MATEMATİK HER YERDE

Seçim Kuramı: Adaletli Bir Seçim Yoktur

Gelin bu yazımızda seçimleri matematiksel bir bakış açısıyla ele alalım…

Ülkemizde ve bir çok ülkede seçim sistemi genellikle en çok oy alan adayın seçilmesi ile sonuçlanır. Peki, uygulanan bu seçim sistemi gerçekten adaletli midir dersiniz?

Biz oyumuzu veririz, en çok oy alan da seçimi kazanır, elbette adaletli diye düşünebilirsiniz. Eğer seçimde iki aday varsa evet haklısınız. Ancak 3 veya daha fazla aday var ise, en çok oyu alanın seçimi kazanması yeteri kadar adil olmayabilir…

Konuyu daha iyi açıklayabilmek adına bir örnek verelim. 100 kişinin katıldığı bir seçimde Ali 40, Ahmet 35, Ayşe 25 oy aldı diyelim. Bu durumda Ali seçimi kazanmış gözüküyor. Ancak öte tarafta da unutmayalım ki 100 kişiden 60 kişi de Ali’ye oy vermedi.

Kısacası üç veya daha fazla adayın bulunduğu hiçbir seçimde adalet yoktur. Bu yorum bize değil matematiksel iktisatçı Kenneth Arrow’a ve onun 1952 yılında ispatladığı ünlü bir teoreme ait.

Seçim kuramı olarak bilinen bu kuram, daha çok matematikçiler ve matematiksel iktisatçılar tarafından yürütülen ve hala hızla gelişmekte olan bir matematik teorisidir.

Adaletli Olan Nedir?

Bir seçimin adil olmasından bahsediyorsak elbette ilk olarak adaletin ne olduğunu tanımlamamız gerekir. Konu hakkında aşağıdaki kriterlerde konu üzerinde anlaşmış gibi gözüküyor.

Adillik kriterleri

• Çoğunluk Kriteri:

İlk kriterimiz “seçimin tipi ne olursa olsun adil bir seçimde oy fazlasını alan aday birinci olur”dur.

• Condorset Kriteri:

Matematikçi Marquis de Condorset’in soyadıyla anılan bu şarta göre, “bir aday diğer adaylarla ayrı ayrı ikili mücadelelerin hepsinde oy çoğunluğunu sağlıyorsa o aday kazanmalıdır. Bu çoğu seçimde sorgulanmayan bir nokta.

Şimdi bunu daha iyi anlamanız için minik bir seçim düşünelim, mesela sınıf başkanı seçimi. 4 adayımız olsun yine adlarına da A,B, C, D diyelim

20 öğrencini oy kullandığı bu seçimde A adayımız 8, B adayımız 0, C adayımız 9 ve D adayımız 3 oy almış olsun. Şu an seçimi kazanan C gibi gözüküyor, ama diyelim ki bu noktada öğretmen işin içine karıştı ve oy verenlerden kimi kime karşı tercih ettiklerini söylemeleri istedi.

Sonuçlar analiz ettiğinde ise şu sonuçla karşılaştı.

A’yı C’ye tercih edenler 11 kişi; A’yı B’ye tercih edenler yine 11 kişi ve A’yı D’ye tercih edenler 17 kişi.

Görünüşe bakılırsa aday sayısı iki olsaydı A adayımız açık ara birinci çıkacaktı. Ama olmadı, işte bu yüzden bu seçim Condorset Kriterini ihlal etmiştir ve adil değildir.

Seçim kuramında önemli çalışmalar yapmış matematikçi Donald Saari’ye göre, kimse bir seçimde sonucu sorgulamaya kalkmamalı yoksa işin içinden çıkamaz.

• Sonucun (diğer adaylardan) bağımsızlığı kriteri

Seçim yapıldı ve birinci olmayan herhangi bir aday sonuç ilan edilmeden çekildiğini duyurdu. Sizce bu durum birinciyi değiştirir mi? (seçim tekrarlanmayacak, sadece çekilen aday aradan silinecek).

Bunu daha iyi anlayabilmek için bir güzellik yarışmasına gidelim, bu güzellik yarışması yukarıdaki kriterleri sağlayan adil düzenlenmiş bir yarışma olsun üstelik.

3 güzel; Özge, Gamze ve Şule, 53kişilik jüri tarafından oylansın ve sonuçlar ilan edilsin.

-27 üye Gamze’yi birinci, Özge’yi ikinci, Şule’yi üçüncü

-24 üye Şule’yi birinci, Özge’yi ikinci, Gamze’yi üçüncü

– 2 üye Özge’yi birinci, Şule’yi ikinci, Gamze’yi üçüncü seçsin.

Birinciler 3, ikinciler 2, üçüncüler de 1 puan alsın, son puanlar şu şekilde olacaktır.

Gamze: 27×3 + 24×1+2×1= 107

Özge: 2×3 + 27 x 2 + 24 x 2= 108

Şule: 24 x3 + 27 x 1 + 2×2= 103

Özge seçimi kazanacak gibi gözüküyor ancak son dakika da farz edelim ki yarışmayı kaybedeceğini anlayan Şule yarışmadan çekilmeye karar verdi. Şimdi puanları bir kere daha kontrol edelim. İki adayımız olduğu için birinciye 2, ikinciye de 1 puan vereceğiz.

27 üye Gamze’yi birinci, Özge’yi ikinci, Şule’yi üçüncü 

24 üye Şule’yi birinci, Özge’yi ikinci, Gamze’yi üçüncü

 2 üye Özge’yi birinci, Şule’yi ikinci, Gamze’yi üçüncü seçmişti.

Özge: 2×2 + 24 x 2 + 27 x1= 79 puan

Gamze: 27 X2 + 24×1 + 2×1= 80 puan alır.

Bu durumda yarışmayı Gamze kazanmalıdır.

• Monotonluk kriteri

Bir seçim yapıldı ve sonuçlar ilan edildi, seçim tekrarlandığında da seçimi kazanan adayın aldığı oylar artacak biçimde olmalıdır.

Gelin bir örneğe daha bakalım…

Yönetim Kurulu seçimi için üç aday öğrencimiz olsun: Seyhan, Tuğrul ve Emrah. Seçim 29 kişilik kurul üyeleri tarafından iki turlu açık bir seçimle oylansın. İlk tur sonunda, Emrah 11, Tuğrul 8 ve Seyhan 10 oy alsın. Bu durumda Emrah ve Seyhan ilk turdan çıkanlar oldu. İkinci tur sonunda: Emrah 11’de kalsın ve Tuğrul’un da oylarını alan Seyhan 18 oyla seçimi kazansın.

Şimdi bu nokta da farz edelim ki Tuğrul seçime itiraz etsin ve seçim tekrarlansın. İlk turun sonuçlarının etkisiyle olsa seçimler değişiklik göstersin. Emrah 7 (4 oyunu Seyhan’a kaptırdı), Tuğrul yine 8 ve Seyhan 14 oy alsın.

Demek ki ikinci tur Seyhan ve Tuğrul arasında yapılacak. Sonuçlar şöyle: Seyhan 14, (Emrah’ın oylarını da alır) Tuğrul 15. Şimdi de başkan Tuğrul seçildi. İşte bu nedenle iki turlu seçimler monotonluk kriterine aykırı düşebilir.

***

En başta söylemiştik seçimlerin adil olması zordur diye. O zaman yapacağımız şey hangi seçimin daha adil olacağını bulmaya çalışmak. Ancak bu elbette seçmen sayısına, aday sayısına göre çok da kolay olmayabilir.

Belki de Donald Saari’nin de dediği gibi en iyisi sonuçların adilliğini sorgulamamak ve matematikçilerin üreteceği yeni sonuçları beklemek…

Okumaya devam edelim: Seçim Paradoksu: Bolluk İçinde, Bol Mutsuzluk

Referans: Nilüfer Karada, Matematikte Seçim Kuramı, Bilim Teknik Mayıs 2004

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu