Metre, cetvel ya da şerit ölçü kullandığımızda, ölçmeye çalıştığımız nesnenin gerçekten ölçülebilir olup olmadığını hiç sorgulamayız. Sonsuz uzunlukta değilse, onun bir uzunluk, alan ya da hacme karşılık geleceğini varsayarız. Matematikçiler de uzun süre böyle düşündü — ta ki 19. yüzyılın sonlarına kadar. Sonrasında da ölçüm problemi ile yüzleşmek zorunda kalacaklardı.
O zamana dek geometrik şekilleri ölçmek, ev taşırken oda ölçmek kadar doğaldı. Metreni çıkarır, ölçmeye başlardın. Karmaşık bir eğrinin altındaki alanı hesaplamak zordu elbette, ama 17. yüzyılda Newton ve Leibniz’in geliştirdiği kalkülüs bu soruna çözüm getirdi. Ancak iki yüzyıl boyunca kimse temel bir soruyu sormadı: “Aslında neyi, neye göre ölçüyoruz?”
Bu sorgulama 19. yüzyılın sonlarında başladı. Matematiği sağlam temellere oturtmak isteyenler, kümeler kuramını merkeze aldı. Bu yaklaşıma göre, tüm matematiksel yapılar — şekillerden denklemlere kadar — en temel kümelere indirgenebilirdi. Ama eğer şekiller sadece kümelerse, bu kümeleri nasıl ölçeceğimizi de tanımlamamız gerekiyordu.
Sayı doğrusunda [0, 1] aralığını düşünün. Bu aralık sonsuz sayıda gerçek sayı içerir. Yine de bu aralığın uzunluğu 1 birim olarak kabul edilmektedir. Benzer şekilde, [0, 2] aralığı 2 birim uzunluktadır. Bu tanımlar, keyfi değil; bazı temel ilkelere dayanır. Örneğin:
- Boş bir kümenin ölçüsü sıfırdır.
- Bir nesne yer değiştirince ölçüsü değişmez.
- Birbirine değmeyen nesnelerin ölçüsü, ölçülerinin toplamıdır.
Bu üç sezgisel ilke, hem bildiğimiz şekillerin ölçülmesini mümkün kılar hem de gözümüzde canlandıramadığımız soyut kümelere ölçü atamayı sağlar.
Soyut Nicelikler İçin Ölçü
Matematikçiler ölçü kavramına ilk kez ilgi duymaya başladıklarında, öncelikle fonksiyonları ele aldılar. Yani, iki değişken arasındaki ilişkiyi tanımlayan matematiksel kuralları. Ortaokul ya da liseden hatırlarsınız: Bir fonksiyonun altında kalan alan, integral alınarak hesaplanır. Bu iş için genellikle Riemann integrali işe yarar. Burada x ekseni, küçük parçalara bölünür; her bir parça için fonksiyonun yüksekliği belirlenir ve bu alanlar toplanarak yaklaşık sonuç elde edilir. Aşağıdaki görselde mavi çubuklar, bu yöntemin nasıl işlediğini gösteriyor.
Ancak işler, fonksiyon çok karmaşık olduğunda değişir. Örneğin Dirichlet fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon, x rasyonel bir sayıysa 1, irrasyonel bir sayıysa 0 değerini alır. Grafiğe döktüğünüzde, y = 1 ve y = 0 doğruları boyunca, birbirinden kopuk sonsuz sayıda nokta oluşur. Bu kadar dağınık bir yapıyla Riemann integrali baş edemez; çünkü ortada düzgün bir alan yoktur.
İşte burada Henri Lebesgue’un 1902’de geliştirdiği yöntem devreye girer. Lebesgue integrali, alanı x ekseni boyunca değil, y ekseni boyunca bölerek hesaplar. Bu kez her bir y değeri için, o değere karşılık x aralığının genişliği ölçülmelidir. Kırmızı çubuklar da bu yaklaşımı temsil eder. Sıradan, düzgün fonksiyonlarda her iki yöntem aynı sonucu verir. Ama Lebesgue integrali, parçalı, karmaşık ve “dağınık” fonksiyonlar için de çalışır — bu onun en büyük avantajıdır.
Ölçüm Problemi Ortaya Çıkıyor
1902’de Lebesgue integrali ortaya atıldığında, matematikte önemli bir soru gündeme geldi: Her kümeye ölçü atamak mümkün mü? Bu sorunun yanıtı yalnızca üç yıl sonra, 1905’te İtalyan matematikçi Giuseppe Vitali’den geldi. Ve cevabı oldukça çarpıcıydı: Hayır.
Bazı kümeler o kadar karmaşıktır ki, hiçbir ölçüm yöntemiyle onlara anlamlı bir ölçü atamak mümkün değildir. Vitali bu sonuca teorik bir çıkarımla değil, doğrudan ölçülemeyen somut bir örnek oluşturarak ulaştı. Bugün bu kümeye onun adıyla, Vitali Kümesi denir.
İşe 0 ile 1 arasındaki sayı aralığını inceleyerek başladı. Bu aralık içindeki sayıları, farkları rasyonel sayı olanlar aynı gruba düşecek şekilde sınıflandırdı. Yani, eğer a−b bir rasyonel sayıysa, a ve b aynı sınıfa aittir. Bu şekilde, [0, 1] aralığını, birbiriyle örtüşmeyen ama toplamı tüm aralığı kapsayan, sayısal olarak tarif edilemeyecek kadar çok alt kümeye ayırdı.
Sonraki adımda Vitali, oluşturduğu her gruptan yalnızca bir tane temsilci sayı seçti. Bu temsilcilerin tümünü yeni bir küme içinde topladı ve bu kümeye V kümesi adını verdi. Sonra Vitali zekice bir adım daha attı: V kümesindeki her elemana, [–1, 1] aralığında seçilmiş bir rasyonel sayı p ekledi. Bu şekilde, Vp adını verdiği yeni kümeleri oluşturdu..
Şimdi tüm bu Vp kümelerinin birleşiminden oluşan V⁎ kümesini düşünelim. Bu küme, birazdan göreceğimiz gibi, klasik ölçü kuramının sınırlarını aşar.
V* kümesi, V kümesini zaten içerdiği için ölçüsü en az 1 olmalı (çünkü V, [0, 1] aralığını kapsıyordu). Ama tüm Vp kümeleri [–1, 2] aralığı içinde kalıyor, dolayısıyla V* kümesinin ölçüsü en fazla 3 olabilir. Yani Vitali kümesinin ölçüsü, 1 ile 3 arasında bir değerde olmalı gibi görünür.
Ölçülemeyen Nicelikler Her Zaman Olacak
Bu şaşırtıcı sonuç, matematiksel bir hata yaptığımız anlamına gelmiyor. Aslında Vitali kümesi o kadar karmaşık bir yapıya sahip ki, ona herhangi bir ölçü atamak imkânsız. Vitali’nin tanımıyla, V∗, sayısız Vp kümesinin birleşiminden oluşuyor. Her Vp kümesi, V kümesinin [–1, 1] aralığındaki bir rasyonel sayı p kadar kaydırılmış haliydi. Rasyonel sayılar sayılabilir olduğu için, bu birleşim de sayılabilir sayıda kümeyi kapsıyor.
Vp kümelerinin her biri, V kümesinin yalnızca p kadar kaydırılmış hâli olduğuna göre, tüm Vp kümeleri birbirinin aynısı büyüklüktedir. Vp kümeleri sayılabilir sayıda oldukları için, tümünün birleşimi olan V⁎ kümesinin ölçüsünü şöyle yazabiliriz: μ(V⁎) = ∑p μ(Vp) = ∑p μ(V)
Burada sabit bir değer olan μ(V) sayılabilir sayıda (sonsuz kez) toplanıyor. Matematikte sabit ama pozitif bir değeri sonsuz kez toplarsan sonuç sonsuz olur. Ama az önce 1 ≤ μ(V⁎) ≤ 3 sonucunu elde etmiştik. Burada açık bir çelişki var. Hem sonsuz olamaz deyip hem de sonsuz çıkması, bize şunu söylüyor:
Vitali kümesi için herhangi bir tutarlı ölçü tanımı yapılamaz. Yani ölçülemeyen nicelikler de vardır.
Her ne kadar bir küme belirli bir aralıkta yer alsa da —örneğin [0,1] gibi sonlu bir aralıkta— bu, mutlaka ölçülebilir olduğu anlamına gelmez. Matematikte, bazı kümeler için “ölçüm” kavramı geçerli değildir. Bu tür kümelere “ölçülemez kümeler” denir.
Sonuç olarak
Neyse ki bu ölçülemeyen kümeler günlük yaşamda ya da fizikte karşımıza çıkmaz. Atom altı parçacıklarla sınırlı olan fiziksel evrende, nesneleri bu kadar ince şekilde bölmek mümkün değildir. Ölçülemeyen niceliklerle karşılaşmak istiyorsanız, onları matematiksel olarak bilinçli biçimde inşa etmeniz gerekir.
Ancak bu onları “önemsiz” yapmaz. Çünkü şaşırtıcı şekilde, bu tür soyut kümeler görünmezce her yerde olabilir. Ve bu tuhaf durumdan tamamen kurtulmanın tek yolu vardır: Matematiğin temelini, yani kabul ettiğimiz aksiyomları baştan yazmak.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Solovay, Robert. (1970). A Model of Set Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable. Annals of Mathematics. Second Series. 92. 10.2307/1970696.
- Mathematicians Explain Why Some Lengths Can’t Be Measured. Kaynak site: Scientific Americaç Yayınlanma tarihi: 18 Nisan 2024. Bağlantı: Mathematicians Explain Why Some Lengths Can’t Be Measured.
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
