Günümüzde matematikçiler, asal sayıları matematiğin atomları olarak adlandırır. Bunun nedeni, tüm sayma sayıların temelde asal sayıların çarpımıyla oluşmasıdır. Ancak “Asal sayılar nedir?” sorusu, uzun süre boyunca insanlığın zihnini meşgul etmiştir.
Yaklaşık 20.000 yıl öncesine ait, üzerine düzensiz işaretler oyulmuş pürüzsüz bir kemik parçası, uzun süre arkeologların kafasını karıştırdı. Sırrı, bu işaretlerdeki sıra dışı bir ayrıntının fark edilmesiyle çözüldü. Çetele çizgilerini andıran bu oyuklar, muhtemelen asal sayıları temsil ediyordu.
Benzer şekilde, M.Ö. 1800 yıllarına ait ve Babil rakamlarıyla yazılmış bir kil tablet, asal sayılara dayalı bir sayı sistemini tarif ediyordu. İshango kemiğinden Plimpton 322 tabletine kadar birçok arkeolojik eser, asal sayıların yüzyıllardır insanlığın ilgisini çektiğini gösteriyor.
Ancak yine de, matematik tarihçisi Peter S. Rudman’a göre, Yunan matematikçilerin asal sayı kavramını ilk anlayan kişiler olması muhtemeldir. Günümüzde asal sayılar ve onların özel özellikleri, sayı teorisi adı verilen matematiğin önemli bir dalında hâlâ yoğun şekilde araştırılmaya devam ediyor.
Asal Sayılar Nedir?
Yaklaşık M.Ö. 300’de Yunan matematikçi ve mantıkçı Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu kanıtladı. Öklid, öncelikle asal sayıların sonlu sayıda olduğunu varsayarak işe başladı. Ardından, bu listede bulunmayan yeni bir asal sayı üreterek bir çelişki oluşturdu.
Matematiğin temel ilkelerinden biri, çelişkiye düşmeden mantıksal tutarlılığı korumaktır. Bu nedenle Öklid, ilk varsayımının yanlış olması gerektiği sonucuna vardı. Böylece asal sayıların sonsuz olduğu ortaya çıktı.
Bu kanıt asal sayıların sonsuzluğunu ispatladı; ancak pratikte çok yapıcı değildi. Öklid’in asal sayıları artan sırada verimli biçimde listeleyecek bir yöntemi yoktu.
Orta Çağ’da Arap matematikçiler, o dönemde “hasam sayılar” olarak adlandırılan asal sayılar teorisini Yunanların bıraktığı yerden ileri taşıdı. Pers matematikçi Kemaleddin el-Farisi, aritmetiğin temel teoremini formüle etti. Bu teoreme göre, birden büyük her pozitif tam sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde ve yalnızca tek bir şekilde ifade edilebilirdi.
Daha sonrasında asal sayıların farklı biçimlerde de olabileceği anlaşılacaktı. Örneğin 1202 yılında Leonardo Fibonacci, Liber Abaci: Hesaplama Kitabı adlı eserinde, hem p sayısının asal olduğu hem de (2p − 1) biçiminde yazılabilen asal sayıları tanıttı.
Günümüzde bu biçimdeki asallara, Fransız keşiş Marin Mersenne’in adı verilerek Mersenne asalları denir. Bilinen en büyük asal sayıların birçoğu bu formdadır.
Asal Sayıları Günümüzde Nasıl Buluyoruz?
Her ne kadar bu kural her zaman doğru olmasa da, sayı teorisyenleri (2p − 1) formunun çoğu zaman asal sayı ürettiğini ve büyük asalları aramak için sistematik bir yöntem sağladığını keşfettiler. Sonucunda 2p − 1 sayısı, p değerine kıyasla çok daha büyüktür. Bu da büyük asal sayılar keşfetmek için fırsatlar sunar. Ancak bu sayının da asal olup olmadığını kontrol etmek kolay değildir.
Neyse ki, 1878’de Édouard Lucas, Mersenne asallarını test etmeye yönelik bir yöntem geliştirdi. Bu yöntem 1930’da Derrick Henry Lehmer tarafından kanıtlanacaktı. Sonrasında da Mersenne asallarını değerlendirmek için verimli bir algoritmaya dönüştü. Lucas, bu algoritmayı kullanarak, tamamen elle yaptığı hesaplarla, 1876’da (2 127 − 1) sayısının asal olduğunu gösterdi.
M127 olarak da bilinen bu 39 basamaklı sayı elle doğrulanan en büyük asal sayı unvanını hâlâ elinde tutuyor. Ayrıca 75 yıl boyunca “bilinen en büyük asal sayı” rekorunu korumuştu.
1996 yılında bilgisayar bilimci George Woltman, Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) adlı programı başlattı. Bu ortak çalışma projesi sayesinde isteyen herkes, GIMPS web sitesinden ücretsiz yazılım indirerek kendi kişisel bilgisayarında Mersenne asalı arayabiliyor.
Bugüne kadar GIMPS, çoğu Intel işlemcili kişisel bilgisayarlar kullanılarak toplam 18 Mersenne asalı keşfetti. Program, ortalama olarak her bir ila iki yılda bir yeni bir keşif gerçekleştiriyor.
Ekim 2024’te emekli bir programcı olan Luke Durant, bilinen en büyük asal sayı rekorunu kıran sayıyı keşfetti. M136279841 olarak adlandırılan bu sayı, tam 41.024.320 basamak uzunluğunda ve keşfedilen 52. Mersenne asalı oldu.
Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemlidir?
The Electronic Frontier Foundation büyük asal sayıları bulanlara nakit ödül veren bir kuruluşdur. 2000 yılında ilk 1 milyon basamaklı asal sayının ve 2009 yılında da ilk 10 milyon basamaklı asal sayının doğrulanmasıyla ödüller dağıtılmıştır.
Şimdi asal sayı meraklılarının önünde iki büyük hedef var. İlki, 100 milyon basamaklı ilk asal sayıyı bulmak ve 150 bin dolar kazanmak. İkincisi ise 1 milyar basamaklı ilk asal sayıya ulaşarak 250 bin dolarlık ödülü almak.
52. Mersenne asalını, GIMPS yazılımını kullanarak bulut tabanlı bir bilişim ağı üzerinde keşfettiler. Bu ağ, 17 ülkeye ve 24 veri merkezine yayılmış Nvidia çipleriyle çalışıyordu. Gelişmiş çipler, binlerce işlemi aynı anda yürüterek asal sayı testleri gibi yoğun hesaplama gerektiren algoritmaları çok daha kısa sürede tamamladı.
Bilinen en büyük 10 asal sayının sekizinin Mersenne asalı olması, GIMPS ve bulut bilişimi bu rekor yarışında öne çıkarıyor. Üstelik büyük asal sayılar yalnızca matematik meraklılarının ilgisini çekmekle kalmıyor; aynı zamanda siber güvenliğin kalbinde yer alıyor. Bu nedenle yapılan her yeni keşif, dijital iletişimi ve hassas bilgilerin korunmasını doğrudan güçlendiriyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Cortild, Daniel & Sanabria, A. (2022). Lucas-Lehmer Primality Test. 10.13140/RG.2.2.20364.59520.
- Ziegler, Günter. (2004). The Great Prime Number Record Races. Notices of the American Mathematical Society. 51.
- Why Prime Numbers Still Surprise and Mystify Mathematicians; Yayınlanma tarihi: 2 Nisan 2018. Bağlantı: hWhy Prime Numbers Still Surprise and Mystify Mathematicians
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
