“Evergreen Terrace Büyücüsü” ilk bakışta sıradan bir Simpsonlar bölümü gibi görünür. Orta yaş krizine giren Homer, hayatında kayda değer hiçbir şey başaramadığını düşünür. Bunun üzerine ünlü mucit Thomas Edison’ı örnek alır ve çeşitli aletler tasarlamaya başlar. Tahmin edileceği gibi icatlarının çoğu felaketle sonuçlanır.
Bölümün adı, Edison’a verilen “Menlo Park Büyücüsü” lakabına gönderme yapar. Edison, New Jersey’deki Menlo Park’ta kurduğu laboratuvarda çok sayıda icat geliştirmiş ve 1931’de öldüğünde adına kayıtlı 1.093 ABD patentiyle mucitliğin simgelerinden biri hâline gelmişti.
Homer’ın yoğun bir şekilde çalıştığı sahnelerden birinde onu denklemlerle dolu bir kara tahtanın önünde görürüz. Tahtada, Homer’ın en sevdiği yiyecek olmasının yanı sıra topoloji için de önem taşıyan çörek çizimleri bulunur.
Hemen yanlarında ise ilk bakışta sıradan görünen şu eşitlik yer alır. 398712+436512=447212 . Bu işlemi sıradan bir hesap makinesine girdiğinizde sonuç doğruymuş gibi görünür. Oysa denklem, matematiğin en ünlü sonuçlarından biri olan Fermat’nın Son Teoremi’yle çelişir.
Hikâyenin temelinde xn+yn=zn denklemi vardır. Bu denklemde n=1 olduğunda pozitif tam sayılarla çözüm bulmak kolaydır. Ayrıca n=2 olduğunda karşımıza Pisagor teoremi çıkar. Ancak Fermat, üs 2’den büyük olduğunda durumun tamamen değiştiğini öne sürdü.
Ona göre n>2 için denklemi sağlayan pozitif tam sayılar yoktu. Bu nedenle iki küpün toplamı başka bir küpe, iki dördüncü kuvvetin toplamı da başka bir dördüncü kuvvete eşit olamazdı.
Pierre de Fermat Kimdi?
Pierre de Fermat, 1601 yılında Fransa’nın Beaumont-de-Lomagne kasabasında varlıklı bir tüccar ailesinde doğdu. Hukuk eğitimi aldı ve 1631’de Toulouse Parlamentosunda danışmanlık görevine başladı. Bu makam ona soyadının önünde “de” unvanını kullanma hakkı kazandırdı.
Fermat geçimini hukuk ve devlet hizmetinden sağlasa da boş zamanının büyük bölümünü matematiğe ayırdı. Matematik onun mesleği değil, tutkusuydu. Buna rağmen sayı teorisi, analitik geometri ve olasılık gibi alanlarda önemli sonuçlara ulaştı. Matematik tarihçisi E. T. Bell’in ona “amatörlerin prensi” demesi de buradan gelir.
Fermat çalışmalarını kitap hâlinde yayımlamak yerine çoğunlukla mektuplar aracılığıyla paylaştı. Fermat mektuplarında yeni teoremler ortaya atıyor, fakat çoğu zaman kanıtlarını vermeden diğer matematikçilere meydan okuyordu. Bu tutumu zaman zaman meslektaşlarını kızdırsa da matematik dünyasında büyük bir merak uyandırdı.
Blaise Pascal ile 1654’te yaptığı yazışmalar, modern olasılık kuramının temellerinin atılmasına katkı sağladı. Ancak Fermat’nın asıl tutkusu sayı teorisiydi. Onu matematik tarihinin en ünlü bilmecelerinden birine götüren yol da bu tutkuyla başladı.
Fermat’ın Son Teoremi Nedir?
Fermat, sayıların özelliklerini ve aralarındaki gizli ilişkileri anlamaya büyük bir merak duyuyordu. Bu çalışmalarında en önemli rehberlerinden biri, Antik Yunan matematikçisi Diophantus’un Arithmetica adlı eseriydi. Kitap, sayı teorisini çeşitli problemler ve çözümler üzerinden anlatıyordu.
Fermat, eserin geniş kenar boşluklarına düşüncelerini ve kısa hesaplamalarını not ediyordu. Bu notlar, onun en önemli matematiksel fikirlerinden bazılarının günümüze ulaşmasını sağladı. Ancak Fermat çoğu zaman ayrıntılı kanıtlar yerine yalnızca ulaştığı sonucu yazdı.
Arithmetica’nın ikinci kitabındaki bir problemi incelerken Pisagor denkleminden hareketle iddiasını ortaya attı. Fermat bu iddiayı kitabın 8. probleminin yanına yazdı ve altına matematik tarihinin en ünlü cümlelerinden birini ekledi: “Bu önermenin gerçekten harika bir kanıtını buldum, fakat bu kenar boşluğu onu sığdırmak için fazla dar.”
Fermat ünlü kenar notunu matematik çalışmalarının erken döneminde, yaklaşık 1637’de yazdı. Aradan neredeyse otuz yıl geçtikten sonra, Castres kasabasında yargıçlık yaparken ağır bir hastalığa yakalandı ve 1665 yılında hayatını kaybetti.
Fermat çalışmalarını düzenli biçimde yayımlamadığı için keşiflerinin kaybolma ihtimali vardı. Ancak büyük oğlu Clément-Samuel, babasının notlarını ve mektuplarını bir araya getirdi. Ardından Arithmetica’nın Fermat’nın kenar notlarını da içeren yeni baskısını 1670 yılında yayımladı. Böylece ünlü teorem matematik dünyasına ulaştı.
Yüzyıllar geçtikçe Fermat’ın diğer bütün gözlemleri birer birer kanıtlandı. Ancak Fermat’ın Son Teoremi aynı kolaylıkla teslim olmadı. Aslında “Son Teorem” adı da buradan gelir. Çünkü Fermat’ın gözlemleri arasında kanıtlanmamış kalan son önerme bu oldu.
Problemin çekiciliği yalnızca zorluğundan kaynaklanmıyordu. “Amatörlerin prensi” olarak anılan Fermat, teoremin harika bir kanıtını bulduğunu açıkça söylemişti. Buna karşılık sonraki üç yüzyıl boyunca dünyanın en iyi matematikçileri aynı sonuca ulaşamadı. Bu çelişki, problemi matematik tarihinin en ünlü bilmecelerinden birine dönüştürdü.
Fermat’ın Son Teoremi Nasıl Kanıtlandı?
Fermat’nın Son Teoremi, üç yüzyıldan uzun süre çözülemedi. Sonunda İngiliz matematikçi Andrew Wiles, çocukluğundan beri ilgisini çeken bu problem üzerinde çalışmaya karar verdi. Çalışmalarını yedi yıl boyunca neredeyse herkesten gizledi ve 1993’te kanıtını açıkladı.
Ancak matematikçiler kanıtı incelerken önemli bir eksik buldu. Wiles aylarca bu sorunu çözmeye çalıştı. Bir noktada başarısız olduğunu düşünmeye başlasa da 1994’te aradığı bağlantıyı fark etti. Richard Taylor’ın da yardımıyla kanıtı tamamladı.
Wiles, Fermat’nın denklemine doğrudan bir çözüm aramamıştı. Bunun yerine eliptik eğriler ve modüler formlar adı verilen iki farklı matematiksel yapı arasındaki bağlantıdan yararlandı. Bu yapılar ilk bakışta Fermat’nın teoremiyle ilgisiz görünüyordu. Fakat Wiles, aralarındaki ilişkinin Fermat’nın iddiasını da doğruladığını gösterdi.
Bu çalışma Wiles’a 2016 Abel Ödülü’nü kazandırdı. Yine de hikâyenin bir bölümü hâlâ karanlıkta kaldı. Fermat, Wiles’ın kullandığı modern matematiksel yöntemleri bilmiyordu. Bu nedenle matematikçilerin çoğu, Fermat’nın bulduğunu sandığı kanıtta bir hata olduğunu düşünüyor.
Bugüne kadar onun döneminde bilinen yöntemlerle yazılmış daha basit bir kanıt bulunamadı. Fermat’nın kenar boşluğuna sığdıramadığını söylediği kanıtın gerçekten var olup olmadığını hâlâ bilmiyoruz.
Homer Simpson Fermat’ya Karşı
Homer’ın kara tahtasındaki eşitliğin sırrı, Fermat’nın teoreminde değil, hesap makinesindedir. Tahtadaki işlemi sıradan bir hesap makinesine girdiğinizde iki taraf aynı görünür. Ancak hesaplamada kullandığımız sayılar 44 basamaklıdır.
Oysa ki çoğu hesap makinesi ekranda yalnızca ilk 10 ya da 12 basamağı gösterir. Geri kalan basamakları yuvarladığı için birbirine çok yakın iki farklı sayı eşitmiş gibi görünür. Daha hassas bir hesap makinesi ya da bilgisayar programı kullandığımızda eşitliğin doğru olmadığını görürüz.
Dolayısıyla Homer, Fermat’nın Son Teoremi’ni çürütmez. Yalnızca hesap makinelerinin sayıları yuvarlarken bizi nasıl yanıltabileceğini gösterir.
Bu şakayı bölüme David X. Cohen ekledi. Matematik ve bilgisayar bilimleri eğitimi alan Cohen, Fermat’nın denklemine neredeyse uyan sayıları bulmak için özel bir bilgisayar programı yazdı. Fermat’nın Son Teoremi’ni seçmesi de tümüyle rastlantı değildi. Cohen öğrencilik yıllarında, Andrew Wiles’ın kanıtına giden yolu açan önemli çalışmalardan birini yapan matematikçi Ken Ribet’ın derslerine katılmıştı.
Böylece birkaç saniyelik bir kara tahta sahnesi, hem Fermat’nın 350 yıllık bilmecesine hem de hesap makinelerindeki yuvarlama hatalarına gönderme yapan zekice bir matematik şakasına dönüştü.
Konunun devamını bu yazımızdan okuyabilirsiniz: Andrew Wiles ve Fermat’ın Son Teoreminin İspatlanma Hikayesi
Kaynak ve İleri izlemeler:
- Castelvecchi, D. Fermat’s last theorem earns Andrew Wiles the Abel Prize. Nature 531, 287 (2016). https://doi.org/10.1038/nature.2016.19552
- Why the Proof of Fermat’s Last Theorem Doesn’t Need to Be Enhanced. Kaynak site: Quanta magazine. Yayınlanma tarihi: 3 Temmuz 2019 Bağlantı: Why the Proof of Fermat’s Last Theorem Doesn’t Need to Be Enhanced
Matematiksel
