Anasayfa » MATEMATİK HER YERDE » Sihirli Üçgenler Yardımı İle Dünyayı Anlamak

Sihirli Üçgenler Yardımı İle Dünyayı Anlamak

Gökyüzü, özellikle ge­celeri, o denli büyüleyicidir bu nedenle astronomi en eski bilim kabul edilir.

Belki de bu nedenle tüm dinler her enlemde, tüm devirlerde, Tanrıların krallığını gökyüzüne yerleştirmiştir. Ancak başlangıçta ilgi duyulan astronomiden ziyade astroloji olmuştur elbette.

İngiltere kralı kraliyet astronomu unvanını oluşturduysa ve Fransa kralı astronomlardan oluşan özel bir bilim adamlar grubu kurduysa, bu, bilim aşkından değildir. Onlar kendilerine geleceğin bildirilmesini istiyorlardı! Bu nedenle, günümüz astronomları astrolojiye bir şeyler borç­lulardır. Bu işe kafa yoranlar da geometriye…

Geometri nereden çıktı derseniz, dünyayı anlamak için üçgenler ve bunların özellikleri üzerine birtakım bilgiler ge­reklidir.

Yunanlar, Babilliler, Mısırlılar sadece üçgenleri kullanarak son derece önemli, sayısız şeyi anladılar. Yerkürenin yarıçapını, dünya – ay uzaklığını, dünyanın güneşe uzak­lığını belirlediler, sonra da güneşin çapını. Tek araçları gözleri ve üçgenlerdi!

Tüm üçgenlerin arasında bir tanesi vardı ki hepsin­den baskındı: dik üçgen.

Simetrik görüntüsünden dolayı ikizkenar üçgen ya da eşkenar üçgen göze daha güzel görünse de dik üçgenin dünyayı anlama serüvenimizdeki katkısı çok daha fazladır.

Neden derseniz?

Birinci neden, herhangi bir üçgenin iki dik üçgene bölünebilmesidir. Bunun için bir köşeden bir kenara bir dik indirmek yeterli olur. İkincisi, bir dik üçgenle birçok şeyin hesaplanabilmesidir.

MÖ 550 civarında, Mısır firavunu Amasis, kendisine daha yükseğini yaptırabilmek için büyük Keops piramidinin yük­sekliğini ölçmek istedi. Ama içi dolu, yüzeyleri eğimli bir nes­ne olan piramidin boyu nasıl ölçülür?

Ona Yunan adası Milet’te dâhi olduğu söylenen bir mate­matikçinin yaşadığından söz ettiler. SonundaThales gemiye bindi, Mısır’a vardı ve Giza yaylasına gitti. Güneşin batmasını bekledi ve açıkladı: “Za­man geldiğinde geri gelip Keops Piramidinin yüksekliğini vereceğim.” Ardından Mısır’ın ileri gelenlerini büyük bir şaşkınlık içinde bırakarak Yunanistan’a geri gitti.

Peki ama ne zaman gelecekti?

Gerçekten de Thales, Ekim ayında yine Mısır’a geldi. Yine güneş batmadan Giza’ya çıktı. Ardından, kendi boyunu ölç­tükten sonra, kumun üzerine bu uzunluğu işaretledi ve bekle­di. Güneş büyük piramidin tabanlarından birine dik bir düz­lemde batıyordu. Piramitlerin dev gölgesi yere düşüyordu. En küçük gölge, Thales’inki de yere düşüyordu. O anda Mısırlılara şunu söyledi: “Benim yere düşen gölgem benim boyuma, yani işaretlediğim yere geldiğinde, yerde piramidin gölgesine karşı gelen bir işaret koyun. Yüksekliğini ölçmüş olacaksınız.”

Thales benzer ikizkenar dik üçgenlerin ne olduğunu dün­yaya böyle gösterdi. Biçimleri, açıları aynıydı, boyutlarının oranı sabitti ama büyüklükleri farklıydı.

Thales Keops piramidinin yüksekliğini ölçmek için Güneş ışınlarının iki ikizkenar dik üçgen oluşturmasını sağladı.

Aslında Thales’in, gölgesinin kendi boyuna ulaşmasını beklemesine gerek yoktu, daha sonra anlayacağı ve kanıtla­yacağı gibi, bu ölçümü her an yapabilirdi. Ama ne önemi var…

Bir süre sonra, Pythagoras, matematikte ikinci bir temel teoremi ispatladı: “Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, eğer ya­nılmıyorsam, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.”

Bu teorem bir matematik anıtıdır, oysa kanıtı, geometrik çizimler kullanarak çok kolay yapılabilir.

Üçgenlerin özelliklerinin oluşturduğu tüm bu donanım astronomide büyük önem taşıyacaktı devamında. Ancak elbette bunun için işin içine “üçgenlerin ölçümü” anlamına giren trigonometrinin karışması gerekliydi.

Kısacası trigonometri o açıyı ölçmenin kolay ancak devasa uzaklıkları ölçmenin zor olduğu yıllarda gökbilimsel ihtiyaçlardan ortaya çıkmıştır.

Bir dik üçgende iki öğeyi (bir açı ve bir kenar) bilmek her şeyi hesaplamak için yeterlidir. Bu iki sözcük/kavram sayesinde olanaklıdır: sinüs ve kosinüs.

Sinüsle başlayalım. Sabit eğimli bir yol boyunca çıktığınızı düşünün. Bu yol boyunca L uzaklığını (mesela 1.000 metre) aştığınız­da, h (mesela 100 metre) yüksekliğine çıkmış olun.

İşte, eğim açısının “sinüs”ü h/L oranından başka bir şey değildir. Örneğimizden yola çıkarsak 100/1.000 = 0,1’dir.

Bir trigonometri cetvelinde (bugün bu cetvele ihtiyacınız yok cep telefonları yeterli) eğer sinüs değeri 0,1 ise, bu durumda yolun eğiminin 6° olduğunu görebilirsiniz.

Yol yokuş yukarı çıkmıyorsa, eğim sıfıra eşittir ve doğal olarak 1.000 metrenin sonunda başlangıçta olduğunuz­dan daha yüksekte olmazsınız. Eğim 30° ise, sinüsün değeri 0,5’tir: 1.000 metrenin sonunda 500 metre tırmanmış olursu­nuz.

Eğer ne kadar tırmandığınızı ölçmek yerine, yatay olarak ne kadar (x) ilerlediğinizi ölçmek istiyorsanız, eldeki açının kosinüsünden hareket edebilirsiniz, yani x/L.

Bugün okullarda trigonometri adı altında öğrendiğimiz bu üçgen özellikleri sayesinde gökbilimciler inanılmayacak kadar çok şeyi ölçtüler. Üstelik ilk trigonometri çalışmaları gökbilimin (devamında navigasyonun) sorularına yanıt ararken derslerde öğrendiğimizden çok daha karışık hesaplama içermekteydi. Çünkü çalışılan alan düzlem değil küreydi…

Yine mi trigonometri demeden önce bu ön bilgiyi akılda tutmak çalışma isteğimizi arttırabilir.

Kaynak: Herkese Biraz Bilim – Claude Allegre, syf: 95-102

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Avatar
Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.