Pascal Üçgeni ve Barındırdığı İlginç Özellikleri

Matematiğin en büyüleyici yönlerinden biri, son derece basit kurallardan karmaşık ve zengin yapılar ortaya çıkabilmesidir. Pascal üçgeni bunun en güzel örneklerinden biridir. Oluşturulması son derece basit olsa da içinde çok çeşitli ve karmaşık desenler barındırır.

Pascal üçgeni, sayılarla oluşturulan ve sonsuza kadar devam eden eşkenar bir üçgendir. Her sayı, üstündeki iki sayının toplamı alınarak elde edilir. Üçgenin iki kenarı tamamen 1’lerden oluşur. Üçgen sonsuz olduğu için de bir “alt kenarı” yoktur.

Adını, olasılık teorisi çalışmalarında bu üçgeni kullanan 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Blaise Pascal’dan alır. Ancak bu yapı aslında binlerce yıldır dünyanın farklı bölgelerinde incelenmiştir. Antik Hindistan’da, Orta Çağ Çin’inde, İslam’ın Altın Çağı’nda ve İtalya’da başlayıp Avrupa’ya yayılan Rönesans döneminde de bilinmekteydi.

Oldukça basit görünen bu düzen, matematiğin birçok alanıyla beklenmedik bağlantılara sahiptir. Cebir, sayı teorisi, olasılık, kombinatorik ve fraktallar bu alanlardan bazılarıdır.

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı İlişkisi

Blaise Pascal (1623–1662) bir çocuk dahiydi. Annesi Pascal henüz üç yaşındayken öldü. Eğitimini ise varlıklı bir vergi görevlisi ve amatör bir matematikçi olan babası üstlendi. Ancak eğitime dair alışılmadık bir görüşü vardı.

Oğlunun on beş yaşından önce matematik öğrenmemesi gerektiğine inanıyordu. Bu yüzden evdeki bütün matematik kitaplarını kaldırdı. Ancak bu yasak genç Pascal’ın merakını daha da artırdı. Pascal on iki yaşındayken gizlice geometri çalışmaya başladı. Sonunda babası oğlunun yeteneğinden etkilendi ve yasağı kaldırdı.

Ayrıca oğlunu Paris’teki Mersenne Akademisi’nin toplantılarına götürmeye başladı. Bu akademi, dönemin matematikçi ve bilim insanlarının bir araya geldiği yarı resmî topluluklardan biriydi ve daha sonra 1666’da kurulan Fransız Bilimler Akademisi’nin temelini oluşturdu. Pascal henüz on altı yaşındayken konik kesitler üzerine ilk makalesini yazdı ve bu çalışmayı Mersenne Akademisi’nde sundu.

Yetişkinlik döneminde Pascal hayatını matematik, doğa bilimleri ve din üzerine çalışmaya adadı. Ailesinin serveti sayesinde bu çalışmalarını bağımsız olarak sürdürebildi ve hiçbir zaman üniversitede görev almadı. Onun en bilinen matematik çalışmalarından biri bugün Pascal üçgeni olarak adlandırılan yapıdır.

Pascal Üçgeni’nin Bu Kadar Özel Olmasının Nedeni Nedir?

Bugün bakıldığında Pascal üçgeni matematik açısından çok derin bir keşif gibi görünmez. Pascal’ın üçgendeki sayılar arasındaki ilişkiler üzerine yaptığı gözlemler de oldukça basittir. Ancak bu yapı, temel cebir ve özellikle olasılık teorisi için büyük önem taşır. En çok binom açılımında kullanılmasıyla bilinir.

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}$$

Burada binom katsayısı $\binom{n}{k}$, Pascal üçgeninin $n$. satırındaki $k$. konumda bulunan sayıdır. Aşağıda sizi şaşırtacak bazı özellikler verilmiştir.

• Satırların Toplamı: $a = 1$ ve $b = 1$için binom açılımı şöyle olur:

$$(1+1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$$

Bu eşitlik bize Pascal üçgeninin $n$. satırındaki tüm sayıların toplamının $2^n$ olduğunu hemen gösterir. Örneğin 2⁵=1+5+10+10+5+1=32 yani beşinci satırdaki sayıların toplamı 32’dir.

• 11’in Kuvvetleri: Pascal üçgeninin $n$. satırındaki sayıları yan yana yazıp tek bir sayı gibi okursak, 11’in n. kuvvetini elde ederiz. Örneğin üçüncü satırdaki sayılar 1, 3, 3, 1’dir. Bu sayılar yan yana yazıldığında 1331 elde edilir ve gerçekten de 1331=11³ biçimindedir. Benzer şekilde dördüncü satırdaki sayılar 1, 4, 6, 4, 1’dir ve bunları yan yana yazarsak 14641=11⁴ elde ederiz ve bu ilişki aynı şekilde devam eder.

• Ayrıca Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayılarını da bulabilirsiniz. Fibonacci dizisi ilk iki terimi 1 olan bir sayı dizisidir. Bu dizideki sayılar 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … şeklinde ilerler ve her sayı kendisinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir.

---

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• Robert Coolman;  Properties of Pascal’s Triangle; Yayınlanma tarihi. 17 Haziran 2015; Bağlantı: Robert Coolman;  Properties of Pascal’s Triangle/

---

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel