Parabolik Bir Nesne Olarak Zincir Eğrisi ve Hayatımızdaki Yeri

Mühendisliğinin en büyük başarılarından birisi şüphesiz ki geçilemeyecek olan nehirleri, boğazları birleştiren köprülerin inşası olmuştur. Bu geniş inşaat projeleri, onları dünyanın modern harikaları arasında ön sıraya taşıyan bir estetik kaliteye sahiptir. Aşağıda bunun güzel bir örneğini görebilirsiniz. Bu köprülere dikkat ettiğiniz zaman hepsinde ortak bir şekil dikkatinizi çekecektir. Bu şekil, İngilizcede catenary olarak bilinen Türkçeye zincir eğrisi olarak çevrilen bir eğridir.

Brezilya’da bulunan Ponte Hercilio Luz köprüsü. Bu parabolik nesnelerin yapılış mantığı aslında tüm askılı köprülerde görülmektedir.

Bu şeklin nasıl oluştuğunu anlamak için iki eliniz arasına gergin olmayacak biçimde bir zincir alın ve kendi ağırlığı ile bir form alışını gözlemleyin. Bir zinciri iki kancadan astığınızda ve kendi ağırlığı altında doğal bir şekilde asılı bıraktığınızda, tanımladığı eğriye zincir eğrisi denir. Herhangi bir asılı zincir, doğal olarak, (zinciri yukarı tutan kancalardan gelen) gerilim kuvvetlerinin ve aşağı doğru çeken yerçekimi kuvvetinin tam olarak dengelendiği bu denge şeklini bulacaktır. Zincir eğrisi parabole çok benzer. Ancak ilgili denklemler aynı değildir.

Zincir Eğrisinin Tanımlanma Süreci

Özellikle yağmur yağdıktan sonra fotoğrafçılar tarafından çekilen örümcek ağlarında gözlemlediğimiz su damlalarının birikmesi ile her ağ bir zincir eğrisi oluşturur.

17. yüzyılın başlarında, Alman gökbilimci Johannes Kepler, gezegen yörüngelerinin tanımına elips uyguladı. Sonrasında Galileo Galilei, hava direncinin yokluğunda mermi hareketini tanımlamak için parabol kullandı. Ancak bu esnada 1638’de Galileo, hatalı bir biçimde asılı bir zincirin de bir parabol şeklini alacağını tahmin etti.

Ancak 1669’da matematiğin fiziksel problemlere uygulanmasına özel ilgi duyan Alman matematikçi Joachim Jungius, onun yanıldığını gösterdi. Bir zincir eğrisi, başka bir eğri türü olan parabollere çok benzese de onları tanımlayan denklem parabol denkleminden çok daha farklıydı. Asılı zincir için gerçek denklemin belirlenmesi bir süre matematikçileri meşgul etti.

17. yüzyılın sonlarında Hollandalı matematikçi Christiaan Huygens, zincir eğrisinin cebirsel bir denklemle ile verilemeyeceğini gösterdi. Eğri ilk olarak Huygens’in Leibniz’e yazdığı bir mektupta “catenary” olarak adlandırılacaktı. Bu isim de Latince ‘zincir’ kelimesinden gelir. Huygens’e ek olarak, İsviçreli matematikçi Jakob Bernoulli ve Alman matematikçi Gottfried Leibniz  de zincir eğrisi denkleminin tam açıklamasına katkıda bulundular.

Bu eğrinin denklemi genel olarak bir hiperbolik kosinüs fonksiyonuyla verilir. Trigonometrik sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının bir çember yardımıyla tanımlanmasına karşılık hiperbolik sinüs ve kosinüs fonksiyonları bir hiperbol kolu kullanılarak tanımlanır.

Peki Bir Zincir Eğrisini Ters Çevirirseniz Ne Olur?

Missouri eyaletindeki St.Louis Gateway Kemeri

Mimaride kemer yapımında zincir eğrisi epey kullanılmıştır. En meşhur örnek Missouri eyaletindeki St.Louis Gateway Kemeri’dir. Aslında bu kemerin üst kısımlarının diğer kısımlarına göre daha ince olması nedeniyle, denklemin içindeki parametrelerin ideal bir hiperbolik kosinüs eğrisi çıkmasına engel olduğunu ileri sürenler olsa da 1965’te yapımı biten, 192 metre yüksekliğindeki bu yapının mimarı plan aşamasında açıkça hiperbolik eğrileri kullanmıştır.

Eğrilerin kraliçesi olarak anılan mimar Zaha Hadid’in tasarladığı Haydar Aliyev Kültür Merkezi

Asılı bir zincirde gerginlik kuvvetleri eğrinin tüm çizgisi boyunca eşit hissedilmektedir. Ve bu şekil ters çevrildiğinde de bu bu kuvvet sıkıştırma kuvveti halini alır. Bu da bu eğriye önemli bir avantaj sağlar. Mimaride sıkça karşımıza çıkması bu avantajın bir sonucudur.

Bir kemer inşa etmek istiyorsanız, kemerin ters yönünde bir zincir şeklini içerdiğinden emin olun. Böylelikle kendi ağırlığı altında rahatça duracaktır. Aynı zamanda da bu şekilde en az miktarda malzeme kullanmış olursunuz. Bu nedenlerden dolayı, bu formdaki kemerler mimarlar tarafından yapıların sağlamlığını optimize etmek için kullanılmaktadır.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz