Günlük Hayatımızda Matematik

Bir Dedikodu Ne Kadar Hızlı Yayılabilir?

Topluluklar arasında yayılan sadece hastalıklar değildir. En tanıdık ve gündelik salgınlardan biri, haberler ve dedikodulardır. Sosyal medya çağında, bazen bilinçli bazen de bilinçsiz olarak yanlış haberleri çok hızlı bir biçimde etrafımıza yayar hale geldik. Söylentilerin yayılmasının ardındaki mantığı bilmek, etkilerine karşı koymamıza yardımcı olabilir. Alternatif olarak, söylentilerin nasıl işlediğine dair bilgiler, acil durumlarda bilgiyi hızla yaymak veya etkili viral ve politik pazarlama kampanyaları oluşturmak için de kullanılabilir.

Dedikodunun Yayılmasının Ardındaki Matematik

İlginç ve sansasyonel bir haber duyduğunuzu hayal edin. Bu haberi en yakın iki arkadaşınıza iletirsiniz ve “Kimseye söyleme” diye eklersiniz. O da size “Kesinlikle hayır” diye söz verir. Bununla birlikte, muhtemel arkadaşınız bu haberi kendisine saklayamaz ve aynı gizlilik anlaşmasıyla sırrı iki arkadaşına aktarır. Bu sırdaşlar da aynı şeyi yapar işler bu biçimde devam eder.

Senaryo 1

Olayı şimdi gelin bir denkleme dökelim. Bu haberi sabah 8’de öğrendiğinizi ve her bir kişinin haberi aktarmasının yarım saat içinde gerçekleştiğini varsayalım. Saat 20:00’ye kadar kaç kişi bu haberi öğrenecek dersiniz?

  • 08:00—-Haberi sadece sen biliyorsun
  • 8:30—–Sen ve iki arkadaş biliyorsunuz (1 + 2)
  • 9:00—–Sen, arkadaşların ve onların arkadaşları biliyor (1 +2 + 4)
  • 9:30—–Sekiz kişi daha katıldı

Saat 20: 00’ye kadar, 24 yarım saatlik aralıklar oldu ve bu süre zarfında çembere katılan insan sayısı düzenli olarak ikiye katlanıyor. 24 yarım saatten sonra bilgisi olan kişilerin sayısı toplam olarak gösterilebilir:

1+2+4+8+16+….224

Şu anda “küçük sırrımızı” kaç kişi biliyor dersiniz? Cevap 33.554.431 kişi!

Bu olağanüstü artış oranı üstel büyüme olarak bilinir ve çoğu insanın sayıların nasıl çalıştığına dair algısına meydan okur. Üstellerin ulaştığı son sayı, haberi kaç kişinin tek bir kaynaktan duyduğuna bağlıdır. Buna yayılma faktörü adı verilir. Örneğimizde, her kişi oldukça sağduyulu idi ve yalnızca iki kişiye söyledi, bu da yayılma faktörünün iki olduğu anlamına gelir. Bunun yerine üç kişiye söylemiş olsalardı, aynı akşam saat altıya kadar 5,2 milyar insan haberi duymuş olurdu.

Bununla birlikte, dedikoduyu yeni insanlara yaymak, herkesin bunu duyacağı anlamına gelmez. Haber sıkıcıysa veya insanlar gizliliği korumada yeterince iyiyse, yayılma faktörü kişi başına 1’den az olur. Bu durumda, hikaye aslında biter.

Senaryo 2

Sırrı bilen bir grup insandan dörtte üçünün bunu bir kişiye söylediğini ve geri kalanının dudaklarını kapalı tuttuğunu düşünelim. Bu durumda yayılma faktörü dörtte üç veya yüzde 75 olacaktır. Diyelim ki, haber açıklandığında 64 kişi odada. Yayılma şu şekildedir:

  • 08:00—- 64 kişi biliyor
  • 8:30—- Bu 64 kişinin% 75’i bunu aktarıyor (yani 48 kişi duyuyor)
  • 9:00—- Bu 48 kişi haberi 36 kişiye iletiyor.
  • 9:30—- 36 kişi 27 kişiye iletiyor. Bu sefer karşımıza farklı bir dizi çıktı.

64+(64 x 0,75)+(64 x 0,752)+ (64 x 0,753)…

Aslında, yayılma faktörü S, 1’den küçük olduğu sürece, yukarıdaki gibi sonsuz bir serinin toplamını hesaplamanın bir formülü vardır. Başlangıçta haberi duyan sayısı A ve yayılma faktörü S ise, o zaman yukarıdaki sonsuz dizi için.

Bu örnekte, A= 64 ve S= 0.75 idi. Bunları denklemde yerine yazarsak 64 / (1 – 0.75) = 64 / 0.25 = 256 sonucunu elde ederiz. Bu 256 sayısı asimptot olarak bilinir. Asla ulaşılamayacaktır ama haberi duyanların sayısı bu rakama yaklaştığında haberin yayılımı duracaktır.

Bu, haber sızıntıları hakkında ilginç bir şey söylüyor. Formül, sonunda bir haber sızıntısı duyan insanların sayısının yayılmaya çok daha fazla bağlı olduğunu gösteriyor.

Enfeksiyonların arkasındaki rakamlar

Hiç şüphe yok ki, dedikodunun yayılması ile bir enfeksiyonun yayılması arasındaki benzerliği hemen görebilirsiniz. Dedikoduyu ilk duyan kişi sayısı, enfeksiyonun ilk taşıyıcıları olan kişilerin sayısı ile benzerdir. Gördüğümüz gibi, dedikodu ya da bir hastalık salgın haline gelecekse, yayılma faktörünün 1’den büyük olması çok önemlidir. Bu faktör 1’in altında tutulabiliyorsa, ortalama olarak, enfeksiyonun tamamı boyunca hastalık daha az kişiye aktarır ve devamında hastalık ölür. Bu nedenle 1 sayısı epidemiyolojinin muhtemelen en önemli sayıdır. Dedikodusuz ve hastalıksız bir dünya dileğimizle…

Okuma önerisi: Matematiksel Modeller Sayesinde Salgınları Önceden Tahmin Edebiliriz

Kaynaklar:

  • Have you heard? The maths of rumour spreading; https://plus.maths.org
  • “How long is a piece of string? More hidden mathematics of everyday life”; Rob Eastaway – Jeremy Wyndham;

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.