Sokaktaki herhangi bir kişiye kaç boyut var diye sorduğunuz cevap büyük bir ihtimal ile üç cevabını alırsınız. Ancak aynı soruyu bir fizikçiye ya da matematikçiye sorduğunuz zaman alacağınız cevap bundan çok farklı olacaktır.
Örneğin sicim teorisi ile ilgili çalışan teorik fizikçiler, evrenin en az 10 uzamsal boyuttan oluştuğunu ve bunları destekleyen matematik olduğunu iddia ediyorlar. Bir de karşımıza sıklıkla dördüncü boyut ile ilgili ifadeler çıkıyor. ( Detaylara göz atmak isterseniz: Sicim Teorisi Gerçekten Sicimler Hakkında mıdır?)
Örneğin Einstein, özel görelilik kuramında dördüncü boyuta zaman adını verdi. Bugün, bazı fizikçiler dördüncü boyutu bir küpe dik olan herhangi bir alan olarak tanımlıyorlar. Bu durumda haklı olarak bu karmaşayı bir açıklığa kavuşturmamız gerekiyor. İşe temelden başlamamız gerekiyorsa önce boyut derken ne demek istediğimizi bir hatırlayalım.
Boyut Nedir?
Latince kökenli bir terim olan boyut (dimension) kelimesi, ölçü anlamına gelir. En basit tanımıyla; bir nesnenin boyutu, o nesnenin üzerindeki bir noktayı belirtmek için gereken minimum koordinat sayısı olarak tanımlanır.
Nokta sıfır boyutludur çünkü üzerinde belirtebileceğimiz tek nokta kendisidir. Doğru bir boyutludur çünkü üzerinden alınan bir nokta tek koordinatla belirtilebilir, örneğin reel sayı doğrusundaki 3 sayısı. Aynı şekilde ikinci ve üçüncü boyutlar için iki ve üç boyutlu koordinat sistemlerinden seçilen noktalar örnek verilebilir. Geometrik olarak konuşmak gerekirse 1-D bir çizgidir, 2-D bir karedir ve 3-D bir küptür.
Üç boyutlu bir dünyada yaşıyoruz. Yukarı ve aşağı, sağ ve sol, ileri ve geri. Birbirine dik açı yapan üç yöne sahibiz. Düz bir çizgi gibi tek boyutlu bir şeyi veya bir kağıda çizilmiş kare gibi iki boyutlu bir şeyi hayal etmek kolay. Ama aşina olduklarımızdan daha fazla bir boyutta görmeyi nasıl öğrenebiliriz? Mesela dördüncü boyutu görebilir miyiz?
Dördüncü Boyut Nedir?
İnsanlara, dördüncü boyutun gerçekten de var olabileceğinin düşüncesi Edwin A. Abbott’un Düzdünya adlı romanıyla yayılmaya başlamıştı. Bu kitapta, genel olarak, iki boyutlu bir dünyada yaşayan karenin üçüncü boyuttan bir küre tarafından ziyaret edilmesi ve onun üçüncü boyutu anlamasındaki zorluklar konu alınmıştı.
Bu dünyadakilerin yaşadığı algısal ve kavramsal zorluklar, bırakın daha üst boyutları dört boyutlu bir dünyayı gözümüzün önüne getirmeye çalışırken yaşadığımız zorlukların aynısıdır. Dördüncü boyutu tam olarak göremediğimiz için de bir çoğumuz onu doğaüstü, gizemli bir kavram gibi algılarız.
Ancak aynı sorunu matematikçiler yaşamayacaktır. Matematiksel anlamda boyutları oluşturmak sanılandan daha kolaydır. Sonuçta 2 boyutlu bir düzlemde bulunan herhangi bir şeyi (5,6) gibi iki sayı ile tanımlamamız mümkündür. Benzer bir biçimde 3 boyutlu uzay da (5,6,3) gibi üçlü sayılarla tanımlanacaktır.
Elbette bu düşünceye devam edebiliriz. Bu nedenle, ir matematikçi için 4 boyutlu uzayı, (5,6,3,2) gibi dörtlü reel sayı kümeleriyle tanımlanır. Bu sayede bir çember denklemi kolaylıkla farklı boyutlara genişletilir.
Dördüncü Boyut İle İlgili Bilimsel Çalışmalar Nasıl Başladı?
Dördüncü bir uzaysal boyuta matematiksel ilgi, on dokuzuncu yüzyılın ilk yarısında Alman matematikçi Ferdinand Möbius’un çalışmasıyla başladı. Kendisini adını taşıyan bir şekil olan Möbius şeridi ile tanıyoruz.
On dokuzuncu yüzyılın ikinci yarısında, üç matematikçi çok boyutlu geometrinin yeni dünyasının kaşifleri olarak öne çıktı: İsviçreli Ludwig Schläfli, İngiliz Arthur Cayley ve Alman Bernhard Riemann. Bu çalışmalar sayesinde, matematikçiler karmaşık cebirin 4 boyutlu olarak nasıl yapılacağını öğrendiler.
Öklid tarafından öngörülen kuralların ötesine geçen çok boyutlu geometrilere daldılar. Ama yine de yapamadıkları şey aslında dördüncü boyutu görmekti.
Bu sorun İngiliz matematikçi, Charles Howard Hilton’un ilgisini çekti. Çalışmaları sonucunda “Dördüncü Boyut Nedir?” Adlı makalesini kaleme aldı. Üç boyutta hareket eden parçacıkların, dört boyutta var olan çizgi ve eğrilerin kesitleri olarak düşünülebileceği fikrini ortaya koydu.
Daha sonradan Einstein ortaya çıkınca dört-boyutlu uzay fikri daha ciddi bir hal aldı. Einstein’a göre dördüncü boyut zamandı. Bu da dört-boyutlu geometriyi çoğu insan için daha anlaşılır bir hale getirdi.
Dört Boyutlu Küp Yani Bir Tesseract Yapalım
Dördüncü boyuttaki küplere tesseract denir. Yukarıda aktardığımız mantığı dört boyutlu bir küpün gerçek görünümünü kavramak içinde kullanabiliriz. Şimdi birlikte bir dört-boyutlu bir küp inşa edelim.
Bunun için köşe sayısı ve kenar sayısını bulmamız yeterlidir. Aslında bir n-boyutlu küpün köşelerini, n-boyutlu bir koordinat sisteminde sadece sıfır ve birlerden oluşan noktaların kümesi olarak düşünebiliriz. Örneğin, bir küpün köşelerini şekilde gösterildiği gibi ele alabiliriz.
Bir n-boyutlu küp, n-boyutlu koordinat sistemindeki sıfır ve birlerden oluşan bütün noktaları içerdiğinden dolayı bu küpün 2n tane köşesi vardır. Kenar sayısı ise biraz daha uğraştırıcıdır. Yukarıdaki küpümüzde hangi noktaların hangi noktalar arasında kenar olduğuna bakalım. Sadece koordinatları arasında bir sayı farklılığı olan noktalar birbirleriyle eşleşmiş.
Buradan güzel bir mantık yürütmeyle kenar sayısının da formülünü bulabiliriz. N-boyutlu küpün her köşesi n tane köşeyle bağlantılıdır diyebiliriz. Sonuçta her köşenin n bileşenli koordinatı vardır. O zaman n.2n bize kenar sayısının iki katını verir. Çünkü bu çarpımda her köşe ayrı ayrı incelenirken aynı kenarlar ikişer kere sayılmıştır. Demek ki kenar sayımız da n.2n-1.
Buradan da n=4 için, dört-boyutlu küpümüzün köşe sayısı 16 ve kenar sayısı 32 diyebiliriz. Aşağıda da dört-boyutlu küpün iki boyuttaki izdüşümü verilmiştir (kenar ve köşe sayıları tam da bulduğumuz gibidir). Gördüğünüz gibi dördüncü boyutu göremesek de matematiksel olarak onu inşa etmemiz mümkündür.
Evren Kaç Boyutludur?
Günümüzde hala kanıtlanmamış olan sicim teorisi uzay-zamanın 10 ya da 26 boyutlu olduğu söylüyor. Peki biz neden sadece üç uzay ve bir zaman boyutunun farkına varabiliyoruz?
Hawking’in bu soruya cevabı şöyle: Diğer boyutlar uzayda çok küçük kıvrımlılardır. O kadar küçük ki onları fark edemiyoruz. Şöyle düşünün, elinize bir tane küçük çubuk alın.
Eğer bu çubuğa yakından bakarsanız bu çubuğu iki boyutlu olarak görürsünüz (en ve boy). Şimdi ise aynı çubuğa uzaktan bakın. Bu sefer çubuğu enini göremeyeceksiniz ve o size sadece bir boyutluymuş (boy) gibi gelecek
Uzay-zaman da böyledir. Küçük bir ölçekten baktığınızda 10 boyutludur ve çok kıvrımlıdır. Fakat büyük ölçekten baktığınızda ise ekstra boyutları göremezsiniz. Ayrıca göz atmak isterseniz: Her Şeyin Teorisi Nedir? Neden Önemlidir?
Kaynaklar ve ileri İleri Okumalar:
- Understanding the Fourth Dimension From Our 3D Perspective; yayınlanma tarihi: 4 Mayıs 2017; Bağlantı: https://interestingengineering.com/
- How many dimensions are there? Yayınlanma tarihi: 28 ocak 2021; Bağlantı: https://www.zmescience.com
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
