Günlük Hayatımızda Matematik

Bir Dedikodu Ne Kadar Hızlı Yayılabilir?

Topluluklar arasında yayılan sadece hastalıklar değildir. En tanıdık ve gündelik salgınlardan biri sahte haberler ve dedikodulardır. Sosyal medya çağında, bazen bilinçli bazen de bilinçsiz olarak yanlış haberleri çok hızlı bir biçimde etrafımıza yayar hale geldik. Söylentilerin yayılma biçimini incelemek, yanlış bilginin nasıl yayıldığını anlamamızı sağlayacaktır. Bunun sonucunda etkilerine karşı koymamıza yardımcı olabilir. Alternatif olarak bu bilgi gerekli durumlarda bilgiyi hızla yaymak için de kullanılabilir. Bu tip durumları açıklamak için bir matematikçinin elindeki en iyi araç matematiksel modellemedir. SIR modeli salgınların yayılmasını incelemek için kullanılır. Bu model aynı zamanda bir söylentinin yayılmasını tanımlamak için uyarlanmıştır. Yani biri size bir haberin “salgın gibi” yayıldığını söylerse, aslında haklıdır.

Bir sınıf seçiminin ortasında olduğunuzu hayal edin. Seçmenlerin çoğunluğunun B’ye oy vereceğini biliyorsunuz. Ancak onları fikirlerinden vazgeçirmek ve A’ya oy vermelerini sağlamak istiyorsunuz. Şimdi bunun için B hakkında onu kötüleyecek sansasyonel bir haber uydurun. Artık öğrenciler üç kategoriye ayrılıyor. Bu yalan haberi öğrenip yayacak olanlar, haberi bilmesine rağmen kimseye söylemeyecek olanlar ve şu an için haberi duymamış olanlar. Basitlik adını bu durumu şu şekilde toparlayalım. Bu durumda başlangıçta bu haberi sadece bilenler ve bilmeyenler olacaktır. Ancak bir kişi bilen durumuna geçtiği anda haberi yayılmasına hizmet etmeye başlayacaktır. Haberi yayılımı sadece dedikodu yapmayanlar ve bilmeyenler kaldığında duracaktır.

Bir haberi en yakın iki arkadaşınıza iletirsiniz ve “Kimseye söyleme” diye eklersiniz. O da size “Kesinlikle hayır” diye söz verir. Bununla birlikte, muhtemel arkadaşınız bu haberi kendisine saklamayacaktır. Aynı gizlilik anlaşmasıyla sırrı iki arkadaşına aktarır. Bu sırdaşlar da aynı şeyi yapar işler bu biçimde devam eder.

Dedikodunun Yayılmasının Ardındaki Matematik

Olayı şimdi gelin bir denkleme dökelim. Bu haberi sabah 8’de öğrendiğinizi ve her bir kişinin haberi aktarmasının yarım saat sürdüğünü varsayalım. Saat 20:00’ye kadar kaç kişi bu haberi öğrenecek dersiniz?

  • 08:00—-Haberi sadece sen biliyorsun
  • 8:30—–Sen ve iki arkadaş biliyorsunuz (1 + 2)
  • 9:00—–Sen, arkadaşların ve onların arkadaşları biliyor (1 +2 + 4)
  • 9:30—–Sekiz kişi daha katıldı

Saat 20: 00’ye kadar, 24 yarım saatlik aralık vardır. Bu süre zarfında haberi öğrenen insan sayısı düzenli olarak ikiye katlanıyor. 24 yarım saatten sonra bilgisi olan kişilerin sayısı toplam olarak gösterilebilir: 1+2+4+8+16+….224 . Bu sayı 33.554.431 kişi kadardır. Bu son sayı, haberi kaç kişinin tek bir kaynaktan duyduğuna bağlıdır. Buna yayılma faktörü adı verilir. Örneğimizde, her kişi oldukça sağduyulu idi ve yalnızca iki kişiye söyledi. Bu da yayılma faktörünün iki olduğu anlamına gelir. Bunun yerine üç kişiye söylemiş olsalardı, aynı akşam saat altıya kadar 5,2 milyar insan haberi duymuş olurdu. Bununla birlikte, dedikoduyu yeni insanlara yaymak, herkesin bunu duyacağı anlamına gelmez. Haber sıkıcıysa veya insanlar gizliliği korumada yeterince iyiyse, yayılma faktörü kişi başına 1’den az olur. Bu durumda, hikaye aslında biter.

Senaryo 2

Sırrı bilen bir grup insandan dörtte üçünün bunu bir kişiye söylediğini ve geri kalanının dudaklarını kapalı tuttuğunu düşünelim. Bu durumda yayılma faktörü dörtte üç veya yüzde 75 olacaktır. Diyelim ki, haber açıklandığında 64 kişi odada. Yayılma şu şekildedir:

  • 08:00—- 64 kişi biliyor
  • 8:30—- Bu 64 kişinin% 75’i bunu aktarıyor (yani 48 kişi duyuyor)
  • 9:00—- Bu 48 kişi haberi 36 kişiye iletiyor.
  • 9:30—- 36 kişi 27 kişiye iletiyor. Bu sefer karşımıza farklı bir dizi çıktı. 64+(64 x 0,75)+(64 x 0,752)+ (64 x 0,753)…

Aslında, yayılma faktörü S, 1’den küçük olduğu sürece, yukarıdaki gibi sonsuz bir serinin toplamını hesaplamanın bir formülü vardır. Başlangıçta haberi duyan sayısı A ve yayılma faktörü S ise, o zaman yukarıdaki sonsuz dizi için sonuç aşağıdaki gibi olacaktır.

Bu örnekte, A= 64 ve S= 0.75 idi. Bunları denklemde yerine yazarsak 64 / (1 – 0.75) = 64 / 0.25 = 256 sonucunu elde ederiz. Bu 256 sayısı asimptot olarak bilinir. Asla ulaşılamayacaktır ama haberi duyanların sayısı bu rakama yaklaştığında haberin yayılımı duracaktır. Bu, haber sızıntıları hakkında ilginç bir şey söylüyor. Formül, sonunda bir haber sızıntısı duyan insanların sayısının yayılmaya çok daha fazla bağlı olduğunu gösteriyor.

Hiç şüphe yok ki, dedikodunun yayılması ile bir enfeksiyonun yayılması arasındaki benzerliği hemen görebilirsiniz. Dedikoduyu ilk duyan kişi sayısı, enfeksiyonun ilk taşıyıcıları olan kişilerin sayısı ile benzerdir. Gördüğümüz gibi, dedikodu ya da bir hastalık salgın haline gelecekse, yayılma faktörünün 1’den büyük olması çok önemlidir. Bu faktör 1’in altında tutulabiliyorsa, ortalama olarak, enfeksiyonun tamamı boyunca hastalık daha az kişiye aktarır ve devamında hastalık ölür. Bu nedenle 1 sayısı epidemiyolojinin muhtemelen en önemli sayıdır. Dedikodusuz ve hastalıksız bir dünya dileğimizle…

Kaynaklar:

  • Have you heard? The maths of rumour spreading; https://plus.maths.org
  • “How long is a piece of string? More hidden mathematics of everyday life”; Rob Eastaway – Jeremy Wyndham;

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu