Kökleri antik tarihe uzanan Josephus Problemi, klasik bir matematiksel ve algoritmik bulmaca olarak problem çözme becerilerimizi sınar. Birinci yüzyılda yaşamış Yahudi tarihçi Josephus’un, doğru çözümü bularak hayatını kurtardığı rivayet edilir.
Flavius Josephus, Kudüs aristokrasisine mensup bir Yahudi tarihçiydi. MS 64 yılında, çeşitli nedenlerle Roma’da rehin tutulan bazı Yahudi rahiplerin serbest bırakılması için İmparator Neron (MS 54–68) ile görüşmek üzere Roma’ya gitti.
Bu dönemde Neron, Yahudi isyanını bastırmak için General Vespasian’ı görevlendirmişti. Vespasian’ın komutasındaki Roma ordusu, Josephus ve 40 arkadaşını Jotapata adlı bir dağ kasabasında kuşatma altına aldı. Kuşatma sırasında Josephus ve adamları bir mağarada mahsur kaldılar. Bu olay, Josephus Problemi’nin ortaya çıktığı rivayet edilen tarihi bağlamı oluşturur.
Josephus Problemi Nedir?
Hikâyeye göre, Josephus ve 40 arkadaşı Roma’ya teslim olup köleleştirilmektense topluca intihar etmeye karar verirler. Ancak bunu rastgele değil, belli bir düzene göre yapmayı planlarlar.
Bu plan için herkes bir çember oluşturacak şekilde dizilir. Sonra belirlenen yönde saymaya başlanır: Her üç kişiden biri öldürülecektir. Yani birinciden başlayarak “1, 2, 3” denir ve 3’üncü kişi öldürülür. Sonra sıradaki kişiden tekrar “1, 2, 3” sayılarak bir sonraki kurban seçilir. Bu işlem, çemberde yalnızca iki kişi kalana kadar devam eder.
Efsaneye göre Flavius Josephus, matematiksel zekâsını kullanarak bu ölümcül oyunda hayatta kalmanın yolunu bulur. Kendisi ve son kalacak kişi hariç herkesi öldürecek sıralamayı önceden hesaplar. Sonunda yalnızca ikisi hayatta kalınca, arkadaşını Romalılara teslim olmaya ikna eder ve kendi hayatını kurtarır.
Peki ama Josephus bu çemberde tam olarak nerede durmuştur? İşte Josephus Problemi’nin kalbi budur: Hangi başlangıç pozisyonu seçilirse, en sona kalıp hayatta kalınır?
Josephus problemi uzun yıllardır matematikçilerin, bilgisayar bilimcilerinin ve bulmaca meraklılarının ilgisini çekiyor. Aslında oldukça basit bir şekilde özetlenebilir: Bir çember etrafında n kişi oturur ve her k. kişi elenerek dışarı çıkar. Bu işlem, geriye bir kişi kalana kadar sürer. Sorulansa şu: En son kalan kişi hangi sırada oturuyor?
Örneğin k = 2 olsun. 1’den n’ye kadar numaralanmış n kişi sırayla bir çemberde oturur. 1 numaralı kişiden başlanır ve her iki kişiden biri elenir. Bu döngü, n–1 kişi elenene kadar devam eder. Sonunda kazanan kişinin numarası nedir? Bu basit görünen soru, sayma, döngüsel yapı ve desen bulma gibi temel düşünme becerilerini ölçen klasik bir problem olarak önemini korur.
Josephus Problemi Nasıl Çözülmelidir?
Aslında problemin çözümüne geçmeden önce daha kolay anlaşılması için 41 kişi yerine 8 kişi ile bu soruyu çözmeye çalışalım. Her iki kişiden birinin öldüğünü, diğer bir deyişe herkesin yanında sağ kalan kişiyi öldürdüğünü kabul ediyoruz.
Bu durumda 1 numaralı kişi 2. kişiyi, 3 numaralı kişi 4. kişiyi, 5 numaralı kişi 6. kişiyi ve 7 numaralı kişi 8. kişiyi öldürecek. Şu an geriye 1,3,5 ve 7 numaralı kişiler kaldı.
Aslında bu noktadan sonra görsele bakarak çözümü görmüş olmanız gerekiyor. Sonucunda şu an 1 numaralı kişi 3. kişiyi öldürdü, 5 numaralı kişide 7. kişiyi öldürdü ve geriye sadece 1 ile 5 kaldı. Bu durumda Josephus 1 numarada durmalı ve 5 numaralı kişiyi ikna etmeli, olmadı öldürmelidir. Şimdi daha genel bir kural bulmaya çalışalım. n sayma sayısı için oyunu kazanan kişinin numarasını J(n) ile gösterelim. Oyuncu sayısını çift ve tek olarak iki ayrı durumda inceleyeceğiz.
Çift Sayıda Asker Varsa
Eğer oyun 2n kişiyle başlarsa ilk turun sonunda çember etrafında sadece tek numaralı oyuncular kalacaktır. Geriye kalan kişi sayısı ilk kişi sayısının yarısı kadar olacaktır. Ancak artık sıralamaları değişmiş durumdadır. Dikkat ederseniz önceden 3 numaralı olan kişi artık 2. konumda, 5 numaralı kişi 3. konumda, 7 numaralı kişi 4. durumda durmaktadır.
Yani aslında yeni yerleri ilk konumlarının bir fazlasının yarısı kadardır. Diğer bir deyişle eski konumları yeni konumlarının iki katının bir eksisi kadardır. Bu durumda J(n) kazanan oyuncunun numarası olduğundan, n≥1 için J(2n)=2J(n)-1 eşitliğini yazabiliriz.
Tek Sayıda Asker Varsa
Şimdi de oyunun 2n+1 yani tek sayıda kişiyle oynandığını varsayalım. Bu durumda, ilk turun sonunda sırasıyla 2,4,6,… ,2n ölecek ve geriye bu sefer tek numaralı kişiler kalacaktır. Yani ikinci turda 1 numaralı kişi aslında 3. kişi, 2 numaralı kişi aslında 5 kişi, 3 numaralı kişi 7. kişi oldu.
Bu durumda kişilerin yeni konumlarını bulmak için eski konumlarını 2 ile çarpıp bir toplamamız gerekiyor. Buradan da, J(n) kazanan oyuncunun numarası olduğundan, n≥1 için J(2n+1)=2J(n)+1 eşitliğini yazarız. Sonrasında da bu iki bilginin bir araya getirilmesi ile de ispatımızı yapıp genel çözümü elde edebiliriz.
Josephus Problemin Cevabı
Şimdi bir tablo yapalım. Aşağıdaki tablo 15 kişiye kadar hayatta kalan kişinin durması gereken yeri gösteriyor. 8 kişi için 1 cevabını yukarıda bulmuştuk. Diğerleri için de çemberler çizerek gerekli sağlamayı yapabilirsiniz.
Yukarıdaki tabloda dikkat etmeniz gereken şey hayatta kalanların her zaman tek numaralı konumlarda bulunduğudur. Ayrıca bu tek sayıların belli bir noktaya kadar ikişer arttığını sonra da yine 1’e geri döndüğünü görebilirsiniz. Aslında tabloya dikkatle bakarsanız 1 numaralı konumda hayatta kalanların karşısında 2 sayısının kuvvetlerinin yer aldığını fark edeceksiniz. Yani elimizde 32 askerimiz olduğu zamanlarda da 1 numaralı asker hayatta kalan olacaktır.
Başlangıçtaki problemimizde 41 kişi vardı. 41 sayısına en yakın 2’nin kuvveti 32dir. Sonrasında sayarak çözümü elde edebiliriz. 33. asker 3, 34. asker 5, 35. asker 7, 36. asker 9, 37. asker 11, 38. asker 13, 39. asker 15, 40. asker 17 ve 41. asker 19. konumda durursa hayatta kalacaktır. Bu durumda da Josephus son kalan olmak için 19. konumda bulunmalıdır. Yazının bitiminde ayrıca göz atmak isterseniz: Sahte Para Bulmacası İle Matematiksel Gerçekliği Arayalım
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Solve This Deadly Puzzle! Investigating the Josephus Problem. yayınlanma tarihi: 2 Haziran 2020; Bağlantı: https://www.gleammath.com
- The Josephus Problem – Numberphile. Yayınlanma tarihi: 28 Ekim 2016; Bağlantı: https://www.youtube.com
- Park, Jang-Woo & DOGAN, Ali & Teixeira, Ricardo. (2021). Block Josephus Problem: When the Reality is More Cruel Than the Old Story. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics. 50. 1-12. 10.15672/hujms.750167.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
