Kaprekar Sabiti: 6174 Sayısı Neden Gizemli Bir Sayıdır?

Matematik tarihinin başlangıcından günümüze kadar sayılara birçok anlam ve özellik yüklenmiş, üstelik bu özelliklerin birçoğu tesadüfen keşfedilmiştir. Bu duruma örnek olarak, adını Hintli matematikçi Dattatreya Ramchandra Kaprekar’dan alan 6174 sayısı, diğer adıyla Kaprekar sabiti gösterilebilir.

Tanımlara geçmeden önce, sizden küçük bir deneme yapmanızı istiyoruz. Öncelikle, tüm basamakları aynı olmayan (örneğin 1111, 2222 gibi) dört basamaklı bir sayı seçin. Eğer yalnızca üç basamaklı bir sayı seçerseniz, dört basamaklı bir sayı elde etmek için başa sıfır eklemeniz gerekir.

Ardından, seçtiğiniz sayının rakamlarıyla yazılabilecek en büyük ve en küçük sayıları belirleyin. Daha sonra, bu iki sayı arasındaki farkı bulun; yani en büyük sayıdan en küçük sayıyı çıkarın. Yeni sayıyı elde ettikten sonra aynı işlemi bu yeni sayıyla tekrarlayın. Süreci bu şekilde devam ettirin.

Diyelim ki seçtiğiniz sayı 4564. Bu sayının rakamlarıyla oluşturulabilecek en büyük ve en küçük sayılar sırasıyla 6544 ve 4456’dır. Bu iki sayı arasındaki farkı alalım: 6544 − 4456 = 2088. Şimdi bu işlemi tekrar edelim: 8820 − 0288 = 8532 ve 8532 − 2358 = 6174

İster erken, ister birkaç adım sonra olsun, ulaştığınız sayı her zaman 6174 olacaktır. Bu sayıya ulaştığınızda işlem kendini tekrar eder ve her seferinde yine 6174’e dönersiniz. Örneğin 2005 sayısıyla başlayalım. Bu rakamlarla elde edilebilecek en büyük sayı 5200, en küçük sayı ise 0025 ya da 25’tir (rakam eksikse başa sıfır eklenir). İşlemler şöyle ilerler:

• 5200 − 0025 = 5175
• 7551 − 1557 = 5994
• 9954 − 4599 = 5355
• 5553 − 3555 = 1998
• 9981 − 1899 = 8082
• 8820 − 0288 = 8532
• 8532 − 2358 = 6174
• 7641 − 1467 = 6174

6174’e ulaştığımız anda işlem kendini tekrar etmeye başlar. Bu yüzden 6174 sayısına bu işlemin çekirdeği denir. 2005 sayısıyla başladığımızda bu sonuca yedi adımda ulaştık; 4564 için üç adım yeterli oldu. Aslında tüm dört basamaklı sayılar (rakamları tamamen aynı olmayanlar) sonunda 6174’e ulaşır.

Neden 6174 Sayısı Gizemli Bir Biçimde Karşımıza Çıkıyor?

Dört rakam a, b, c, d için 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 ve a, b, c, d hepsi aynı değilse, en büyük sayı abcd, en küçük sayı dcba olur. Ayrıca abcd – dcba işleminin sonucu da A B C D rakamlarına sahip yeni bir sayı oluşturur. Hesaplama yapıldığında şu eşitlikler ortaya çıkar:

• D = 10 + d − a
• A = a − d
• B = b − 1 − c
• C = 9 + c − b

Bu eşitlikler, dört bilinmeyenli dört denklemlik bir sistem oluşturur; dolayısıyla çözülebilmesi gerekir. Sonuçta yalnızca bir kombinasyonunun geçerli tam sayı çözümleri sağladığı görülür. Bu kombinasyon:

• a = 7
• b = 6
• c = 4
• d = 1

şeklindedir. Yani ABCD = 7641 − 1467 = 6174 olur. Üç basamaklı sayılarda da aynı olay gerçekleşir. Örneğin753 sayısını ele alalım.

• 753 − 357 = 396
• 963 − 369 = 594
• 954 − 459 = 495
• 954 − 459 = 495

Görüldüğü gibi sonuç 495’e ulaşır ve işlem bundan sonra kendini tekrar eder. 495 sayısı, üç basamaklı sayılar için bu işlemin tek sabit noktasıdır. Rakamları aynı olmayan tüm üç basamaklı sayılar Kaprekar işlemiyle sonunda 495’e ulaşır.

İki basamak, beş basamak, altı basamak ve ötesi…

Dört ve üç basamaklı sayıların kendilerine özgü birer çekirdeğe (sabit sayıya) ulaştığını gördük. Peki diğer basamak sayıları için durum nedir? Sonuçlar o kadar etkileyici değil. Örneğin iki basamaklı bir sayı alalım; sayımız 28 olsun.

• 82 – 28 = 54
• 54 – 45 = 9
• 90 – 09 = 81
• 81 – 18 = 63
• 63 – 36 = 27
• 72 – 27 = 45
• 54 – 45 = 9

Kısa sürede görürüz ki tüm iki basamaklı sayılar 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9 döngüsüne girer. Üç ve dört basamaklı sayıların aksine, iki basamaklı sayılar için tek bir çekirdek yoktur. Peki ya beş basamaklı sayılar? Bunu anlamak için, tıpkı dört basamakta olduğu gibi, rakamların sıralamasını incelemek gerekir.

Neyse ki bu hesaplamalar bilgisayarlar tarafından çoktan yapılmış durumda. Biliyoruz ki beş basamaklı sayılar için Kaprekar işleminin tek bir çekirdeği yoktur. Altı basamak ve üzeri sayılar için bu kontrolleri yapmak oldukça zaman alıcıdır ve kısa sürede sıkıcı hale gelir. Bu yüzden aşağıdaki tablya göz atabilirsiniz.

Basamak Sayısı	Çekirdek
2	Yok
3	495
4	6174
5	Yok (yalnızca döngüler)
6	549945, 631764
7	Yok
8	63317664, 97508421
9	554999445, 864197532
10	6333176664, 9753086421

Tablo bize şunu gösteriyor: Kaprekar işlemi yalnızca üç ve dört basamaklı sayılar için tek bir sabit sayıya götürür. Diğer basamak sayılarında ya birden fazla döngü vardır ya da hiç çekirdek yoktur.

Dattaraya Ramchandra Kaprekar Kimdir?

Dattaraya Ramchandra Kaprekar, (1905–1986) 20. yüzyılın en özgün ve en üretken amatör matematikçilerinden biridir. 1905’te Hindistan’ın Dahanu kentinde doğdu. Çocukluğundan itibaren sayı oyunlarına, basit işlemlerden beklenmedik sonuçlar çıkaran aritmetik bulmacalara büyük ilgi duydu. Bu merak onu, klasik akademik matematikten çok rekreatif matematiğin sınırlarında dolaşan özgün keşiflere yöneltti.

Üniversite eğitimini Pune’daki Fergusson College’da aldı. Burada, genç bir öğrenci olarak bile dikkat çeken fikirler üretiyordu. 1927’de, öğrenci kategorisinde verilen Wrangler R. P. Paranjpe Matematik Ödülü’nü kazandı.

O zamanlarda bu çalışmaları matematikçiler tarafından pek de dikkate alınmasa da ilerleyen yıllarda zamanında kazanamadığı itibarı elde etti. Zaman içinde Kaprekar’ın fikirleri hem Hindistan’da hem de ülke dışında ilgi görmeye başladı.

Ancak Kaprekar bir akademisyen olmadı. Hayatının büyük bölümünü Devlali’de matematik öğretmeni olarak geçirdi. Ancak sınıfın dışındaki zamanını, sayıların gizli düzenlerini araştırmaya adadı. Kendi yöntemlerini kullanan, sezgisi güçlü bir araştırmacıydı. Profesyonel matematik çevrelerinin başlangıçta hafife aldığı bu çalışmalar, zamanla dünya çapında ilgi uyandırdı.

Onun en çok bilinen keşifleri arasında Kaprekar sabiti 6174, Kaprekar sayıları ve çeşitli sayı dönüşüm algoritmaları yer alır. Kaprekar, 1986’da yaşamını yitirdi. Ancak ardında, modern matematikte hâlâ merak uyandıran bir miras bıraktı.

---

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• Posamentier, Alfred S; Numbers: Their Tales, Types, and Treasures; 2015; Prometheus Books
• Mysterious number 6174; yayınlanma tarihi: 1 Mart 2006; Kaynak site: Plus math. Bağlantı: Mysterious number 6174
• Dattatreya Ramachandra Kaprekar; Bağlantı: Dattatreya Ramachandra Kaprekar
• Nishiyama, Yutaka. (2012). The weirdness of number 6174. International Journal of Pure and Applied Mathematics. 80. 363-373.

---

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel