Çarpım Tablosu İçinde Saklanan Simetrileri Keşfedin

Okullarda çarpım tablosu ilk öğretimin ilk yıllarında öğretilir. Devamında da öğrencilerin uzun süre devam eden bu tabloyu ezberleme çabaları gelir. Doğal olarak akıllara çarpım tablosunun sıkıcı ve hatta gereksiz ( sonuçta hesap makinesi de çarpabiliyor!) olduğu fikri yerleşir. Oysa ki bu çarpım tablosu içerisinde bir çok gizlenmiş simetrik özellik taşır. Öğrencilerin yaş seviyesine göre bu özellikleri keşfetmesi ellerindeki araçtan keyif almalarını sağlayacaktır. Biz de kolaydan zora doğru bu özellikleri sizler ile paylaşmaya çalışalım.

Aşağıda hepimizin bildiği standart bir çarpım tablosu var. Bu tablonun ilk sırası ve sütunu 1 ve 10 arasındaki sayıları içeriyor. Diğer herhangi bir sayı kendi sırasındaki ve kendi sütunundaki sayıların çarpımıyla elde ediliyor.

Bu tablonun üstüne ve soluna sıfırlar ekleyeceğiz ki bu bizim tablomuzu daha etkili hale getirecek. Artık ilk sıra ve ilk sütun 0’ın, ikinci sıra ve sütun 1’in, üçüncü sıra ve sütun 2’nin çarpımlarını gösteriyor. Geriye bizim atadığımız herhangi bir adına k diyeceğimiz değerin katlarını renklendirmek ve güzel desenler elde etmek kaldı.

Sayıların Katlarını Çarpım Tablosunda Renklendirelim

İlk örneğimize k=2 ile başlayalım. 2’nin bütün çarpımlarını mavi ile işaretleyelim (sıfırlar da 2’nin katı olduğu için bütün sıfırları da mavi olarak işaretledik). Burada tabloyu yatay yönde biraz daha genişlettik. İlerleyen örneklerde de ortaya çıkan kalıpları daha açık bir şekilde göstermek için aşağıdaki tabloların boyutlarını değiştirmeye devam edeceğiz

Çarpım Tablosu

Yukarıdaki tabloda dikkat etmeniz gereken bir şey var. Aslında tüm desen bir dörtlü sayesinde oluştu. Bu dörtlüyü aşağıda görebilirsiniz. Biz buna “Temel Blok” diyeceğiz. Temel blok k x k = 2×2 = 4 kadar kare içeriyor. Beyaz karenin sayısı ise (k-1)2=(2-1)2=1 biçiminde hesaplanmakta.

temel blok

Şimdi bu temel blokta k’ya farklı değerle atayarak farklı desenler elde edebilirsiniz. Örneğin aşağıda k=4 için çarpım tablosunun nasıl bir değişim sergilediğini görebilirsiniz. Burada temel bloğumuz 3×3=9 küçük kutucuktan oluşmaktadır.

Seçtiğimiz sabit olan k yerine 6 verdiğimiz de yani aslında 6’nın katlarını çarpım tablomuzda renklendirdiğimizde ortaya gerçekten keyifli bir desen çıkmaktadır. ( Desenin güzelliğini görebilmek için daha büyük rakamları işin içine dahil etmemiz gerektiğini unutmayalım)

Ardışık Sayıların Katlarını Çarpım Tablosunda Gösterelim

Birden çok kat ve bunlara karşılık gelen birden çok renk kullanırsak sonucunda daha ilginç desenler elde etmek mümkün olur. Aşağıdaki tabloda 2 sayısının katları kırmızı, 3 sayısının katları ise turuncudur. Hem 2 hem de 3 sayısının katları diğer bir deyişle 6 sayısının katları ise büyük olan sayının rengi ile yani turuncu ile boyanmıştır. Burada temel bloğumuzun 6×6 bir kareden oluştuğuna dikkat edin. Bunun nedeni elbette 2 ve 3’ün en küçük ortak katının 6 olmasıdır.

Çarpım Tablosu
Temel bloğumuz

Şimdi bir adım daha ileri gidelim, 2 nin katları kırmızı, 3 ün katları turuncu ve 4 ün katları ise sarı olsun. Eğer bir kutu bu 3 sayının da ortak katı ise büyük olanın rengini alsın. Karşımıza böyle bir görüntü çıkacaktır. Temel blok bu sefer 12×12 olacaktır. Bunun nedeni 12 sayısının 2,3 ve 4’ün en küçük ortak katı olmasıdır. Eğer yeterince zamanınız varsa bir bilgisayar yardımı ile bu oyunu istediğiniz kadar oynamaya devam edebilirsiniz.

Çarpım Tablosu

Hadi bir örnek daha yapalım. Bu sefer de 2 sayısının katları kırmız, 3 sayısının katları turuncu, 4 sayısının katları sarı ve 5 sayısının katları ise yeşil olsun. Bu sayıların en küçük ortak katı 60 olacaktır. Yani temel bloğumuz 60X60. Elbette çok daha detaylı bir şekil ortaya çıkıyor ve sonucunda aşağıdakine benziyor.

Ardışık Olmayan Sayıların Katları

Şu ana kadar çarpım tablosu ile gerçekten güzel simetriler elde ettik. Ancak işi daha da ileriye taşıyabiliriz. Şimdi de k’nın ardışık olmayan değerlerini kullanacağız. Sıradaki desende 6’nın katlarını mavi, 9’un katlarını yeşille işaretledik. Temel bloğumuz şimdi 18×18 toplam 324 kareden oluşuyor. 18 sayısının sebebi ise 6 ve 9’un en küçük ortak katının 18 olması. Her durumda ardışık olmayan sayıların katlarını renklendirirseniz birbirinden etkileyici desenler elde edebilirsiniz.

Çarpım Tablosu
6 ve 9 için oluşacak desen

Bir örnek daha verelim. Bu seferde 6 sayısının katlarını sarı ve 12 sayısının katlarını siyah olarak renklendirelim. Elde edeceğiniz sonuç aşağıdaki gibi olacaktır.

Kalanlar İle Oluşabilecek Desenler

Ancak daha işimiz bitmedi. Şimdi de işin içine belli bir sayıya bölündüğünde kalanları ekleyelim. Örneğin bu sayımız 5 olsun. 5 sayısının katlarına siyah diyelim. 5’e bölündüğünde 1 kalanlara yeşil, 2 kalanlara kırmızı, 3 kalanlara mor, 4 kalanlara sarı rengi atayalım. Ortaya aşağıdaki gibi bir çarpım tablosu çıkacaktır.

Şu ana kadar, pozitif tam sayıların çarpım tablosundaki sayıların dağılımı arasında gizlenen simetrilerden birkaçını gösterdik. Aslında bundan sonrası da sizin yaratıcılığınıza kalmış durumda. Bu gibi kalıpları yardımcı programlar aracılığı ile oluşturmak kolaydır. Bu tarz bir programı online olarak buradan kullanabilirsiniz. Ayrıca bu tarz bir aktivitenin yaşlara uyarlanarak sınıf ortamında yapılması da matematik eğitimi açısından biz ce başarıyı arttıracaktır. Sonuçta bu ve benzeri şekillerde oluşturulan görseller, öğrencilerin kesinlikle ilgisini çekecektir. Merak uyandıracak, ilham verecek ve daha fazlasını aramalarına neden olacaktır. Bir matematik öğretmeninin temel işlevi de öğrencide merak duygusunu uyandırabilmektir.


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar için: 

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu