7, 13 gibi asal sayılar için bölünebilme kuralları okullarda öğretilmez. Genellikle bu sayıların kurallarının “zor” olduğu gerekçe olarak gösterilir. Ancak bu kurallar matematiğin ilginç özellikleri ile ilgili bazı ipuçları da barındırır.
Bu yazıda önce 7 ile bölünebilme kuralını inceleyeceğiz. Ardından bu kuralı temel alarak benzer yöntemlerin diğer asal sayılara nasıl uygulanabileceğine bakacağız.
7 İle Bölünebilme Kuralı
Aslında kural oldukça basittir: Sayının son basamağını silin, bu basamağın iki katını alın ve kalan sayıdan çıkarın. Elde ettiğiniz sonuç 7 ile tam bölünüyorsa, orijinal sayı da 7’ye tam bölünür. Sonuç hâlâ büyükse, aynı işlemi tekrarlayarak devam edin.
Şimdi bu yöntemi bir örnekle inceleyelim. Diyelim ki 876 547 sayısının 7 ile bölünüp bölünmediğini test etmek istiyoruz. İlk adımda, son basamak olan 7’yi siliyoruz. 7’nin iki katı 14. Bunu kalan sayıdan çıkarıyoruz: 87654 – 14 = 87 640
Sayı hâlâ büyük. İşleme devam edelim: Son basamak 0. İki katı yine 0. 8764 – 0 = 8764. İşlemi bir kez daha uygulayalım: Son basamak 4. İki katı 8. 876 – 8 = 868.
Bir adım daha: Son basamak 8. İki katı 16. 86 – 16 = 70. Ve artık elimizde 7 ile tam bölünebilen bir sayı var: 70. Bu durumda başlangıçtaki 876 547 sayısının da 7’ye tam bölündüğünü söyleyebiliriz. Biraz alıştırmayla bu yöntemi hızlı ve kolay şekilde uygulayabilirsiniz.
Kural Neden İşe Yarıyor?
Bu yöntemin neden işe yaradığını merak etmeniz doğal. Bunu anlamak için aşağıdaki tabloya göz atalım. Tablo, son basamak 1’den 9’a kadar değiştiğinde, aslında hangi sayıyı çıkardığımızı gösteriyor.
| Sayının Son Basamağı | Çıkartılan Sayı |
| 1 | 20 + 1= 21= 3.7 |
| 2 | 40 + 2= 42= 6.7 |
| 3 | 60 + 3= 63= 9.7 |
| 4 | 80 + 4= 84= 12.7 |
| 5 | 100 + 5= 105= 15.7 |
| 6 | 120 + 6= 126= 18.7 |
| 7 | 140 + 7= 147= 21.7 |
| 8 | 160 + 8= 168= 24.7 |
| 9 | 180 + 9= 189= 27.7 |
Görüldüğü gibi, bu kural temelde ilk sayıdan 7’nin katlarını sistemli biçimde ayıklamaya dayanıyor. Ardından geriye kalan kısmın 7’ye bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz.
13 İle Bölünebilme Kuralı
Mantığı kavradıysanız, şimdi benzer bir yöntemi 13 gibi başka bir asal sayıya uygulayalım. Bu kez, son basamağı silmeye devam edeceğiz ancak her seferinde o basamağın dokuz katını çıkaracağız. Geri kalan adımlar aynı şekilde ilerleyecek.
5616 sayısının 13 ile bölünüp bölünmediğini bu yöntemle test edelim. Önce, her zamanki gibi son basamağı yani 6’yı silin. 6’nın 9 katı 54. Şimdi kalan sayıdan çıkarın: 561 – 54 = 507
Bu kez 507’nin son basamağı olan 7’yi silin. 7’nin 9 katı 63, kalan sayıdan çıkarıyoruz: 50 – 63 = –13. Elde ettiğimiz sonuç –13. Bu sayı, 13’ün tam katı olduğuna göre, başlangıçtaki 5616 sayısı da 13 ile tam bölünebilir.
| Sayının Son Basamağı | Çıkartılan Sayı |
| 1 | 90 + 1= 91= 7.13 |
| 2 | 180 + 2= 182= 14.13 |
| 3 | 270 + 3= 273= 21.13 |
| 4 | 360 + 4= 364= 28.13 |
| 5 | 450 + 5= 455= 35.13 |
| 6 | 540 + 6= 546= 42.13 |
| 7 | 630 + 7= 637= 49.13 |
| 8 | 720+8=728=56.13 |
| 9 | 810+9=819=63.13 |
17 İle Bölünebilme Kuralı
Şimdi aynı yöntemi 17 ile bölünebilme için uygulayalım. Bu kuralda da süreç benzer şekilde işler; ancak küçük bir fark vardır: Birler basamağını sildikten sonra, bu basamağın 5 katını alıp kalan sayıdan çıkartmanız gerekir. İşlem adımları önceki örneklerle aynı biçimde devam eder.
Aslında bu üç örnek, daha büyük asal sayılar için de benzer bölünebilme kurallarını keşfetmenizin yolunu açar. Aşağıdaki tablo, her bir asal sayı için silinen basamağın kaç ile çarpılması gerektiğini gösteriyor.
| 7 İle Bölünebilme | 2 ile çarpılmalı |
| 11 İle Bölünebilme | 1 ile çarpılmalı |
| 13 İle Bölünebilme | 9 ile çarpılmalı |
| 17 İle Bölünebilme | 5 ile çarpılmalı |
| 19 İle Bölünebilme | 17 ile çarpılmalı |
| 23 İle Bölünebilme | 16 ile çarpılmalı |
| 29 İle Bölünebilme | 26 ile çarpılmalı |
| 31 İle Bölünebilme | 3 ile çarpılmalı |
| 37 İle Bölünebilme | 11 ile çarpılmalı |
| 41 İle Bölünebilme | 4 ile çarpılmalı |
Bu Kuralların Arkasındaki Mantık Nedir?
13 ile bölünebilme kuralında çarpan olarak 9 kullandık. Çünkü 13’ün katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayı 91’dir. Bu sayının onlar basamağı 9 olduğu için her adımda silinen basamağı 9 ile çarptık. Benzer şekilde, 17 için çarpanımız 5 oldu. Çünkü 17’nin katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayı 51’dir ve onlar basamağı 5’tir. ( Nedenini anlamak için modüler matematik bilginizi gözden geçiriniz)
Unutmayın, bu kurallar sadece sınavlarda işe yaradığı için değil, sayıların yapısını anlamak ve matematiksel düşünmeyi geliştirmek için de önemlidir. Mantığını kavradığınızda, karmaşık gibi görünen her şey sadeleşir. Kim demiş bölünebilme kuralları zor diye? :)
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Alfred S. Posamentier; The Mathematics of Everyday Life; Prometheus – 2018
- What is the Divisibility Rule of 13?; Bağlantı: https://www.cuemath.com
- Divisibility Rule of 7; Bağlantı: https://byjus.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
ben bunu bulmuştum keşke sunsaydım