Fiziksel Denklemleri Çözmeyi Bu Kadar Zor Kılan Ne?

Suyun bir hortumdan dışarı çıkışını tarif eden Navier-Stokes denklemleri, resmettiği olayların basitliğine rağmen çok sayıda zorluğu da beraberinde getirir.

Fizik bilimi bize uzay zamanın bükülmesinden fotonların hareketine kadar her şeyi tarif eden denklemler sunar. Buna karşılık denklemlerden biri o kadar zor ki Clay Mathematics Institute tarafından ortaya konan “Bin Yıllık Ödüllü Problemler” listesinde yerini almıştır: sıvıların akışını tarif eden Navier-Stokes denklemleri.

Peki, suyun bir borudan akışı gibi basit bir şeyi ifade eden bu denklemleri, örneğin Einstein’ın alan denklemleri gibi, karadelikleri barındıran denklemlerden daha zor kılan tam olarak nedir?

Cevap, hepimizin bazen uçak yolculuğu yaparken bazen de küvette keyif çatarken deneyimlediği türbülans. Bu kadar aşina olmamıza rağmen türbülans hakkında en az bilinen fenomenlerden biri.

Lucy Reading-Ikkanda/Quanta MagazineTürbülanssız akışa en basit örneklerden biri akıntısız bir nehirdir. Bu durumda, nehri oluşturan her damla aynı yönde ve aynı hızda hareket eder. Bu tanıma göre, türbülansa uğramış bir nehirde ise farklı damlalar farklı yönlere ve farklı hızda hareket etmektedir. Fizikçiler ise türbülansı tanımlarken girdap kavramına atıf yaparlar. Onlara göre türbülans düzgün bir akım içerisinde bulunan iç içe geçmiş girdaplar ile oluşur. Bu girdapların yarattığı etki ile sıvı birbirinden bağımsız ve farklı şekilde hareket eden parçalara ayrılır.

Araştırmacılar ise tam olarak nasıl bu sürecin gerçekleştiğini ve türbülansa uğramış bir sıvının şeklini modellemeyi amaçlamaktadırlar. 1 milyon dolarlık soru çok daha basit gözükmektedir: Her zaman çözümler olacağının kanıtı. Başka bir deyişle, söz konusu denklemler herhangi koşullar altında bulunan herhangi bir sıvıyı tarif edebilir mi?

Princeton Üniversitesi’nde bir matematikçi olan Charlie Fefferman’a göre ilk adım “denklemlerin en azından bazı çözümleri olduğunun kanıtlanması”. “Bu bize sıvıların davranışı hakkında pek bilgi vermeyecek ama bu olmaz ise hiçbir şey bilmiyoruz demektir.”

Peki, bir problemin çözümlerinin olduğu nasıl kanıtlanır?

Başlangıç olarak, hangi durumlarda hiçbir çözüm olmayacağını düşünelim. Navier-Stokes denklemleri hız ve basınç miktarında gerçekleşen değişimlerin hesaplanmasını içermektedir. Matematikçiler ise sınırlı bir zaman sonra eldeki denklemlerin bize sıvıda bir parçacığın sonsuz hızda hareket ettiği gibi bir sonuç vereceğinden çekinmektedir. Bu ise önemli bir sorun olacaktır çünkü herhangi bir sayıyı sıfıra bölemediğimiz gibi sonsuz bir değeri de hesaplayamayız. Matematikçiler bu tarz senaryolara infilak veya patlama (blowup) adı verirler. İnfilak durumunda denklemler işlemez hale gelir ve bir çözümden bahsedilemez.

Söz konusu problem bağlamında, bir infilakın yaşanmayacağını (ve dolayısıyla her zaman çözümlerin olacağını) göstermek ile bir sıvıdaki herhangi bir parçacığın maksimum hızının her zaman sınırlı bir sayının altında kalacağını göstermek aynı şeydir. Bu niceliklerin en önemlilerinden biri ise sıvının kinetik enerjisidir.

“Ölçek küçüldükçe kinetik enerji çözümü kontrol etmek için gittikçe daha yetersiz kalıyor. Çözümüm istediği her şeyi yapabilir hale geliyor ve onu nasıl kontrol edeceğim bilemiyorum” diyor bu konudaki son çalışmalardan birinin yazarlarından ve Princeton Üniversitesi’nden bir başka matematikçi olan Vlad Vicol.

Matematikçiler Navier-Stokes gibi kısmi diferansiyel denklemleri çok küçük ölçeklerdeki başarısına göre sınıflandırıyorlar. Navier-Stokes ise spektrumun en uç noktasında. Aslında tasvir etmeye çalıştığı türbülanslı akışın zorluğu, denklemlerin arkasındaki matematiğin de zorluğunu yansıtıyor.

“Belli bir noktaya yoğunlaştığınızda matematiksel açıdan bir bilgi kaybı kaçınılmaz oluyor” diyor Vicol ve ekliyor: “Esasında türbülans tam olarak bunu ifade ediyor – kinetik enerjiden büyükten giderek daha küçük ölçeklere transferini, yani bir noktaya yakınlaşmasını.”

Her ne zaman fiziksel denklemlerin matematiği üzerine düşünüldüğünde, bu tartışmaların fiziksel dünya hakkında nasıl düşündüğümüzü etkileyip etkilemeyeceğini tartışmak normaldir. Navier-Stokes denklemleri ve Milenyum Ödülü göz önüne alınırsa cevap hem evet hem de hayır. 200 yıldır süregelen deneyler sonucu denklemlerin işe yaradığı açık: Navier-Stokes tarafından öngörülen akışlar aynı şekilde ve devamlı olarak deneylerde de gözleniyor. Bir laboratuarda dirsek çürüten bir fizikçi iseniz bu bilgi sizin için yeterli olabilir fakat, matematikçiler bundan fazlası ile ilgileniyorlar. Onlar, denklemleri temel alarak (herhangi bir başlangıç konfigürasyonuna sahip bir sıvıya dair) bir akışın anbean nasıl değiştiğini görüp göremeyeceklerini ve bir türbülansın başlama anını saptayıp saptayamayacaklarını merak ediyorlar.

Fefferman’a göre sıvıların davranışı sürprizlerle dolu: “Bu sürprizler prensiple, sıvıların hareketini açıklayan temel denklemce açıklanıyor ama sıvıların nasıl hareket edeceğini söyleyen bu denklemlerden sıvıların gerçekte nasıl hareket ettiklerinin tasvirini elde etmek oldukça gizemli bir iş”.

Kaynak: https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Deniz Karagöz

Hukuk eğitimi almış olmama rağmen matematik her zaman ilgimi çeken bir bilim olmuştur. Matematiksel.org bana bu ilgimi üretkenliğe çevirme şansı veren kaliteli bir ortam. Bu yüzden gerek çevirilerim gerekse yazılarımla katkıda bulunabilmek benim için oldukça anlamlı. Aynı zamanda buradan beslenerek öğrenmeye de devam ediyorum. İyi okumalar

Bunlara da Göz Atın

Müzik ve Ruh: Neden Hep ‘Aynı’ Müzik ve Şarkıları Dinleriz?

Başlıktaki sorumuzun bilimsel cevabına gelmeden, neden müzikten kopamadığımızı düşünelim. Bu bağ ne ile alakalı? *** …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');