Yuvarlak Köşeler, Süper Eğriler

Cebirsel ifadeler geometri yoluyla, geometrik ifadelerde cebirsel olarak ifade edilebilir. Matematiğin en heyecan verici özelliklerinden birisi de bu değil midir zaten? Birbirinden farklı gibi gözüken konuların birbirileri ile olan ilişkilerinin fark edilmesi ve coşku uyandırıcı yeni keşiflere olanak sağlaması…

Örneğin, Fermat’ın son teoreminin ispatı gibi birçok etkileyici ispat geometriye dayanır. Aynı biçimde, cebirsel bir biçimde ifade edilerek 2000 yıllık geometri sorularına yeni bir yaşam hakkı bulunabilir.

Descartes tarafından ilk olarak ortaya atılan, x ve y biçimindeki denklemlerin doğrular biçiminde yazılabileceği düşüncesinin en belirgin sonuçlarından birisi farklı tür­deki denklemlerin farklı türde grafikler oluşturmasıdır elbette.

Bunun sonucunda da karşımıza süper şekiller çıkabilir. Süper derken, ne demek istediğimizi tam olarak anlamak istiyorsanız okumaya devam ediniz…

y = x ve y = 2x +1 gibi sadece x ve y’lerden oluşan denklemler çizildikleri vakit daima düz çizgiler oluştururlar.  Buna karşılık, x2 ve/veya y2 gibi terimlerden oluşan ikinci de­receden denklemler daima, konikler diye genellediğimiz, şu dört çeşit eğriden birisini oluştururlar: Çember, elips, parabol ya da hiperbol.

İçinde x’ler ve y’ler olan ikinci derece denklemler ile çizilebilen bu eğrilerin hepsi gerçek dünyada da bulundukları için bilime faydaları oldukça fazladır. Örneğin, parabol havada uçan bir cismin yörüngesinin biçimidir. Elips, gezegenlerin güneş çevresinde yaptığı harekettir ve güneş saatinin gölgesinin ucunun gün içinde yaptığı hareket ise hiperboldür.

1818 yılında Fransız matematikçi Gabriel Lame (1795–1870) çember ve elips formülü üzerinde oynamaya başladı. Eğer a ve b değerleri yerine üsleri değiştirirse neler olacağını merak ediyordu. Sonuçta Lame eğrileri adı ile bilinen, bulduğu sonuçlar oldukça ilginçti.

Bu yeni değişikliğin etkisi çok etkileyiciydi.

Örnek olarak xn + yn = 1 denklemini ele alalım. n = 2 iken denklem birim çember oluşturur. Aşağıda n = 2, n = 4 ve n = 8 değerlerini grafiği vardır ve grafikte de görebileceğiniz gibi n değerini yükselttikçe eğri kareye daha da yaklaşır, li­mitte ise denklem karedir.

Aynı durum elips için de geçerlidir. Elipsin de n değerini arttırırsak elips giderek dikdörtgene dönüşmeye başlar.

Stockholm şehir merkezinde Sergels Torg isimli bir halk meydanı var­dır. Alt katı yayalara, üstü trafiğe ayrılmış olan dikdörtgen biçiminde bir alandır burası. Bir çok etkinliğe ev sahipliği yapan bu meydan, Stockholmlülerin buluşma yeridir adeta.

1950’lerde Sergels Torg’u tasarlayan şehir planlamacıları geometrik bir problemle karşı karşıya geldiler. Dikdörtgen biçimindeki bir alana yapılacak en iyi yürüyüş yolu biçimi nedir diye sordular kendilerine. Çember kullanmak istemiyorlardı çünkü dikdörtgen biçimindeki alanı tamamen kullanamıyorlardı. Ama oval ya da elips de kullanmak is­temiyorlardı çünkü sivrileşen uçlarda hareket akışı engelleniyordu.

Piet Hein

Cevap arayışı içinde, projede çalışan mimarlar, Danimarka’da yaşayan, bir ressam ve matematikçi olan Piet Hein’a danıştılar. Piet Hein’ın çözümü basit matematiği kullanarak elips ve dik­dörtgen arası bir cisim bulmak oldu.

Sergels Torg’daki dikdörtgen biçimindeki alana uygun bir şekil bulabilmek için elips denklemindeki üs değerini değiştirdi. Piet Hein, oval ve dik kenarlar arasındaki sanatsal anlamda en iyi uyuşmanın n değerinin 2.5 alındığında meydana geldiğine karar verdi. Bu yeni biçime ‘squircle’ (kare daire) adını verebilirdi ama o süper elips adını tercih etti.

Kendisi şöyle der: ‘Tüm medenileşme süreci içinde iki çeşit eğilim vardır, biri düz çizgiler ve dörtgenler diğeri ise dairesel olanlar. Düz hatları olan nesneler bir arada uyumlu olur ve yerden kazandırırlar. Ve dairesel olanları -fiziksel ve zihinsel olarak- daha rahat hareket ettiririz. Ama ara bir formun daha uygun olduğu zamanlarda birini ya da ötekini seçmekle sınırlanmış durumdayızdır. Bu problemin çözümü süper elipstir. Ne dairesel ne de dörtgendir, ikisinin arasıdır. Ama yine de belirli, tanımlı ve bir bütündür.’

Stockholm’ün süper eliptik yürüyüş yolu başka mimarlar tarafın­dan da kopyalandı, en belirgin olanı 1970 ve 1986 yıllarında dünya kupasının oynandığı Mexico City’deki Azteca stadyumudur.

Piet Hein’ın eğlenceli zihni süper elipste durmadı. Bir sonraki proje olarak şeklin üç boyutlu halinin neye benzeyeceğini merak etti. Sonuç küre ve kutu arası bir şey oldu. Buna ‘sphox’ adını verebilirdi. Ama o buna ‘süper yumurta’ adını verdi.

Süper yumurtanın beklenmedik özelliklerinden biri düşmeden uçlarının üzerinde durabilmesidir. 1970’lerde Piet Hein, paslanmaz çelikten yaptığı süper yumurtaları ‘yontu, takı ya da tılsım’ olarak piyasaya sürdü. Merak uyandıran güzel nesnelerdi. Aslında Piet Hein’ın tüm eğrileri zamanla gündelik hayata yayılarak tasarımcıların vazgeçilmezlerinden oldu.

Günümüzde evimizde pek çok objede karşımıza çıkan süper eliptik nesnelerin bir matematiksel geçmişi olması bizler açısından güzel elbette…

Referans: Alex Bellos – Alex Sayılar Diyarında, syf: 246 – 253

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Borsa ve Finansta Matematik: Isaac Newton’un Borsada Batışı

Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası Başkanı Murat Çetinkaya, 2018 yılı için yıl sonu enflasyon oranı tahminini …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');