ARİTMETİK

Modüler Aritmetik: Sayılar İle Oynamanın Farklı Bir Yolu

Günlük yaşantımızın vazgeçilmez bir parçası olan modüler aritmetik ile tanışalım. Ancak modüler aritmetik hakkında hemen kurallara, tanımlara girmeden gelin işe daha kolaydan başlayalım.

Herkes, tamsayılar kümesinin aşağıdaki iki sınıfa ayrılabileceğini bilir: çift ​​sayılar (…, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …); ve tek sayılar (…, –5, –3, –1, 1, 3, 5, …).

Bu iki sınıftan hangisinden geldiklerine bağlı olarak sayıların aritmetiği hakkında yapabileceğimiz bazı genellemeler var. Örneğin, şöyle kurallar koyabiliriz:

  • Çift x Çift = Çift
  • Tek x Tek = Tek
  • Çift x Tek = Çift

Modüler aritmetik, bu sonuçları oldukça kesin bir şekilde ifade etmemize izin verir ve aynı zamanda benzer ancak biraz daha karmaşık ifadeler için uygun bir dil sağlar. Modüler aritmetik belirli bir sayıya bölme işlemi yapıldığında kalanlar ile ilgilenir.

Örneğin modüler aritmetik sayesinde “tek / çift” kurallarımız şu hale gelir:

  • Çift x Çift = 0 x 0 = 0 [çift]
  • Tek x Tek = 1 x 1 = 1 [tek]
  • Çift x Tek = 0 x 1 = 0 [çift]

Modüler aritmetik, bu sonuçları oldukça kesin bir şekilde ifade etmemize izin verir ve aynı zamanda benzer ancak biraz daha karmaşık ifadeler için uygun bir dil sağlar.

Yukarıdaki örnekte, modülümüz 2 sayısı idi. Modül, tam sayıları böldüğümüz sınıfların sayısı olarak düşünülebilir. Aynı zamanda, belirli bir sınıftaki herhangi iki “ardışık” sayı arasındaki farktır.

Şimdi iki sınıfımızın her birini tek bir sembolle temsil ediyoruz. “0” sembolünün “tüm çift sayıların sınıfı” ve “1” sembolünün “tüm tek sayıların sınıfı” anlamına gelmesine izin verelim. Bu durumda “İki çift sayının toplamı çift sayıdır” ifadesi şu şekilde ifade edilebilir: 0 + 0 ≡ 0 (mod 2)

Bu ifade gayet doğal gözükse de “iki tek sayının toplamı çifttir” ifadesinin yazımı daha tuhaf görünür.

1 + 1 ≡ 0 (mod 2). Burada “≡” ve “mod 2” sembolleri aniden önem kazanır.

Modüler Aritmetik Ne İşe Yarar?

12 × 433 + 65 × 788 = ? işleminin sonucunun tek mi çift mi çıktığını bilmek istediğimizi düşünelim. Bu sayıları indirgeyerek (yani her bir tamsayıyı sınıf temsili 0 veya 1 ile değiştirerek) sonuca kolayca ulaşabiliriz.

Yukarıdaki örnek, 0 × 1 + 1 × 0 ≡ 0 (mod 2) olur yani sonucumuz çift sayıdır. İndirgeme tekniği denklem çözmede de oldukça kullanışlıdır. 3a – 3 = 12 denklemini hangi tam sayıların çözebileceğini bilmek istediğimizi varsayalım.

Elbette, a’yı çözebiliriz, ancak a’nın tam olarak ne olduğunu bilmemiz gerekmiyorsa ve yalnızca çift mi yoksa tek mi olduğunu bilmemiz gerekirse, aşağıdakileri yapabilirdik.

1a + 1 ≡ 0 (mod 2) haline dönüşen denklem a ≡ –1 ≡ 1 (mod 2), yani 3a – 3 = 12 denklemini sağlayan herhangi bir tam sayı tek olmalıdır.

Saat Aritmetiği

Modüler matematikle ilgili en güzel şey, onu zaten zamanı tutmak için kullanıyor olmamızdır. Saat bir sayma makinesinden başka nedir ki? Dakikaları, saniyeleri sürekli sayar durur. Diğer yandan saatin sayı saymasında farklı olan bir şeyler vardır. Saydığı sayılar hiçbir zaman büyümez ancak buna alışık olduğumuzdan bu bize hiç de garip gelmez.

Kaç tane 12 geçtiği ile ilgilenmiyor gibidir, önemli olan 12’den geriye kalandır bu sayma işleminde…

Örneğin saat 8 iken 6 saat sonra saatin kaç olacağını bilmek istediğimizi düşünelim. Yapacağımız işlem normalde elbette toplamadır ancak bu toplama göze biraz garip görünmektedir. 8+6=2

Normal koşullarda bu işleme bir saat hesabı gözüyle bakmazsak gerçekten sonuç anlamsızdır. Ancak saat matematiğinde 2-4=10, 6+38=8 gibi onlarca anlamsız yazılış biçimi daha vardır.

Yaptığımız sadece 12 li kümeleri sayarak ya da kısaca 12’ye bölerek kalanı yazmaktır. Bu elbette 12 sayısına özel bir marifet değildir. Sonuçta 23+42=5 de saniye açısından anlamlıdır.

Yukarıdaki saat hesaplamalarında sizin de fark ettiğiniz gibi aslında örtük bir modüler aritmetik yatmaktadır.

8+6=14 ve 14≡2 (mod 12); 23+42= 65; 65≡5 ( mod 60)

Bu ifade 14, 12’lik saat diliminde 2 ile aynıdır demenin bir başka yoludur ya da daha matematiksel bir ifade ile 14, 12’ye bölündüğünde kalan 2.

İşi Biraz Daha İlerletelim

Eğer bu gösteriş biçimine alışırsak o zaman 49≡1 (mod 8) ifadesi de bize 49 sayısının 8 ile bölündüğünde kalanının 1 olduğunu söyler.

İstersek negatif sayıları da işin içine katabiliriz. 49≡1 (mod 8) olarak yazabileceğimizi artık anladık. Yani 49 sayısı, 8’in katlarından 1 birim fazla, ama öte yandan aynı biçimde de 8’in katlarından 7 birim eksik. İşte bu nedenle  49≡ -7 (mod 8) biçiminde gösterebiliriz bu düşünce biçimimizi.

Şimdi istersek bu ifadenin her iki tarafına da sayı ekleyebilir, çıkartabilir, belli bir kuvvete yükseltilebilir ve işin güzel tarafı bu eşitlik hiç bozulmaz.

Örneğin 49≡1 (mod 8) ele alalım, iki tarafa da 2 ekleyelim elde edilen sonuç 51≡3 (mod 8) olacaktır. İşlemi kontrol ederseniz doğru olduğunu göreceksiniz.

İşi biraz daha öteye taşıyıp her iki tarafın karesini alırsanız 492≡12 (mod 8) işleminin sonucuda doğrusudur çünkü gerçekten 49 sayısının karesi olan 2401 sayısının 8 ile bölümünden kalan 1 dir. Daha büyük bir üst kullansanız bile sonuç hiç değişmeyecektir.

49100≡1 (mod 8) Bu yaptığımız hesap ile evrendeki atomların toplam sayısından çok daha büyük bir sayının 8 ile bölünmesinden geriye bir kaldığını bize söylemektedir.

Bu işlemi bilgisayar ile bile bu kadar hızlı hesaplamak mümkün değildir. Aynı zamanda 49100-1 işleminin 8 ile tam olarak bölünebildiğini de bulmuş olduk elbette…

Bu eşitliğin sağ tarafı 1 veya 0 olduğu için kolay ama bu biraz sınırlayıcı değil mi diye düşünebilirsiniz. Şaşırabilirsiniz ama biraz aklımızı kullanarak sağ tarafı her durumda 1 veya 0 yapmak mümkün aslında.

Örneğin bir arkadaşınız size 1 sayısının sonuna 999.999 tane sıfır yazıp sonuna da 9 ekleyip bu sayının 13 ile bölününce kalanının kaç olduğunu sorduğunu düşünelim. Şimdi bu devasa sayımızı daha derli toplu yazalım: 101.000.000+9

Soru 13’e bölündüğünde kalanı sorduğuna göre de (mod 13) saati ile çalışmamız gerekiyor.

Tabanımız olan 10 sayısı için 10≡-3 (mod 13) diyebiliriz. (1)

Her iki tarafın karesini alırsak 102≡9 (mod 13) elde ederiz.(2)

Unutmayın, amacımız sağ tarafta 1 veya 0 elde etmek. O zaman (1) ve (2) de elde ettiğimiz sonuçları gelin birbirleri ile çarpalım. O zaman yeni sayımız:

103≡-27 (mod 13) olacaktır. -27 sayısı (-13)+(-13)+(-1) olduğundan

103≡-1 (mod 13) ifadesini de kullanabiliriz artık. (Unutmayın buradaki eksiler sadece sembolik saatte ters yönde hareket etmek gibi…

Sonunda 1 sayısını elde ettik ancak bir sorun var bu 1 şu an negatif bir sayı. Aslında bu çok da dert değil. Biliyoruz ki (-1) sayısının tüm tek kuvvetleri (-1), tüm çift kuvvetleri ise 1’dir. Şimdi bu son eşitliğin her iki tarafını da 333.333’üncü kuvvetine yükseltelim.

(103)333.333≡-1 (mod 13) yani 10999.999≡-1 (mod 13) elde ettik. Aradığımız sayıya oldukça yaklaştık bir tane 10 ile çarpmamız yeterli. O zaman (1) numaralı eşitlikte bulduğumuz ifade ile bu ifadeyi çarpalım.

101.000.000≡3 (mod 13) buluruz ve hedefe varmak için her iki tarafa da 9 eklersek

101.000.000≡12 (mod 13) elde ederiz…

Umarız bu örnek artık saat sayılarının ya da okullarda öğretilen adıyla modüler aritmetiğin ne işe yaradığı konusunda bir fikir vermiştir.

Bu yöntem sayıların özelliklerini incelemek için matematikçilerin eline çok güçlü bir silah vermiş, yeni bir yaklaşıma yol açmıştır. Gauss bu yaklaşım biçimini kullanan ilk matematikçidir.

Tam da ona yakışır bir düşünce biçimi…

Okuma Önerisi: Aritmetik mi Geometrik mi? Kararsızların Ortalaması Nedir?

Kaynaklar: https://web.archive.org/web/20151127195438/http://thales.math.uqam.ca/~rowland/investigations/modulararithmetic.html

https://betterexplained.com/articles/fun-with-modular-arithmetic/

Malcolm E. Lines – Bir Sayı Tut, sayfa 85 – 99

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu