Asal sayılar ya da Fibonacci dizisi çoğu kişinin aşina olduğu kavramlardır. Ama hiç Kolakoski dizisini duydunuz mu?
Kolakoski Sayı Dizisi Nedir?
Matematikçiler bu diziye hayranlık duyar çünkü tanımı hem basit hem de şaşırtıcı derecede öz referanslı bir yapıya sahiptir. Kolakoski dizisi yalnızca 1 ve 2’lerden oluşur ve bu sayılar dizide yalnızca tekli ya da ikili gruplar halinde arka arkaya gelir.
İlginç olan şu: Dizinin başından itibaren bu sayıların oluşturduğu ardışık tekrar uzunluklarını okursanız, dizinin kendisini yeniden üretirsiniz. Yani sayıların kendisi hem içeriği hem de yapıyı belirler. Kolakoski dizisi 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1… biçimindedir.
Ama diziyle ilgili harika olan şey, kendini tanımlaması ve bunu tekrar tekrar yapması.
İlk terimimiz 1, yani “bir tane 1” var. Sonraki iki terim 2, yani “iki tane 2” var. Sonraki iki terim 1, yani “iki tane 1” var. Altıncı terim 2, yani “bir tane 2” var. Yedinci terim 1, yani “bir tane 1” var. Yani her sayı, ardışık sayıların kaç kez tekrar ettiğini belirtiyor. Bu şekilde dizi, hem içeriğini hem de yapısını kendi içinde tanımlıyor.
Kolakoski Dizisi İle Nasıl Tanıştık?
Kolakoski Dizisi adını sık duymamış olabilirsiniz, ama matematik dünyasında oldukça ilgi gören bir dizidir. Aslında bu dizi, ilk kez 1939 yılında matematikçi ve makine mühendisi Rufus Oldenburger tarafından kaleme alınmış bir makalede yer aldı. Oldenburger, Princeton Üniversitesi’nde Albert Einstein ile birlikte çalışmış saygın bir akademisyendi.
Ancak diziye onun değil, daha sonra aynı yapıyı bağımsız olarak keşfeden William Kolakoski’nin (1944–1997) adı verildi. Böylece dizi, tarihte ilk kez Oldenburger tarafından belgelenmiş olsa da, Kolakoski’nin ismiyle tanındı.
İşin ilginç yanı, William Kolakoski aslında bir matematikçi değil, bir ressamdı. Ancak onun tutkusu “Recreational Mathematics”, yani eğlence amaçlı matematikti. Bu alana matematiksel bulmacalar, zeka soruları, akıl oyunları ve mantık bilmeceleri gibi pek çok yaratıcı uğraş girer. Kolakoski dizisi de tam olarak bu türden bir zihinsel oyundur.
Kolakoski, bu dikkat çekici diziyi Carnegie Institute of Technology’de öğrenci olan arkadaşlarına tanıtmış ve sonrasında American Mathematical Monthly (AMM) dergisine göndermişti. Dizi, dergide “Advanced Problem 5304” başlığı altında yayınlandı ve böylece adını matematik tarihine yazdırdı.
William Kolakoski aynı zamanda bir şizofrendi. Yüksek zekâsı ve pek çok alanda doğal bir ustalık sergilemesine rağmen, hastalığı zaman zaman yaşamının kontrolünü elinden alıyordu. Öyle ki, bir noktadan sonra ilaç desteği olmadan kendi zihnini yönetemez hale gelmişti.
Kolakoski, 1965 yılında dizinin ilk 41 terimini belirledi. Bu dizi üzerine yıllar süren kişisel bir araştırma yürüttü. Bugün bu çalışmalar, Carnegie Mellon Üniversitesi Kütüphanesi’nde “William Kolakoski Koleksiyonu” adıyla saklanmakta. Bu koleksiyon, hem sıra dışı bir dizinin hem de sıra dışı bir zihnin izlerini taşıyor.
Kolakoski Dizisi İle İlgili Günümüzde Pek Çok Cevaplanmamış Soru Vardır
Peki bu diziyi oluşturmak için bir kural var mıydı? Dizi periyodik miydi? Aslında bu soruların cevaplarını kendisi de bilmiyordu. Bu nedenle bu cevaplar ile uğraşma işini de asıl matematikçilere bıraktı.
1966 yılında Necdet Uçoluk, Kolakoski’nin ortaya attığı bazı. sorulara yanıt verdi. Dizi periyodik değildir. İlginç olan, hem Kolakoski hem de Uçoluk’un bu alandaki ilk yazılı kaynak olan Oldenburger’in 1939 tarihli makalesinden habersiz olmasıydı.
Kolakoski dizisi tanımı ve üretimi bakımından oldukça basit görünür. Ancak bu yalın yapısına rağmen, dizi hâlâ çözülememiş pek çok matematiksel soruya sahiptir. Öyle ki, bazı problemler elli yılı aşkın süredir araştırmacıların dikkatini çekmeye ve zihinlerini meşgul etmeye devam ediyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Neil Sloane: the man who loved only integer sequences. Yayınlanma tarihi: 7 Ekim 2014. Bağlantı: Neil Sloane: the man who loved only integer sequences/
- The Secret of This Number Sequence Is Hidden in Plain Sight. Yayınlanma tarihi: 24 Temmuz 2017. Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
- Dekking, F.. (2001). What is the Long Range Order in the Kolakoski Sequence?. 10.1007/978-94-015-8784-6_5.
- Shen, Bobby. (2018). The Kolakoski Sequence and Related Conjectures About Orbits. Experimental Mathematics. 29. 10.1080/10586458.2018.1434703.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
