Polinomlar: Zorluğun Ayrışması

İkinci – üçüncü dereceden denklemler. Çoğumuzun lise yıllarında karşılaştığı ve çözümünü formüller yardımıyla yapmayı öğrendiği matematiğin olmazsa olmazları. Ancak bugün kolaylıkla yapabildiğimiz çözümlerinin arkasında mücadele dolu bir hikaye var.

Önce biraz bilgi verelim. İkinci dereceden bir polinom diğer adıyla kuadratik bir polinom düşünelim. Bildiğiniz gibi genel yapımız, ax2+bx+c şeklindedir. Burada a,b ve c sayıları keyfi olarak alınabilen sayılardır. Hadi biz de a=1 b=-3 ve c=2 alalım. Karşımıza çıkacak polinom aynen şu şekildedir: x2-3x+2

Peki bu denklemin kökleri nelerdir? Hemen “kök” ne demek? diyeceksiniz. Yani yukarıdaki polinomu sıfıra eşitlediğinizde x yerine koyacağınız sayıdan bahsediyoruz. Matematikçiler bunun için şöyle güzel bir formül vermişler.

a=1 b=-3 ve c=2 olduğunu biliyoruz. Hemen yerine koyalım. Bu durumda bulacağımız cevaplar 1 ve 2 olacaktır. İşte bu ifadeler bizim köklerimizdir. Ancak polinomumuz ya üçüncü dereceden olursa işler karışır mı?

Evet 21.yy  üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulabiliyorsunuz. Ama 16. yy döndüğünüzde bu biçimde bir denklemin köklerini bulmanız çok da kolay değildi. İtalyan matematikçi Scipione del Ferro x3 +px=q biçimindeki denklemler için çözüm biçimleri geliştirdi. Ancak bulduğu çözüm pek de kolay değildi.

\[ x = \left( \frac{q}{2}+\sqrt {\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\right) ^{1/3} + \left(\frac{q}{2}-\sqrt {\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\right) ^{1/3}. \]

Bir örnek vermek gerekirse,x3+6x=20 şeklindeki bir denklemin çözümü,

\[ x=\left( 10+\sqrt {108}\right) ^{1/3} + \left(10-\sqrt {108}\right) ^{1/3} \] olarak açılır ve buradan x=2 bulunurdu. Aslında sezgisel bir yaklaşımla bunca zahmete gerek kalmadan köklerden bir tanesinin 2 olduğunu görebiliyoruz ancak ya diğer kökler. Köklerden birini bulduktan sonra indirgeme metodu ile diğer kökleri de bulmak mümkün olabilirdi. Her zaman değil elbette. 16. yüzyılda yaşadığınızı ve henüz imaginer sayıların bulunmadığını hatırlatalım.

Giralomo Cardano (1501-1576)

Del Ferro ölüm döşeğinde iken öğrencisi Antonio Fiore yanına çağırdı ve bu formülü tüm detayları ile anlattı. Ama bir sorun vardı. Tartaglia da aynı çözüm metodunu eş zamanlarda bulmuştu aslında.

Biraz Tartaglia’dan bahsedelim ya da gerçek adıyla Niccoló Fontana’dan. İtalyan asıllı  matematikçi 1512 yılında henüz çocukken yaşadığı şehrin yağmalanması sırasında, bir askerin sorduğu soruyu doğru yanıtlamaması sonucu aldığı kılıç darbesiyle yaralanmış ve dili tutulmuştu. İlerleyen yıllarda kekeleyerek konuştuğu için özgün adı yerine “Kekeme” (Tartaglia) lakabını benimsemişti.

Tartaglia  matematikteki ününü, 1535 yılında kübik denklemlerin bir genel çözümünü bulmasıyla kazanmıştı. Ancak bu çözümü yayımlamamış ve bir ara yakın dostu bildiği matematikçi Giralomo Cardano’ya yayınlamaması sözünü alarak açıklamıştır.

Çalkantılı bir yaşam süren, kumarı da çok seven Cardano 1545’te ünlü eseri Ars Magna (Büyük Sanat) yayımladı. Bu eser, içinde yer alan ve “Cardano formülü” diye anılan kübik denklem çözümleri ve dördüncü dereceye kadar cebirsel denklem kuramı nedeniyle Rönesans’ın en önemli cebir çalışması olarak kabul edilir.

Bunun neticesinde elbette Cardano ve Tartaglia  arasındaki dostluk düşmanlığa dönüşmüştür. Bunun üzerine Cardano, genel olmasa da 3. derece denklem çözümünün gerçekte Ömer Hayyam tarafından başarıldığını öne sürerek Tartaglia’ya ihanet etmediğini ileri sürmüştür.

Niccoló Tartaglia (1499-1557).

Ancak üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin ilk doğru çözümleri, 1515’te Ferro ve 1545’te Ludovico Ferrari tarafından gerçekleştirilmiş, beşinci ve daha yüksek dereceli denklemlerin çözümlerinin olanaksızlığı ise geç dönemde Niels Henrik Abel tarafından gösterilmiştir.

Gördüğünüz gibi işler oldukça karışık denklemler cephesinde. Cardano başyapıtı sayılacak eseri ile dünyaya mükemmel bir hizmet bıraktı. Tartaglia bu olaylardan sonra Milano’yu terketti.  Matematik tarihine de üzücü bir not olarak yapışıp kaldı.

Referans

(1)https://plus.maths.org/content/alls-fair-love-and-maths

(2)Zeki Tez – Matematiğin Kültürel Tarihi

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Bir Hukuk Yaratamak – Giuseppe Peano

1) 1 bir doğal sayıdır 2) Her doğal sayının ardışığı da doğal sayıdır. 3) 1 …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');