Günümüzde araştırmacılar çoğu zaman kesintisiz biçimde akan verilerle çalışıyor. Bir jeofizikçi yer altındaki kaya katmanlarından yansıyan ses dalgalarını inceliyor. Bir doktor kalbin elektriksel etkinliğini gösteren sinyalleri değerlendiriyor. Bir görüntü işleme uzmanı ise milyonlarca pikselden oluşan bir fotoğrafın içindeki desenleri ayırt etmeye çalışıyor.
Bu veriler genellikle hem karmaşık hem de düzensizdir. Üstelik önemli ayrıntılar sinyalin yalnızca kısa bir bölümünde ortaya çıkar. Dalgacıklar, bu kısa süreli değişimleri yakalayan matematiksel araçlardır. Bir sinyalde hangi frekansların bulunduğunu göstermekle kalmaz, bu frekansların nerede ortaya çıktığını da anlamamızı sağlar.
Dalgacık Nedir?
Dalgacık, kısa bir aralıkta yükselip alçalan ve ardından sönen küçük bir dalga biçimidir. Sinüs ve kosinüs dalgaları aynı hareketi sürekli tekrar ederken dalgacıklar belirli bir bölgeye odaklanır. Bu nedenle ani değişimleri, keskin geçişleri ve kısa süreli olayları yakalamakta kullanışlıdır.
Dalgacık analizinde matematikçiler önce ana dalgacık adı verilen temel bir biçim seçer. Ardından bu biçimi sıkıştırır, genişletir ve sinyal boyunca kaydırırlar. Sıkıştırılmış dalgacıklar kısa süreli ve hızlı değişimleri, genişletilmiş dalgacıklar ise daha yavaş ve uzun süreli değişimleri ortaya çıkarır.
Böylece bir sinyalin yalnızca hangi frekansları içerdiğini değil, bu frekansların nerede ortaya çıktığını da görebiliriz.
Fourier dönüşümü, bir sinyalde hangi frekansların bulunduğunu ve bunların ne kadar güçlü olduğunu gösterir. Ancak konuşma, kalp atışı ya da deprem kaydı gibi zaman içinde değişen sinyallerde bu frekansların ne zaman ortaya çıktığını bilmek de gerekir.
Dennis Gabor, 1946’da bu soruna önemli bir çözüm önerdi. Sinyali kısa zaman aralıklarına bölerek her parçaya Fourier analizi uyguladı. Ancak bu yöntemde pencerenin genişliği sabitti. Dar pencereler ani değişimlerin zamanını daha iyi gösterirken, geniş pencereler frekansları daha iyi ayırıyordu. Bu nedenle tek bir pencere boyutu sinyaldeki bütün ayrıntılar için uygun değildi.
Jean Morlet daha esnek bir yöntem geliştirdi. Kısa süreli dalga biçimlerini sıkıştırıp genişleterek farklı ölçeklerdeki değişimleri inceledi. Ardından bu dalgaları sinyal boyunca kaydırarak değişimlerin nerede ortaya çıktığını belirledi.
Morlet ve Alex Grossmann, bu küçük ve yerel dalga biçimlerine Fransızcada “küçük dalga” anlamına gelen ondelette adını verdi. Terim daha sonra İngilizceye wavelet, Türkçeye ise dalgacık olarak geçti.
Dalgacık Kuramı Nasıl Gelişti?
Morlet ve Grossmann’ın çalışmaları dalgacık analizinin gelişimini hızlandırdı. Fransız matematikçi Yves Meyer, 1980’lerde bu fikirleri harmonik analizle birleştirerek kuramın matematiksel temellerini güçlendirdi. Meyer, dalgacık kuramının gelişimine yaptığı katkılar nedeniyle 2017 Abel Ödülü’nü aldı.
Ingrid Daubechies ise sınırlı bir aralıkta etkili olan ve veriyi verimli biçimde temsil eden ortonormal dalgacık aileleri geliştirdi. Daubechies dalgacıkları özellikle görüntü işleme ve veri sıkıştırmada önemli bir yer kazandı.
Stéphane Mallat da çok ölçekli analiz ile dijital sinyal işleme arasındaki bağlantıyı kurdu. Bu çalışmalar, dalgacık dönüşümünü yalnızca teorik bir araç olmaktan çıkarıp bilgisayarlarda uygulanabilen etkili bir yönteme dönüştürdü.
Dalgacıklar Görüntüleri Nasıl Sıkıştırır?
Bir görüntü hem geniş renk alanları hem de kenarlar, dokular ve küçük ayrıntılar içerir. Dalgacık dönüşümü görüntüyü bu farklı ölçeklerdeki bileşenlerine ayırır. Büyük ölçekli bileşenler görüntünün genel yapısını gösterirken, küçük ölçekli bileşenler ince ayrıntıları ve keskin geçişleri taşır.
Sıkıştırma işlemi sırasında algoritma, görüntüye çok az katkıda bulunan küçük katsayıları azaltabilir ya da kaldırabilir. Güçlü katsayıları ise korur. Böylece dosya daha az veriyle temsil edilir.
JPEG2000 standardı bu yaklaşımı kullanır. Klasik JPEG görüntüyü küçük bloklara ayırıp ayrık kosinüs dönüşümü uygular. JPEG2000 ise ayrık dalgacık dönüşümünden yararlanır. Ayrıca hem kayıplı hem de kayıpsız sıkıştırmayı destekler. Kayıpsız kullanımda bütün bilgi korunur. Kayıplı kullanımda ise algoritma dosya boyutunu küçültürken görünür kalite kaybını sınırlamaya çalışır.
Dalgacıklar Nerelerde Kullanılır?
Dalgacıklar, kısa süreli değişimlerin ve ince ayrıntıların önemli olduğu alanlarda kullanılır. Doktorlar kalp ve beyin sinyallerindeki düzensizlikleri incelerken, jeofizikçiler deprem kayıtlarını ve yer altı katmanlarını analiz eder. Gökbilimciler teleskop görüntülerindeki gürültüyü azaltır, mühendisler ise makinelerdeki küçük titreşim değişimlerinden erken arıza belirtilerini yakalamaya çalışır.
Ayrıca dalgacıklar ses ve görüntü işleme, veri sıkıştırma ve adli incelemelerde de işe yarar. Özellikle ani değişimlerin sinyalin nerede ortaya çıktığını göstermeleri, onları bu alanlarda güçlü bir araç hâline getirir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Wavelets Allow Researchers to Transform, and Understand, Data. Yayınlanma tarihi: 13 Ekim 2021. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: How Wavelets Allow Researchers to Transform, and Understand, Data
- Daubechies I (2023) Wavelets: Mathematical Tools for Image Analysis. Front. Young Minds. 11:1200611. doi: 10.3389/frym.2023.1200611
- Usevitch, B. E. 2001. A tutorial on modern lossy wavelet image compression: foundations of JPEG 2000. IEEE Sign. Process. Mag. 18:22–35. doi: 10.1109/79.952803
- Unser, M., and Blu, T. 2003. Mathematical properties of the JPEG2000 wavelet filters. IEEE Trans. Image Process. 12:1080–90. doi: 10.1109/TIP.2003.812329
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
