İki Dakikada Matematik: Türev ve İntegral

Türev ve integral, matematiksel evrenin yapıtaşlarındandır. Ancak  okullarda bu ikili yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla ezbere dayalı, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatılır.

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki…

Konu ile ilgili ilk düşünceler MÖ 200’lerde Arkhimedes’den ve 17.yy’da Fermat’dan geldi. İngiltere’de Newton ve Almanya’da Leibniz birbirlerinden bağımsız olarak bu kavramların temellerini attılar. Böylece Kalkülüs kavramı oluşmaya başladı ve beraberinde onun temelini oluşturan türev ve integral.

Bu iki kavram bir araya  kalkülüsün temel teoremi ile gelebildi.

Bu temel teorem bize der ki: “İntegral ve türev birbirlerinin tersidirler, bir fonksiyonun türevinin integrali fonksiyo­nun kendisine eşittir.”

Türev ve İntegrali Anlamak

İnce bir S’ye benzeyen ∫ sembolüne “integral işareti” denir ve sonsuz toplamı temsil eder.

Aslında türev ve integral kavramlarının kendileri de daha temel bir şeyden gelmekte idi. Türev ve integral şu soruları yanıtlama arzusunun sonucu olarak bulunmuşlardı:

i. Bir eğri ile sınırlanmış bir bölgenin alanı nedir?
ii. Hareket eden bir parçacığın anlık hızı nedir?

Bunlar, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır.

Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim“i ölçmek için kullanılır. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır.

Teknik tanımlara girmeden pratikte anlatmaya çalışalım bu kavramları sizlere.

Örneğin damlayan musluğun altına bir kova koyduğunuzu düşünelim.  Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Bu durumda türev, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. ( Musluğun düzenli akıttığını kabul edelim bu arada)

İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır.

Örneğin damlatan musluğumuzu düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak

Türev ve İntegrali Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir.

Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: “türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir.” Neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim!

Elimizdeki grafik (ya da “geometrik eğri”) bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir “anındaki”) değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir.

Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. Teğet ne kadar “dik” ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir, ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin “iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı” olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana göre integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir.

Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir.

İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.

Galileo “Doğanın kitabı matematikle yazılmıştır.” diyor. Bu ifade de matematik yerine kalkülüsü diğer bir deyişle türev ve integrali koyarsanız pek de yanılmış olmazsınız.

Kaynaklar:

1- http://www.evrimagaci.org/fotograf/108/6623 

2- Matematik Sanatı  – Jerry P. King syf: 237-238

Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

İlgili Makaleler

2 Yorum

  1. “Türev herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktarıdır.” cümlesi yanlıştır. Çünkü bu aralığın zaman olması gerekmez. Zaman sadece sayısız değişkenden biridir. Bu sıcaklık olabilir, ağırlık olabilir veya tamamen soyut matematiksel bir değişken olabilir.

    1. bahsetmiş olduğunuz tüm değişkenler belirli belirli bir zaman aralığında gerçekleştiği için tanım doğrudur. Aslinda zaman araligi yoksa durağanlık ya da an vardır. Diğer bir tabirle hayat durmuştur. Bu durumda da problemin ya da herhangi bir değişkenin varlığı önemsizdir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı