Gündelik hayatta fark etmeden verdiğimiz küçük kararlar, aslında matematik kurallarının tam ortasında yer alır. Havaalanında bir kapıya yetişmeye çalışırken yaşadığınız basit bir tereddüt bile hız, zaman ve hareket ilişkisini düşündüren bir probleme dönüşebilir.
Diyelim ki izninizi ayarladınız, kış boyunca biriktirdiğiniz paraya uygun bir otelle anlaştınız, valizinizi hazırladınız ve yolculuğunuza başlamak için hava limanına ulaştınız.
Uçağınıza yetişmek için acele ediyorsunuz; kalkış kapısı terminalin oldukça uzak bir noktasında. Yol boyunca bazı bölümlerde yürüyen bantlar var, bazı yerler ise halı kaplı. Siz her zamanki temponuzla yürüyorsunuz, ancak yürüyen banda çıktığınızda bant da sizi ileri taşıdığı için yere göre daha hızlı ilerliyorsunuz.
Tam bu sırada ayakkabı bağcıklarınızın çözüldüğünü fark ediyorsunuz. Yürüyüşünüzü bozacak kadar ciddi değil ama rahatsız edici. Durup bağlamaya karar veriyorsunuz.
Bağcıkları bağlamak, ister halının üzerinde olun ister yürüyen bantta, aynı süreyi alacak. Kapıya en kısa sürede ulaşmak istiyorsanız, bağcıklarınızı nerede bağlamalısınız?
Diyelim ki kendinizi oldukça enerjik hissediyorsunuz ve beş saniyeliğine yürüme hızınızı iki katına çıkarabiliyorsunuz. Bu kısa süreli hızlanmayı yürüyen bant üzerindeyken mi, yoksa halı üzerinde mi kullanmak daha verimli olur?
Ayakkabı Bağlama Sorusunun Çözümü Nedir?
Kapıya en hızlı, bağcıklarınızı yürüyen bant üzerindeyken bağlayarak ulaşırsınız; koşmanız gerekiyorsa bunu halı kaplı zeminde yapmanız daha avantajlıdır.
Bu sonuç ilk bakışta sezgisel görünmeyecektir. Cebirle kanıtlamak olasıdır, ancak sezgiye dayalı bir açıklaması da vardır.
Yürüyen banda doğru giden halı kaplı zeminde yan yana yürüyen iki ikizi, T1 ve T2’yi düşünün. T1 yürüyen banda gelmeden hemen önce durup bağcıklarını bağlar; T2 ise çok kısa bir süre sonra, yürüyen bandın üzerindeyken durur. Bu durumda T1, T2’yi bir daha yakalayamaz.
Koşma durumu zihinde canlandırması daha zor bir tablodur. T1’in halı üzerinde koşarak elde ettiği mesafe avantajını düşünün. Bu avantaj, yürüyen banda geçtiklerinde daha da büyür ve T2, T1’in oluşturduğu fazladan farkı hiçbir zaman tamamen kapatamaz.
Cebirsel olarak söylersek, T1 halı üzerinde koştuğunda D kadar bir fark yaratır. Yürüyen bant üzerindeyken bu farkı bir miktar daha artırır; ta ki T2 de banda çıkana kadar. O noktadan sonra T2 koşmaya başlar. T2 aradaki D’lik farkı kapatır, ancak sonradan eklenen kısmı asla yok edemez. T1, T2 koşmayı bırakmadan önce banttan inerse sonuç değişmez.
Bu, matematiksel bir problemin kamusal tartışmalara taşındığı ender durumlardan biridir. Gündelik hayatta karşılığı olan bir durum olduğu için herkes bir fikir öne sürebilir. Çoğu kişi konuya tamamen pratik açıdan yaklaşır ve kenara çekilip bağlarım, kimseye çarpmam diye düşünür.
Sorunun Cebirsel Açıklaması
Soruyu yalnızca matematiksel bir problem olarak ele alanlar bile çoğu zaman hatalı bir ilk sezgiyle yola çıkar. Yaygın akıl yürütmeler şöyledir:
- Halı zeminde bağlamak. Böylece yürüyen bantta bulunduğunuz sürenin tamamında en yüksek hızla ilerlersiniz.
- Yürüyen bantta bağlamak. Böylece bağcık bağlarken bile ilerlemeye devam edersiniz.
- Fark etmez; mesafe, hızlar ve bağlama süresi sabit olduğundan sonuç aynı olur.
Şimdi işin içine matematiği sokalım. Kullanacağımız temel bağıntı şudur: Hız = mesafe / zaman, dolayısıyla zaman = mesafe / hız.
Zemindeki mesafeye Dz, yürüyen banttaki mesafeye Dy diyelim. Yolcu hiç durmadan gitse, zemindeki süre Dz/u, banttaki süre Dy/(u+v) olurdu. Ama bağcık bağlamak zorunda. Soru şu: Bu T sürelik duruş nerede daha az zaman kaybettirir?
Eğer zeminde durursa, T süresi boyunca hiç ilerleyemez; sadece zaman kaybeder. Ardından yine yürümeye başlar ve banda geldiğinde hızı u+v olur. Toplam süresi, yürüdüğü süreler artı T’dir.
Ama bağcıklarını yürüyen bant üzerindeyken bağlarsa yolcu durmuş olsa bile bant onu ileri taşımaya devam eder. Yani T süresi tamamen “boşa geçen” bir süre değildir. Bu yüzden bantta bağladığında geriye kat etmesi gereken bant mesafesi azalır. Sonuçta toplam süre daha kısa çıkar. Bu yüzden bağcık bağlama işi yürüyen bantta yapılmalıdır.
Şimdi ikinci sahne: Yolcu bu kez bağcık bağlamıyor ama T süreyle normalden daha hızlı, w hızıyla yürüyebiliyor. Bu “hızlanma hakkını” nerede kullanmalı?
İlk düşünce, yürüyen bantta koşmanın daha iyi olacağıdır. Oysa matematik tersini söyler. Zeminde hızlandığında, normalde u ile gideceği mesafeyi daha kısa sürede alır ve kendine D kadar bir “mesafe farkı” yaratır. Sonra banda geçtiğinde bu fark korunur, hatta bant sayesinde zaman kazancı büyür.
Eğer hızlanmayı bant üzerinde yaparsa, zaten bant hızı v ile ilerlediği bir ortama ekstra hız eklemiş olur. Kazanç vardır ama zemindeki kadar etkili değildir. Cebirsel karşılaştırma sonunda w/u oranının (w+v)/(u+v)’den büyük olduğu görülür; bu da zaman kazancının zeminde hızlanıldığında daha fazla olduğunu gösterir.
Sonuç Olarak
Bu sorudan çıkarmamız gereken ders şudur. Yapacağınız yeni eylem yürüme hızınızdan daha yavaşsa bunu yürüyen bantta yapın; yürüme hızınızdan daha hızlıysa halı zeminde yapın.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Did you solve it? Where’s the best place to tie your shoe in an airport? Yayınlanma tarihi: 26 Haziran 2016; Bağlantı: https://www.theguardian.com
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
