Temel Matematiksel Kavramlar

Matematikte Limit Nedir?

“Bir kez yapılan her zaman yinelenebilir.” Zenon’a atfedilen bu beylik cümle matematikte limit kavramının temelini aydınlığa kavuşturmuştur. Poincare daha da ileri gidecek ve “İnsan usu, bir eylem bir kez olanaklı ise, o eylemin sonsuz kereler yinelenebilmesini kavrayacak yapıdadır.” diyecektir. Aşağıdaki üç sorunun ışığında yukarıdaki sözlerin doğruluğunu test edelim. Gerçekten aklımız sonsuz kereler yinelenme işinde ne kadar mahir ve bu konuda Poincare ne kadar haklı?

  • A noktasından B noktasına gitmek istiyoruz. Önce yolun yarısını gidelim, sonra kalan yolun yarısını, sonra da yine kalanın yarısını… bu şekilde devam ettiğimizde sonuç ne olur?
  • Bu soruyu bir de tersten soralım. A noktasından B noktasına gitmek istiyoruz. Önce yolun yarısını gitmeliyiz. Yolun yarısını gidebilmek için de mevcut gitmemiz gereken yolun yarısının yarısını gitmeliyiz. Bu süreci devam ettirirsek ilk adımı ne zaman atarız ya da  atabilir miyiz? 
  • Bir çemberin içine köşeleri çemberin üzerinde olan bir eşkenar üçgen çizelim. Sonrasında çember üzerinde ardışık iki noktanın orta noktasını belirleyip üçgenin köşeleriyle birleştirip altıgeni çizelim. Sonrasında yine aynısını defalarca yapalım. Çokgenin kenar sayısı arttıkça çokgen neye benzeyecektir?

Bu gibi soruları çoğaltabiliriz. Amacımız bu yazıda sezgilerimize ters gelen kısımları açığa kavuşturmak olacak. Ama işe, bu sorulardan başka, çözdüğümüzde bizi daha mutlu edecek bir problemle başlayacağız.

Okuma Önerisi: Limitin Öyküsü

Limit İle İlgili Bir Problem

Problem: Aralarındaki uzaklık 300 km olan iki araba tek yönlü bir yolda birbirlerine doğru saatte 100 km hızla hareket etmeye başladıkları anda bu arabaların birinin ön camının üzerinde bulunan bir arı arabalarının hareketiyle birlikte saatte 200 km hızla karşıdan gelen arabayı uyarmak için uçmaya başlar, arabaya ulaşır ulaşmaz hiç durmaksızın bu sefer diğer arabaya doğru uçmaya başlar, arı bu uçuşuna facianın olduğu ana kadar devam eder. Bu zavallı arı toplam kaç km uçar?

Şekil-1

I.Çözüm: Şekil-1 e bakıldığında arının kat edeceği yollar

|AK1|+|K1K2|+|K2K3|+|K3K4|+…

(çarpışma anına kadar) şeklinde olacaktır. Bu mesafeleri hesaplayalım: Arının hızı araçların hızlarının iki katı olduğundan her seferinde aralarındaki yolun 2/3 ünü arı, 1/3 ünü araba alacaktır. Dolayısıyla arının alacağı yollar

şeklinde olacaktır. Arının alacağı toplam yol da

olacaktır. Peki parantez içindeki sonsuz toplam işleminin sonucunu nasıl bulacağız?

II.Çözüm: Arının hızı belli. Eğer arının ne kadar süre uçacağını (yaşayacağını) bilebilirsek soru çözüme kavuşmuş olacak. Çünkü yol=hız x zaman dır. Arının uçacağı toplam süre iki aracın kavuşma (çarpışma) anına kadar geçecek olan süreyle aynıdır. İki aracın basit bir hesaplamayla 1,5 saat sonra çarpışacağını bulabiliriz.  Arının alacağı toplam yol da 200.1,5=300 km olacaktır.

Sonuç: İki çözümü karşılaştırdığımızda (eğer ikisinden de eminsek) ilk çözümün sonunda bulduğumuz sonsuza kadar gidecek olan işlemin sonucunun 1/2 çıkması gerekmektedir. Peki ama nasıl?

Şekil-2

Şekil-2 de arının kat edeceği mesafelerin toplamı L noktası civarında yığılma oluşturmakta ve gittikçe o noktaya yaklaşmaktadır. Şekil-3 de bu yaklaşmanın boyutlarını daha yakından görebiliriz.

Şekil-3

Bu yaklaşma bu serinin toplamının o sayıya (0,5) eşit olacağını söyleyebilmemiz için yeterli midir? Sezgilerimize kulak verirsek evet gibi, ama ya matematiksel olarak ifade etmek gerekirse…

Gelecek yazıda kaldığımız yerden devam edeceğiz…


  • Boll, M. (2003). Matematik Tarihi. (s.45). (Bülent GÖZKAN)(2. baskı). İstanbul: İletişim Yayınları
  • Problem, Ünal UFUKTEPE’nin Matematik Dünyası dergisinde yayınlanan “Limit’in Öyküsü” adlı yazısından alınmıştır.            

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu