Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarptığımızda o sayının beşinci kuvvetini elde ederiz. Örneğin 2 sayısını beş kez çarptığımızda sonuç 32 olur. Şimdi bu işlemin tersini düşünelim. Elimizde bir sayı varsa, bu sayının hangi sayının kendisiyle beş kez çarpılmasıyla elde edildiğini hesap makinesi kullanmadan bulabilir miyiz? Bu sorunun cevabı evettir.
32 sayısının 5’inci dereceden kökü ⁵√32 = 2’dir. Çünkü 2 sayısı kendisiyle beş kez çarpıldığında 32 sonucunu verir. Nitekim 18 sayısını beş kez kendisiyle çarptığımızda da 79.235.168 elde edilir. Yani ⁵√79.235.168 = 18’dir.
Bu tür işlemler hesap makinesiyle kolayca yapılabilir. Ancak ilginç olan, bazı durumlarda sonucu zihinden de hızlıca bulabilmektir. Özellikle iki basamaklı sayıların beşinci kuvvetlerinde belirli örüntüler ortaya çıkar.
Bu yöntemin temelinde basit ama güçlü bir gözlem vardır. Herhangi bir n sayısı için n⁵ sayısının birler basamağı, n sayısının birler basamağı ile aynıdır. Bu sayede verilen sonucun yalnızca son rakamına bakarak aradığımız sayının birler basamağını doğrudan buluruz. Örneğin:
2⁵ = 32 → son basamak 2
7⁵ = 16807 → son basamak 7
13⁵ = 371293 → son basamak 3. Görüldüğü gibi sonuçların son basamağı, sayının kendisiyle aynıdır.
Geriye onlar basamağını belirlemek kalır. Bunun için sayının büyüklüğüne bakarız. İki basamaklı bir sayı n = 10k + b biçimindedir. Bu sayının beşinci kuvveti yaklaşık olarak (10k)⁵ civarındadır. Yani sayının ilk kısmı bize k değerini, dolayısıyla onlar basamağını verir.
Beşinci Dereceden Kök Bulma Probleminin Çözümü
Pratikte bunun için verilen sayının son beş basamağını ayırırız ve geriye kalan kısmı inceleriz. Bu kalan sayı, (10k − 1)⁵ ile (10k + 1)⁵ arasındaki aralıklardan hangisine düştüğünü gösterir.
Örneğin 79.235.168 sayısını ele alalım. Son basamak 8 olduğu için birler basamağı 8’dir. Son beş basamağı ayırdığımızda geriye 792 kalır. Şimdi bu değerin hangi aralıkta olduğuna bakarız:
- (30 − 1)⁵ = 29⁵ ≈ 20.511.149
- (30 + 1)⁵ = 31⁵ ≈ 28.629.151
Bu aralığa karşılık gelen k = 3’tür. Yani sayımız 30 ile 40 arasındadır. Birler basamağının 8 olduğunu biliyorduk. Sonuç 38 olur.
Benzer şekilde 69.343.957 sayısında son basamak 7’dir. Son beş basamağı ayırınca geriye 693 kalır. Bu değer yine k = 3 aralığına düşer. Sonuç 37 olur.
Özel bir durum da vardır. Eğer sayı 10’un katıysa, sonucun sonunda çok sayıda sıfır bulunur. Bu durumda sıfırlardan önce gelen son rakam doğrudan onlar basamağını verir. Örneğin sonuç 777.600.000 ise bu sayının 60⁵ olduğu anlaşılır.
Aktardığımız bu yöntem sayesinde, biraz pratikle beşinci dereceden kök hesaplarını hızlı ve zihinden yapmak mümkündür.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Fifth Root Trick – Numberphile; Yayınlanma tarihi: 15 Şubat 2014; Bağlantı: https://www.youtube.com
- Edward H. Julius; More Rapid Math Tricks and Tips: Tricks and Tips: 30 Days to Number Mastery (1996)
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
