1900 yılında David Hilbert, matematiğin en önemli açık problemlerinden oluşan yirmi üç maddelik bir liste hazırladı. Bu problemler sonraki yıllarda matematiğin birçok alanında yeni yöntemlerin ve kavramların gelişmesine yol açtı. Bazıları çözüldü, bazıları ise bugün hâlâ açık durumda.
Listenin ilk sırasında yer alan süreklilik hipotezi ise çok farklı bir kader yaşadı. Matematikçiler zamanla bu sorunun yalnızca zor olmadığını, standart küme kuramı aksiyomlarının ona kesin bir cevap vermeye yetmediğini keşfettiler.
Süreklilik Hipotezi İle Nasıl Tanıştık?
Matematikle tanıştığımız ilk yıllarda çoğumuz benzer bir şaşkınlık yaşarız. En büyük sayının neden var olmadığını anlamak kolay görünür. Hangi sayıyı seçersek seçelim ona 1 ekleyerek daha büyük bir sayı elde edebiliriz. Ancak bu işlemin hiçbir zaman sona ermeyecek olması, sonsuzluk fikrini düşündüğümüzde işleri daha ilginç hale getirir.
Sonsuzluk, matematik tarihi boyunca en güçlü zihinleri meşgul eden kavramlardan biri oldu. Çünkü sonsuzlukla çalışmaya başladığımızda günlük sezgilerimizin pek çoğu geçerliliğini kaybeder.
19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor bu konuda köklü bir değişim yarattı. Cantor, sonsuzluğun tek bir büyüklük olmadığını ve farklı büyüklükte sonsuzlukların bulunduğunu gösterdi. Üstelik bu farklı sonsuzlukların sayısı da sonsuzdu.
Cantor’un çalışmaları yalnızca yeni sonuçlar ortaya koymadı. Matematikçilerin sonsuzluğu nasıl düşündüğünü de değiştirdi. Sonsuz kümelerin büyüklüklerini karşılaştırmak ve sınıflandırmak için geliştirdiği sistemin merkezinde ise alef sayıları yer alır.
Süreklilik Hipotezi Nedir?
Bu sistemin ilk basamağı ℵ₀, yani alef sıfırdır. ℵ₀ doğal sayıların oluşturduğu sonsuzluğun kardinalitesini gösterir. Kardinalite, en basit anlamıyla bir kümenin kaç elemana sahip olduğunu ifade eder. Sonlu kümelerde bunu 5, 20 ya da 100 gibi sıradan sayılarla gösteririz. Sonsuz kümelerde ise alef sayıları devreye girer.
İki sonsuz kümenin aynı kardinaliteye sahip olup olmadığını anlamak için elemanları arasında birebir eşleme kurmaya çalışırız. Örneğin doğal sayılar ile çift sayılar arasında böyle bir eşleme vardır. Her doğal sayıyı iki katıyla eşleştirebiliriz.
Bu nedenle çift sayılar doğal sayıların yalnızca bir bölümünü oluştursa da iki kümenin kardinalitesi aynıdır. Doğal sayılarla bu biçimde birebir eşleştirilebilen bütün sonsuz kümelerin kardinalitesi ℵ₀’dır. Cantor daha sonra gerçel sayıların oluşturduğu kümenin ℵ₀’dan daha büyük bir kardinaliteye sahip olduğunu gösterdi.
Gerçel sayıların kardinalitesini c harfiyle gösteririz. Buradaki c, continuum yani süreklilik sözcüğünden gelir. Cantor, doğal sayıların bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümenin de aynı kardinaliteye sahip olduğunu gösterdi. Bu nedenle gerçel sayıların kardinalitesini 2ℵ₀ biçiminde de ifade edebiliriz. Tam bu noktada süreklilik hipotezinin temel sorusu ortaya çıkar.
ℵ₀’dan büyük olan en küçük sonsuz kardinal ℵ₁’dir. Peki gerçel sayıların kardinalitesi olan c, doğrudan ℵ₁’e mi eşittir?
Cantor bunun doğru olduğunu düşündü. Ona göre doğal sayıların sonsuzluğu ile gerçel sayıların sonsuzluğu arasında başka bir kardinal büyüklük bulunmuyordu. Bu düşünce daha sonra süreklilik hipotezi adını aldı.
Süreklilik hipotezi bu soruya evet yanıtını verir: 2ℵ₀ = ℵ₁. Başka bir deyişle hipotez, doğal sayıların sonsuzluğu ile gerçel sayıların sonsuzluğu arasında başka bir kardinal büyüklük bulunmadığını söyler.
Gödel ve Cohen Hipotezi Nasıl Değiştirdi?
Cantor, süreklilik hipotezini yıllarca kanıtlamaya çalıştı ancak başarılı olamadı. Sorunun neden bu kadar dirençli olduğu ise ancak 20. yüzyılda anlaşılmaya başladı.
Matematik, bazı temel kabuller üzerine kurulur. Bu kabullere aksiyom denir. Küme kuramında da matematikçilerin yaygın olarak kullandığı bir aksiyom sistemi vardır. Bu sistem, kümeler hakkında hangi işlemleri yapabileceğimizi ve hangi sonuçlara ulaşabileceğimizi belirler.
İlk önemli sonucu Kurt Gödel elde etti. Gödel, 1930’ların sonunda süreklilik hipotezinin bu standart aksiyomlarla çelişmediğini gösterdi. Başka bir deyişle, bu kuralları kabul ederek süreklilik hipotezinin doğru olduğu tutarlı bir matematiksel yapı kurmak mümkündü.
Ancak bu sonuç soruyu tamamen çözmedi. Süreklilik hipotezinin standart aksiyomlardan zorunlu olarak çıkıp çıkmadığı hâlâ bilinmiyordu.
1963 yılında Paul Cohen ikinci önemli adımı attı. Cohen, süreklilik hipotezinin aynı aksiyomlardan kanıtlanamayacağını gösterdi. Böylece şaşırtıcı bir tablo ortaya çıktı. Aynı temel kurallarla hem süreklilik hipotezinin doğru olduğu hem de yanlış olduğu matematiksel yapılar kurulabiliyordu.
Gödel ve Cohen’in sonuçları birlikte değerlendirildiğinde, süreklilik hipotezinin standart küme kuramı aksiyomlarından bağımsız olduğu anlaşılır. Buradaki bağımsızlık, hipotezin anlamsız olduğu anlamına gelmez. Asıl mesele, elimizdeki temel kuralların bu soruya tek başına kesin bir cevap vermeye yetmemesidir.
Süreklilik Hipotezinin Geleceği Nedir?
Gödel ve Cohen’in sonuçları, süreklilik hipotezinin standart küme kuramı aksiyomlarıyla ne kanıtlanabildiğini ne de çürütülebildiğini gösterdi. Ancak bu durum, matematikçilerin soruyla ilgilenmeyi bıraktığı anlamına gelmedi. Tam tersine, tartışma başka bir noktaya taşındı. Eğer mevcut aksiyomlar yeterli değilse, acaba yeni ve daha güçlü aksiyomlar bize bir cevap verebilir mi?
Bazı küme kuramcıları bunun mümkün olduğunu düşünüyor. Onlara göre matematiğe doğal ve güçlü yeni ilkeler eklediğimizde süreklilik hipotezinin doğru ya da yanlış olduğuna karar verebiliriz. Nitekim son yıllarda geliştirilen bazı güçlü aksiyomlar gerçel sayıların kardinalitesinin ℵ₁ değil, ℵ₂ olması gerektiği yönünde sonuçlar veriyor.
Başka matematikçiler ise soruna farklı bir açıdan bakıyor. Joel David Hamkins’in savunduğu küme kuramsal çoklu evren görüşü buna iyi bir örnektir. Bu yaklaşıma göre tek bir küme kuramsal evren yerine, matematiksel açıdan geçerli birçok farklı evren vardır. Bazılarında süreklilik hipotezi doğru, bazılarında ise yanlıştır.
Hamkins’e göre bu durum bir eksiklikten çok, küme kuramının doğasını yansıtır. Matematikçiler bugün süreklilik hipotezinin hangi koşullarda doğru, hangi koşullarda yanlış olduğunu ve gerçel sayıların kardinalitesinin farklı yapılarda nasıl değişebildiğini oldukça ayrıntılı biçimde inceleyebiliyor. Bu nedenle Hamkins, süreklilik sorusunun bir anlamda zaten yanıtlandığını savunur.
Belki gelecekte matematikçiler yeni aksiyomlar üzerinde geniş bir uzlaşmaya varacak ve süreklilik hipotezine daha belirli bir cevap verecekler. Belki de farklı küme kuramsal evrenlerde farklı cevapların ortaya çıkması, problemin temel özelliklerinden biri olarak kabul görecek.
Cantor’un 19. yüzyılda sorduğu soru bu nedenle bugün hâlâ önemini koruyor. Süreklilik hipotezi artık yalnızca sonsuzlukların büyüklüğüyle ilgili bir problem değil, matematiksel doğruluğun neye dayandığıyla ilgili daha derin bir tartışmanın da merkezinde yer alıyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer. Yayınlanma tarihi: Kaynak Site: Bağlantı: How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer.
- Asperó, & Schindler,. (2021). Martin’s Maximum++ implies Woodin’s axiom (*). Annals of Mathematics. 193. 793. 10.4007/annals.2021.193.3.3.
Matematiksel
