gerekmeye başlayınca, ölçümcüler toprağı dikdörtgenler, dik açılı üçgenler ve dik yamuklar gibi düzenli şekillere ayırdı. Bu aşamada, tam 90 derecelik açılar elde etmek için Pisagor üçlüleri gibi daha hassas geometrik yöntemler kullanılmaya başlandı.
Eski Babil dönemine ait kadastro belgesi Si.427, Sîn-bêl-apli adlı bir kişiden satın alınan küçük bir arazi parçasının sınırlarını gösterir. Belgelerde, özellikle bataklık alanların son derece dikkatli biçimde ölçüldüğü görülür. Ancak Si.427’yi diğerlerinden ayıran önemli bir özellik vardır.
Daha önceki ölçümlerde 90 derecelik açılar yalnızca yaklaşık olarak elde edilirken, Si.427’de köşeler tam olarak 90 derecedir. Peki yalnızca bir ölçüm ipi ve birim çubuk kullanarak bu kadar kesin dik açılar nasıl oluşturulabilmiştir? Bunun yanıtı Pisagor üçlülerinin kullanılmasıdır.
Pisagor üçlüleri, Pisagor bağıntısını sağlayan, kenar uzunlukları basit sayılar olan özel dik üçgenlerdir. Kolayca kurulabilirler ve kuramsal olarak kusursuz dik açılar verirler.
Si.427 sayesinde, Babillilerin en geç MÖ 1900’lerde bu yöntemi arazi ölçümünde kullandığını artık biliyoruz. Üstelik Si.427 yalnızca bir değil, üç ayrı Pisagor üçlüsü içermektedir. Si.427, Eski Babil dönemine ait diğer tabletleri anlamamıza da yardımcı olmuştur.
Plimpton 322 Tableti
1922 yılında Amerikalı yayıncı ve eski kitaplar ile antik eserler koleksiyoncusu George Arthur Plimpton, küçük bir kil tableti 10 dolara satın aldı. Plimpton 322 isimli bu tablet, zamanla matematik tarihinin en ünlü hazinelerinden biri hâline gelecekti. Antik Mezopotamya matematiği hakkında bildiklerimizin önemli bir bölümü, bu tabletin çözülmesi sayesinde ortaya çıkmıştır.
Her Pisagor üçlüsü Babil arazi ölçümcüleri için kullanışlı değildi. Bir Pisagor üçlüsünü işe yarar kılan şey, kenarlarının niteliğidir. Özellikle kenarların “düzenli” olması gerekir. Düzenli sayılar, asal çarpanları yalnızca 2, 3 ve 5 olan sayılardır.
Plimpton 322, Pisagor üçlülerinden oluşan ve görünüş olarak modern trigonometrik tablolara benzeyen bir listedir. Günümüzde trigonometrik tablolar, üçgenlerin kenarları arasındaki oranları, yani sinüs, kosinüs ve tanjant gibi değerleri verir. Plimpton 322 ise bu oranları sunmak yerine, bir Pisagor üçlüsünde hangi kenarların düzenli olduğunu ve bu yüzden arazi ölçümünde kullanılacağını gösterir.
Alternatif olarak Plimpton 322, belirli bir pratik problemi çözmek amacıyla hazırlanmış olabilir. Sonucunda yazarın ya da yazarların gerçek niyetini hiçbir zaman kesin olarak bilemeyeceğiz. Ancak tabletin işlevi büyük olasılıkla bu iki uç arasında bir yerde durmaktadır. Kesin olan şudur: Babilliler Pisagor üçlülerini özgün bir biçimde kavramsallaştırmıştır.
Sonuç Olarak;
Bu yaklaşım, “ön-trigonometri” olarak da kabul edilmektedir. Antik Yunan astronomlarının geliştirdiği trigonometriyle işlevsel açıdan eşdeğerdir, fakat farklı bir bağlamda ortaya çıkmıştır. Babil trigonometrisi gökyüzünü gözlemleyen astronomların değil, yeryüzünü ölçen Babil arazi ölçümcülerinin ihtiyaçlarına yanıt olarak gelişmiştir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How ancient Babylonian land surveyors developed a unique form of trigonometry. 1,000 years before the Greeks. Yayınlanma tarihi: 4 Ağustos 2021; Bağlantı https://doi.org/10.64628/AA.97gu95yr5
- Mansfield, Daniel. (2021). Plimpton 322: A Study of Rectangles. Foundations of Science. 26. 10.1007/s10699-021-09806-0.
Matematiksel
