Türev ve İntegrali Anlamak

Türev ve integral, matematiksel evrenin  yapıtaşlarındandır. Ancak günümüzde okullarda bu ikili yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla ezbere dayalı, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatılır.

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki…

İlk düşünceler MÖ 200’lerde Arkhimedes’den ve 17.yy’da Fermat’dan geldi. İngiltere’de Newton ve Almanya’da Leibniz birbirlerinden bağımsız olarak bu kavramların temellerini attılar. Böylece Kalkülüs kavramı oluşmaya başladı ve beraberinde onun temelini oluşturan türev ve integral. Ve bu iki kavram bir araya  kalkülüsün temel teoremi ile gelebildi. Bu temel teorem bize der ki: “İntegral ve türev birbirlerinin tersidirler, bir fonksiyonun türevinin integrali fonksiyo­nun kendisine eşittir.”

İnce bir S’ye benzeyen ∫ sembolüne “integral işareti” denir ve sonsuz toplamı temsil eder.

Aslında türev ve integral kavramlarının kendileri de daha temel bir şeyden gelmekte idi. Türev ve integral şu soruları yanıtlama arzusunun sonucu olarak bulunmuşlardı:

i. Bir eğri ile sınırlanmış bir bölgenin alanı nedir?
ii. Hareket eden bir parçacığın anlık hızı nedir?

Bunlar, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır.

Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim“i ölçmek için kullanılır. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Teknik tanımlara girmeden pratikte anlatmaya çalışalım bu kavramları sizlere.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple içinde değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır.

İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: “türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir.” Neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da “geometrik eğri”) bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir “anındaki”) değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir “kaydırak” görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar “dik” ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin “iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı” olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana göre integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi?

Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.

Bu kavramlara paha biçmek olanaksızdır. Onlar olmadan ne bilim, ne teknoloji ve ne de fiziksel dünyanın, basit gözlemler ötesinde, anlaşılmasına olanak olurdu. Galileo “Doğanın kitabı matematikle yazılmıştır.” diyor. Bu ifade de matematik yerine kalkülüsü diğer bir deyişle türev ve integrali koyarsanız pek de yanılmış olmazsınız.

Kaynaklar:

1- http://www.evrimagaci.org/fotograf/108/6623 

2- Matematik Sanatı  – Jerry P. King syf: 237-238

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Güvercin Yuvası Prensibi

Güvercin yuvası ilkesi, matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda bizi bir çok ilginç olgularla …

Bir Yorum

  1. “Türev herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktarıdır.” cümlesi yanlıştır. Çünkü bu aralığın zaman olması gerekmez. Zaman sadece sayısız değişkenden biridir. Bu sıcaklık olabilir, ağırlık olabilir veya tamamen soyut matematiksel bir değişken olabilir.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');