25 yılı aşkın bir aradan sonra matematikçiler, asal sayıları saymanın yeni bir yolunu başarıyla ispatladı. Bu çığır açıcı çalışmayla birlikte, sayı kuramında daha ileri adımlar atılmasını sağlayacak güçlü bir araç seti de geliştirdiler.
Asal sayılar — yalnızca kendisine ve bire kalansız bölünebilen doğal sayılar — matematiğin temel yapı taşlarıdır. Aynı zamanda en gizemli olanlardır. İlk bakışta asal sayılar, sayı doğrusu üzerinde gelişigüzel dağılmış gibidir. Ancak bu yalnızca bir yanılsamadır. Asal sayılar tamamen belirli bir düzene sahiptir. Dikkatli bakıldığında iç içe geçmiş, şaşırtıcı örüntüler ortaya çıkar.
Bugüne dek asal sayıların dağılımını yaklaşık olarak açıklayan bazı formüller geliştirildi. Ancak, onları kesin biçimde tanımlayan bir yöntem hâlâ bulunamadı. Bu yüzden matematikçiler, doğrudan hesaplamaktansa dolaylı stratejilere başvurmak zorunda kalıyor.
M.Ö. 300 civarında Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtladı. Matematikçiler zamanla bu yaklaşımı genişleterek, belirli özellikler taşıyan asal sayıların da sonsuz olduğunu göstermeye çalıştı. Örneğin, içinde 7 rakamı bulunmayan asal sayıların sonsuz olup olmadığı gibi sorular ortaya atıldı. Zamanla bu tür sorulara daha katı koşullar eklense de her durumda koşulları karşılayan asal sayıların yine de sonsuz olduğu ortaya çıktı.
Son olarak, Oxford Üniversitesi’nden Ben Green ve Columbia Üniversitesi’nden Mehtaab Sawhney, asal sayıların özellikle karmaşık bir türüyle ilgili uzun süredir yanıtsız kalan bir soruyu nihayet çözüme kavuşturdu.
Bu yeni kanıt, yalnızca asal sayıların doğasına ilişkin anlayışımızı derinleştirmekle kalmadı. Aynı zamanda matematiğin bambaşka bir alanından alınan araçların şimdiye kadar tahmin edilenden çok daha geniş bir etki alanına sahip olabileceği de gözler önüne serdi
Asal Sayı Sayma Problemine Yeni Bir Yaklaşım
Matematikçiler genellikle ilgi çekici ve üzerinde çalışılması anlamlı asal sayı kümelerine yönelir. Örneğin, bazı sayıların karelerini toplayarak yeni asal sayılar üretmenin mümkün olup olmadığını sorgularlar.
1640 yılında Pierre de Fermat, iki tam sayının karesi toplamı biçiminde yazılabilen asal sayıların sonsuz olduğunu öne sürdü. Örneğin, 13 = 2² + 3². Daha sonra Leonhard Euler bu önermeyi kanıtladı. Ancak sorunun şeklini azıcık bile değiştirmek — örneğin karelerden birinin aynı zamanda kusursuz bir kare olmasını şart koşmak — problemi çok daha çetrefil bir hâle sokar.
2018’de Rutgers Üniversitesi’nden John Friedlander ve Henryk Iwaniec, hem p hem de q asal sayı olmak üzere, p² + 4q² biçiminde yazılabilen asal sayıların sonsuz olup olmadığını sordu. (Örneğin, 41= 5² + 4 × 2²). Ama bu tarz bir kısıtlama, sıradan yöntemlerin ötesinde bir zorluk içeriyordu.
Ben Green ve Mehtaab Sawhney daha önce böyle doğrudan bir asal sayı sayma problemiyle ilgilenmemişti. 2024 Temmuz’unda, Edinburgh’daki bir konferansta buluştular. Bir süre sohbet ettikten sonra Friedlander ve Iwaniec’in ortaya attığı bu varsayım üzerine birlikte çalışmaya karar verdiler.
Ancak inceledikleri asal sayılar için bu klasik yöntemleri doğrudan uygulayacak bir yol bulamıyorlardı. Bu yüzden doğrudan saldırmak yerine, problemi dolaylı bir yoldan çözmeyi planladılar. Bu sayede varsayımı ispat etmeyi başardılar.
Yaklaşık Asal Sayıları Saymak
Yaklaşık asal sayılar, gerçek asal sayılara göre çok daha kolay bulunur. Örneğin, 1 ile 200 arasındaki yaklaşık asal sayıları bulmak istiyorsanız önce, 2, 3, 5 ve 7 gibi, küçük birkaç asal sayıyı ele alırsınız. Ardından bu küçük asal sayılara tam bölünmeyen tüm sayıları listelersiniz. Ortaya çıkan sayılar yaklaşık asal sayılardır.
Bu örnekte sonuç, 50 civarında yaklaşık asal sayı verir. Bunların 46’sı gerçekten asal sayı iken, geri kalan dört tanesi (121, 143, 169 ve 187) asal değildir. Yaklaşık asal sayılar, asal sayılar kadar düzensiz dağılmadığı için matematiksel işlemlerde çok daha kullanışlıdır.
Green ve Sawhney, iki yaklaşık asal sayının karesi toplanarak elde edilen asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtladı. Ancak asıl amaçları, doğrudan gerçek asal sayılarla aynı sonucu elde etmekti. Bunun için matematikte “Type I” ve “Type II” adı verilen özel türde toplamları incelemeleri gerekiyordu.
Bir süre sonra, bu toplamların birbirine denk olduğunu göstermek için kullanabilecekleri bir yöntemi hatırladılar. Bu yöntem, daha önce her ikisinin de karşılaştığı “Gowers normu” adı verilen bir araçtı. İlk bakışta, bu araç tamamen farklı bir matematik alanına ait gibi görünüyordu.
Ancak Green ve Sawhney, 2018 yılında Terence Tao ve Tamar Ziegler tarafından kanıtlanan çarpıcı bir sonucu kullanarak, Gowers normu ile Type I ve Type II toplamları arasında bağlantı kurmayı başardı. Böylece, her iki kümenin aynı tür Type I ve II toplamları verdiğini gösterdiler.
Sonuç Olarak
Sonuçta ikili, Friedlander ve Iwaniec’in varsayımını ispatladı: p² + 4q² biçiminde sonsuz sayıda asal sayı vardır. Ayrıca yalnızca bu formdaki asal sayılarla yetinmediler. Kanıtlarını başka asal sayı ailelerine de uyarlayarak kapsamını genişlettiler. Bu başarı, uzun süredir ilerleme sağlanamayan bir alanda önemli bir dönüm noktası oldu.
Daha da önemlisi, bu çalışma Gowers normunun sayı kuramında güçlü ve yeni bir araç olarak kullanılabileceğini açıkça gösterdi.Şimdi matematikçiler bu yöntemi genişleterek, asal sayılar dışında kalan diğer problemlerde de kullanmanın yollarını arıyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers. Yayınlanma tarihi: 11 Aralık 2024. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
