“Ya bu delilik ya da cehennem.” “İkisi de değil,” diye sakince karşılık verdi Küre’nin sesi. “Bu bilgidir. Bu, üç boyuttur. Gözünü yeniden aç ve dikkatlice bakmaya çalış.”
Bu diyalog, Edwin Abbott’un 1884 tarihli Flatland adlı romanından. Hikâyenin kahramanı A. Square, iki boyutlu bir dünyada yaşar ve ilk kez üç boyutlu bir küreyle karşılaşır.
Eser görünüşte Viktorya dönemi toplumunun bir hicvi olsa da aynı zamanda dördüncü boyut üzerine matematiksel fikirler de içerir. Peki ya biz de dört boyutlu bir dünyada yaşıyor, ancak A. Square gibi daha düşük bir boyutun içine hapsolmuşsak?
Çoğu insan yüksek boyutları H. P. Lovecraft’ın kitapları ya da Christopher Nolan’ın Interstellar filmi gibi bilimkurgu eserleriyle ilişkilendirir. Ancak doğa bilimleri de yüzyıllardır daha yüksek boyutları inceliyor.
Örneğin matematikçiler, hayal etmekte zorlandığımız bu ortamlarda ne tür geometrik nesnelerin var olabileceğini, bunların nasıl sınıflandırılıp ölçülebileceğini araştırıyor. Bu çalışmalar sırasında ilginç bir durum ortaya çıktı.
Pek çok boyutu incelemek görece kolayken dört boyutlu dünya şaşırtıcı derecede büyük sorunlar yaratıyor. Birçok matematiksel sonuç, dört boyut dışında farklı boyutlarda oldukça düzenli davranıyor. Dördüncü boyut ise sürekli istisnalar çıkarıyor. Peki dört boyut neden bu kadar özel? Bunu anlamak için topolojinin soyut dünyasına girmemiz gerekiyor.
Dördüncü Boyut Neden Özeldir?
Topoloji geometrik şekilleri inceler, ancak uzaklıklar ya da eğriliğin tam değeri gibi ayrıntılar burada belirleyici değildir. Bu nedenle üzerinde bir çöküntü bulunan küre ile kusursuz bir küre topolojik açıdan aynıdır. Benzer biçimde bir çember ile dörtgen arasında da topolojik açıdan fark yoktur.
Başka bir deyişle, iki nesne yırtılmadan, delinmeden ya da herhangi bir noktaları birbirine yapıştırılmadan biri diğerine dönüştürülebiliyorsa topolojik olarak eşdeğer kabul edilir.
Topolojide matematikçiler nesneleri temel özelliklerine indirgemeye çalışır. Böylece her nesneyi ayrı ayrı incelemek yerine bütün bir nesne sınıfı hakkında sonuçlara ulaşabilirler. Bunun en ünlü örneklerinden biri simit ile halka biçiminde tek kulpu olan kahve fincanıdır. Topolojik açıdan ikisi de aynıdır çünkü her ikisinin de tam olarak bir deliği vardır.
Bir, iki ya da üç boyutta kaldığımız sürece işler görece yolunda gider. Ancak dört boyuta geldiğimizde sorunlar başlar.
İki şekli birbirine dönüştürmek için yaptığımız deformasyonlar artık daha karmaşık hale gelir. Pürüzsüz bir şekli başka bir pürüzsüz şekle dönüştürmeye çalışırken süreç sırasında aniden keskin köşeler ve kenarlar ortaya çıkabilir.
Bu, bir çemberi elipse dönüştürmek için önce onu yıldız biçimine sokmak zorunda kalmaya benzer. Bir, iki ya da üç boyutta böyle bir ara aşamaya gerek yoktur. Ancak dört boyutta bazen bundan kaçınmak mümkün değildir.
Bu durum topolojide iki farklı eşdeğerlik kavramının kullanılmasına yol açar. İki nesne, dönüşümün nasıl gerçekleştiğine bakılmaksızın biri diğerine dönüştürülebiliyorsa topolojik olarak eşdeğerdir.
Fakat bundan daha güçlü bir eşdeğerlik biçimi de vardır. Matematikçiler iki şekli, dönüşüm sırasında hiçbir köşe ya da keskin kenar ortaya çıkmadan pürüzsüz biçimde birbirine dönüştürebiliyorsa bu şekillere “difeomorfik” der.
Dolayısıyla yüksek boyutlarda topolojik olarak aynı olduğu halde difeomorfik olmayan nesneler vardır. Yani bu nesneler birbirine dönüştürülebilir ama bu dönüşüm tamamen pürüzsüz biçimde olmaz.
Egzotik R⁴ Nedir?
Dört boyutun ne kadar sıra dışı olduğunu anlamanın en iyi yollarından biri, dört boyutlu Öklid uzayına bakmaktır. Bildiğimiz düzlem R², üç boyutlu uzay ise R³ ile gösterilir. Dört boyutlu karşılığı da R⁴’tür.
Genel olarak Rⁿ ile topolojik olarak aynı olan bir uzayın düzgün yapısı da aynıdır. Başka bir deyişle, bu uzaylar birbirine pürüzsüz biçimde dönüştürülebilir.
Ancak R⁴ bu kuralın dışında kalır. Dört boyutlu Öklid uzayıyla topolojik olarak aynı olduğu halde ona difeomorfik olmayan farklı yapılar vardır. Matematikçiler bunlara “egzotik R⁴” adını verir.
Bu, iki uzayın topolojik açıdan aynı olmasına rağmen düzgün yapılarının farklı olduğu anlamına gelir. Yani birini diğerine dönüştürmek mümkündür, fakat bunu her aşamada pürüzsüz bir dönüşümle yapmak mümkün değildir.
Üstelik egzotik R⁴’lerden yalnızca birkaç tane yoktur. R⁴ üzerinde birbirinden farklı çok sayıda düzgün yapı vardır. Hatta bunların sayısı sayılamayacak kadar fazladır.
Daha da ilginci, bu durum başka hiçbir Rⁿ uzayında ortaya çıkmaz. Dört boyutlu Öklid uzayı bu açıdan tamamen kendine özgüdür. Ancak dördüncü boyutun matematikçilere çıkardığı sürprizler bununla sınırlı değildir.
Dört Boyutun Çözülemeyen Sorusu Nedir?
Dört boyutlu dünya başka bir önemli soruyu da karşımıza çıkarır. Deliği olmayan her dört boyutlu yapı, pürüzsüz biçimde dört boyutlu bir küreye dönüştürülebilir mi?
Bu soru, düzgün Poincaré varsayımı olarak bilinir. Buradaki 4-küreyi, bildiğimiz kürenin dört boyutlu karşılığı gibi düşünebiliriz. Poincaré varsayımının farklı boyutlara uyarlanmış topolojik biçimi çözülmüştür. Ancak topolojik eşdeğerlik, iki yapı arasındaki dönüşümün mutlaka pürüzsüz olmasını gerektirmez.
Bu nedenle topologlar daha güçlü bir soru sorar: Yalnızca pürüzsüz dönüşümlere izin verdiğimizde sonuç yine aynı mıdır?
Dört boyut dışında bu sorunun cevabı biliniyor. Örneğin yedi boyutta, küreyle topolojik olarak aynı olduğu halde ona difeomorfik olmayan yapılar vardır. Bunlara “egzotik küreler” denir.
Dört boyutta ise durum hâlâ belirsizdir. Şimdiye kadar egzotik bir 4-küre bulunamadı. Ancak böyle bir yapının var olmadığını da kimse kanıtlayamadı.
İşin ilginç yanı, dört boyutlu Öklid uzayı R⁴ üzerinde sayılamayacak kadar çok egzotik yapı bulunduğunu zaten biliyor olmamızdır. Buna karşılık egzotik bir 4-kürenin var olup olmadığını hâlâ bilmiyoruz. Dördüncü boyut matematikçileri daha önce de birçok kez şaşırttı. Belki bu sorunun cevabı da yeni bir sürpriz barındırıyor.
Okuma Önerimiz: Neden Dört Boyutlu Bir Düğüm Atamazsınız?
Kaynaklar ve ileri Okumalar:
- How many dimensions are there? Yayınlanma tarihi: 28 ocak 2021; Kaynak site: ZME Scince. Bağlantı: How many dimensions are there?
- Scientific American, Manon Bischoff, “Strange Things Happen in Four Dimensions”, 22 Eylül 2026.
Matematiksel
