Finitizm, matematiğin sonsuzluk kavramı olmadan da kurulabileceğini savunan sıradışı bir yaklaşımdır. Bu görüşe göre gerçek dünya, ancak sonlu sayıların ve sonlu süreçlerin diliyle tam olarak anlaşılabilir.
İnsanlığı binlerce yıldır meşgul eden bir soru var: Sonsuzluk gerçekten var mı? Bundan 2.300 yıl önce Aristoteles iki tür sonsuzluk olduğunu ayırt etmişti: potansiyel ve gerçek sonsuzluk.
Potansiyel sonsuzluk, tekrarlanan bir süreçten doğan soyut durumları ifade eder. Örneğin sizden sonsuza kadar saymanız istendiğini düşünün; her seferinde önceki sayıya 1 ekleyerek devam edersiniz. Aristoteles’e göre bu durum potansiyel sonsuzluğu temsil eder. Ancak gerçek sonsuzlukların var olamayacağını savunuyordu.
19. yüzyılın sonuna kadar çoğu matematikçi sonsuzluk kavramından uzak durdu. Bu tuhaf niceliklerle nasıl başa çıkacaklarını bilmiyorlardı. Sonsuzluğa 1 eklenirse ne olur? Sonsuzluk sonsuzlukla çarpılırsa sonuç nedir? Alman matematikçi Georg Cantor bu belirsizliğe son verdi. Kümeler kuramıyla ölçülemez olanı ele almayı mümkün kılan ilk matematiksel yaklaşımı kurdu. O zamandan beri sonsuzluk matematiğin ayrılmaz bir parçası oldu.
Yine de “finitist” olarak bilinen ve sonsuzluk kavramını bugün bile reddeden insanlar vardır. Onlara göre evrendeki her şey sınırlıdır. Bu yüzden sonsuzluklarla işlem yapmanın bir anlamı yoktur. Hatta bazı uzmanlar yalnızca sonlu biçimde inşa edilebilen niceliklere dayanan alternatif bir matematik dalı önermiştir.
Kümeler Kuramı ve Sonsuzluklar
Modern matematik, adından da anlaşılacağı gibi kümeler etrafında dönen kümeler kuramına dayanır. Bir kümeyi, içine sayıların, fonksiyonların ya da başka nesnelerin konabildiği bir çanta gibi düşünebilirsiniz. Farklı çantaların içindekileri karşılaştırarak büyüklüklerini belirleyebiliriz. Örneğin bir çantanın diğerinden daha dolu olup olmadığını anlamak için, iki çantadan da aynı anda birer nesne çıkarır ve hangisinin daha önce boşaldığına bakarız.
Bu fikir çok şaşırtıcı değildir; küçük çocuklar bile temel ilkeyi anlar.. Ancak Cantor’un fark ettiği şey, bu yöntemin sonsuz büyüklükler için de geçerli olabileceğiydi. Kümeler kuramını kullanarak farklı büyüklüklerde sonsuzluklar olduğunu gösterdi. Bunun sonucunda anladık ki sonsuzluk tek bir şey değildir; bazı sonsuzluklar diğerlerinden daha büyüktür.
20. yüzyılın başında matematikçiler Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel, kümeler kuramını kullanarak matematiğe sağlam bir temel kazandırdı. O zamana kadar geometri, analiz, cebir ve olasılık kuramı gibi alanlar büyük ölçüde birbirinden kopuk ilerliyordu. Fraenkel ve Zermelo dokuz temel kural, yani aksiyom, ortaya koydu ve modern matematiğin tamamı artık bu aksiyomlar üzerine kuruludur.
Bu aksiyomlardan biri, örneğin, boş kümenin varlığıdır. Matematikçiler içinde hiçbir şey bulunmayan bir kümenin, yani boş bir çantanın, var olduğunu kabul eder. Bu fikir kimseyi rahatsız etmez. Ancak başka bir aksiyom, sonsuz büyüklükte kümelerin de var olduğunu garanti eder ve finitistler işte burada itiraz eder. Onlar bu aksiyomsuz, yani sonsuzluklara gerek duymayan bir matematik kurmak ister.
Finitizm Ne Savunur?
Finitistler sonsuzlukları yalnızca gerçek dünyada sınırlı kaynaklara sahip olduğumuz için reddetmez. Onları rahatsız eden bir başka nokta da kümeler kuramından çıkan sezgiye aykırı sonuçlardır.
Örneğin Banach–Tarski paradoksuna göre bir küreyi parçalara ayırıp bu parçaları yeniden birleştirerek, her biri orijinal küre kadar büyük olan iki küre elde edebilirsiniz. Matematiksel olarak bir küreyi “iki katına çıkarmak” sorun değildir, fakat gerçek dünyada bu mümkün değildir.
Finitistlere göre, eğer dokuz aksiyom böyle sonuçlara izin veriyorsa, aksiyomlarda bir sorun olmalıdır. Aksiyomların çoğu sezgisel ve açık görünür; bu yüzden finitistler yalnızca onlara göre sağduyuya aykırı sonsuz kümelerin varlığını kabul eden aksiyomu reddeder.
Bu görüş basitçe şöyle ifade edilir: “Bir matematiksel nesne ancak doğal sayılardan sonlu sayıda adımla oluşturulabiliyorsa vardır.” Bu nedenle finitizme göre irrasyonel sayılar, örneğin 2’nin karekökü, formüllerle tanımlı olsa bile sonsuz toplamlar içerdiği için sonlu matematiğin parçası olamaz.
Bu yaklaşım bazı mantık kurallarını da geçersiz kılar. Örneğin Aristoteles’in “üçüncü hâlin imkânsızlığı” ilkesi, bir önermenin ya doğru ya da yanlış olduğunu söyler. Finitizmde bazı önermeler hemen “doğru” ya da “yanlış” olarak değerlendirilemez.
Çünkü bu görüşe göre bir sayının değeri ancak sonlu adımlar tamamlandığında kesinleşir. Sonsuz bir süreci tamamlamak mümkün olmadığı için bazı ifadeler kararsız kalır.
Örneğin 0.999… ifadesi, klasik matematikte sonsuz sayıda 9 içerdiği için 1’e eşit kabul edilir. Fakat finitizme göre sonsuz sayıda 9 yazılamaz. Bu nedenle bu işlem tamamlanmış sayılmaz. Bu durumda “0.999… = 1’dir” önermesi doğru değildir.
Sonlu Bir Dünya Mümkün mü?
Üçüncü hâlin imkânsızlığı ilkesi olmadan matematikte her türlü güçlük ortaya çıkar. Nitekim pek çok matematiksel ispat tam olarak bu ilkeye dayanır. Bu yüzden finitizme yönelen matematikçi sayısı çok azdır. Sonsuzlukları reddetmek matematiği kolaylaştırmaz; tam tersine, daha da karmaşık hâle getirir.
Yine de bu felsefeyi benimseyen fizikçiler vardır. Cenevre Üniversitesi’nden Nicolas Gisin de bunlardan biridir. Ona göre sayılardan oluşan sonlu bir dünya, evrenimizi modern matematiğin sağladığından daha iyi açıklayacaktır.
Düşüncesinin temelinde uzay ve zamanın yalnızca sınırlı miktarda bilgi taşıyabileceği fikri yatar. Buna göre, evrende sonsuz uzunlukta ya da sonsuz büyüklükte sayılar için yer olmadığına göre, bu tür sayılarla hesap yapmanın anlamı yoktur.
Bu yaklaşım henüz çok erken bir aşamada, fakat yine de merak uyandırıyor. Fizik, evrenin nasıl ortaya çıktığı ya da temel kuvvetlerin nasıl birleştiği gibi en temel sorulara hâlâ kesin yanıt verememişken, matematiğe farklı bir başlangıç noktası seçmek denenmeye değer görünüyor.
Üstelik, matematikte bazı temel varsayımları değiştirmenin ya da tamamen kaldırmanın bizi ne kadar ileri götürebileceğini görmek başlı başına etkileyici bir düşünce. Belki de matematiğin sonlu dünyasında bugün tahmin edemediğimiz keşifler saklıdır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Del Santo, Flavio & Gisin, Nicolas. (2019). Physics without determinism: Alternative interpretations of classical physics. Physical Review A. 100. 10.1103/PhysRevA.100.062107.
- Some Mathematicians Don’t Believe in Infinity. Can “finitism” possibly describe the real world? Yayınlanma tarihi: 4 Ağustos 2025 Kaynak site: Sceintific American. Bağlantı: Some Mathematicians Don’t Believe in Infinity Can “finitism” possibly describe the real world?
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
