İKİ DAKİKADA MATEMATİKMATEMATİK

Sıfır Sayısı İle İşlem Nasıl Yapılır?

Hiçbir şey, yani sıfır sayısı yaklaşık 1.800 yıl önce Hindistan’da keşfedildi. Daha önce Babilliler, Yunanlar, Mayalar ve Çinliler diğer rakamların ait oldukları konumda durmasını sağlayacak yer belirtici bir simgenin gerekliliğinin farkına varmışlardı gerçi. ama sıfırın bundan çok daha büyük bir anlamı olduğunu Brahmagupta adında Hintli bir matematikçi MS 628 yılında, 30 yaşındayken ortaya koydu.

“Sıfır, bir sayının kendisinden çıkartılmasının sonucudur.”

Brahmagupta hiçbir şeyin adını koydu. “Sıfır” dedi ve sıfırın bir sayı olduğunu iddia etti. Bunu kanıtlamak için sıfır ile neler yapılabileceğini gösteren bir dizi matematik kuralı yazdı:

“Bir sayıya sıfır eklendiğinde veya çıkartıldığında sayı aynı kalır. Sıfırla çarpılan sayı sıfır olur.”

Ancak Brahmagupta sıfırlı bölme işlemlerinde işin içinden çıkamadı. Bir sayıyı sıfıra bölmenin ne anlama geldiğini bilmiyordu. Sıfırı başka bir sayıya bölersek ne olur, ondan da tam emin değildi.

Sıfırın sıfıra bölünce sonucun sıfır olacağı konusunda ise tamamen yanılmıştı çünkü sıfırın sıfıra bölümünün sıfır olduğunu kabul etmişti. (inanmıyorsanız elektronik hesap makinenizle bu işlemleri deneyip sonuçları görün).

Sıfır Sayısı İle Bölme Sorunu

Diğer seçkin matematikçiler onun koyduğu kuralları yüzyıllar boyunca izledi. Birkaç yüzyıl öncesine kadar ortada ciddi bir sorun olduğunu kimse fark etmedi. Uzun zaman sonra sıfırın diğer sayıların uyduğu kurallara her zaman uymadığı anlaşıldı.

İlk soruyu ele alalım, örneğin: 7/0=0 . Bunun anlamı ne olabilir? 7/2 = 3,5. Başka bir ifadeyle 7’nin yarısı 3,5’tur. 7/1 = 7 yani yedi sayısında yedi tane bir var. 7/0.5 = 14 çünkü yedinin içinde yedi tane bir var ve her birin içinde ikişer yarım var.

Demek ki ne kadar küçük bir sayıya bölersek, sonuç o kadar büyüyor. Bu mantığa göre 7/0 sonsuz olur; çünkü 7’yi her biri sıfır büyüklüğünde sonsuz parçaya bölebiliriz.

Bu iddia Brahmagupta’dan 486 yıl sonra doğan bir başka Hintli matematikçi Bhaskara‘ya aitti. Ancak elbette bu fikri, bir çok harika başka fikirleri olmasına rağmen, yanlıştı.

Çünkü bunu doğru kabul edersek, daha da karışık bir kavram olan sonsuzluğu açıklamak durumunda kalırız. Sonsuz­lukla başa çıkma çalışmalarımız ise bu aşamada sonuç vermeyecektir, çünkü sonsuzluk aritmetiğin genel kurallarına uymaz ve bu bakımdan bir sayı olarak kabul edilemez.

Basitçe söyleyecek olursak, sıfıra bölme işlemi hiçbir anlam ifade etmediğinden bu işleme izin verme­yiz. Karışıklığa yol açmamak içinde bu tip bölme işlemlerinin sonucunu tanımsız olduğunu söyleriz.

Sıfıra bölümün tanımsız olması sezgilerimize o kadar terstir ki, korkutucu biçimde, günümüzde basılan bazı matematik kitapları bile sonucun sonsuz olduğunu yazar.

Ancak siz artık doğrusunu biliyorsunuz – yanlış yazıldığını gördüğünüzde insanlara doğrusunu söylemeyi unutmayın!

Sıfırın Sıfıra Bölümü

Sıfırın sıfıra bölümü kaçtır? Bu soruyu matematikçiler yüzyıllarca yanlış cevapladılar. Biraz önce bir sayının sıfıra bölümünün tanımsız olduğunu gördük; fakat sıfır da bir sayıdır. O halde sıfırın sıfıra bölümünün de tanımsız olması gerekmez mi?

Tam olarak öyle değil.

Sıfırın sıfıra bölümünün kaç olduğunu bulmak için büyük sayıları kendilerine böldüğümüzü ve bu sayıları yavaş yavaş küçülttüğümüzü düşünelim.

Örneğin; 128’i 128’e bölerek başlayalım; ardından 64’ü 64’e, sonra 32’yi 32’ye bölelim ve böyle devam edelim. Cevap 1 gibi görünüyor. Dizimizdeki sayılar gittikçe ufalarak sıfır bölüm sıfıra doğru yaklaşıyor.

Sayıları hep kendilerine böldüğümüze göre sayılar sıfıra doğru yaklaşırken cevabın da bire yaklaşması gerekir (matematikte kullanılan ifadeyle bire “yakınsaması” gerekir).

Fakat şimdi dizideki sayılarda ufak bir değişiklik yaptığımızı düşünelim. Bölünen sayı bölen sayının yedi katı olsun. Sonra tekrar payı ve paydayı küçültmeye başlayalım. Ta ki yine sıfır bölü sıfıra varana kadar. Şimdi bölünen sayı bölenin 7 katı olduğuna göre dizinin sonucu 7’ye yakınsıyor!

Bu mantığı kullanarak, sıfır bölü sıfırı istediğimiz her sayıya eşitleyebiliriz! Bu yüzden cevap sonucun tanımsız (veya anlamsız) olduğu değil, sonucun belirsiz olduğudur, yani belli tek bir cevabı yoktur.

Hiçbir şeyi hiçbir şeye bölerek her şeyi elde edebiliriz. Bu kimin aklına gelirdi?

Brahmagupta’nın kitabını yazmasından bin yıl sonra Guillaume De l’Hôpital adında Fransız bir matematikçi, küçülerek sıfır bölü sıfıra yaklaşan diziler fikrini buldu ve onun onuruna kurala l’Hôpital Kuralı adı verildi. Böylece matematikçiler bir sorunla daha baş etmenin çözümünü bulmuş oldular.

Böylece  0.∞, 00,∞0  gibi başka belirsizlikler ile de başa çıkabilir hale geldiler.

Konu ile ilgili aşağıdaki videoya da göz atmanızı öneririz…

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı