Çoğu matematik öğretmeni, öğrencilere sürekli olarak matematiğin mükemmel olduğunu söyler. O zaman, şimdi matematik camiası tarafından tanımlanan şekliyle sayılarda mükemmelliği tanıyalım. Konumuz mükemmel sayılar. Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda çarpanı vardır. Ancak bazı sayıların çarpan sayısı ise “tam olması gerektiği gibidir”. İşte bu durumda o sayıyı mükemmelleştirir. Yani, eğer bir sayı öz çarpanlarının toplamına eşitse, matematikçiler bu sayıyı “mükemmel sayı” olarak adlandırır.
Öz çarpan tanımını daha önce duymamış olabilirsiniz. Açıklayalım. Bir sayının çarpanı, o sayının aynı zamanda bir bölenidir. Sayının kendisi dışındaki bütün çarpanları birer öz çarpandır. Örneğin: 12 sayısının çarpanları ( yani bölenleri) 1,2,3,4,6,12 dir. Bu sayının öz çarpanları ise 1,2,3,4,6 dır.
Tarih Boyunca Mükemmel Sayılar Matematikçilerin İlgisini Çekmiştir
Pisagor, matematik dünyasında önemli bir iz bıraktı. Buluşların çoğu kendisi tarafından bizzat kurulan ve “Pisagor Kardeşliği” adı verilen 600 kişilik bir birliğin ortak çabalarıyla keşfedildi. Sayıların sonsuzluğu içinde kardeşlik, özel bir öneme sahip olanları özellikle aramıştı. Bu özel sayılardan bazıları da “mükemmel” denilenlerdi. En küçük mükemmel sayı 6’dır; çünkü 6 = 1 + 2 + 3; yani tüm öz çarpanlarının toplamıydı. Pisagorcuların gözünde büyülü bir sayı olan 6, “evlilik, sağlık ve güzelliğin” simgesiydi. Bir sonraki mükemmel sayımız 28’dir: 1+2+4+7+14 = 28.
İlk iki mükemmel sayı olan 6 ve 28’in mükemmel sayı lügatinde önemli bir yeri vardır, çünkü her çift mükemmel sayının bu ikisinden biriyle bittiği ispatlanabilir. Sayma sayıları büyüdükçe mükemmel sayıları bulmak da gittikçe güçleşir. Üçüncü mükemmel sayı 496, dördüncü mükemmel sayı ise 8128’dir. Eski Yunanlılar zamanında sadece bu dört mükemmel sayı bilinmekteydi. Yüzyıllar boyunca bu sayılara mistik anlamlar verilmiştir. Aziz Augustine (354-430) dünyanın 6 günde yaratılışının ve ayın dünya çevresinde 28 günde dönmesinin nedenleri olarak bu sayıların mükemmelliğini göstermiştir.
Mükemmel Sayıların Bazı Özellikleri
Mükemmel sayıların yetenekleri sadece bölenleri toplamı olmasıyla sınırlı değildir. Örneğin mükemmel sayılar daima birbirini izleyen bir dizi sayma sayısının toplamına eşittir. Bunu aşağıdaki birkaç örnekle açıklayalım:
- 6=1+2+3
- 28=1+2+3+4+5+6+7
- 496=1+2+3+…+30+31
- 8128=1+2+..+126+127
Pisagor’dan 200 yıl kadar sonra Öklit bu mükemmel sayıların bir özelliğini daha keşfetti. Tüm mükemmel sayılar iki çarpana ayrılabiliyordu. Bunlardan bir tanesi ikinin kuvveti iken diğeri ikinin bir sonraki kuvveti eksi 1’di.
6 =21 x (22-1)
28 =22 x (23-1)
496 =24 x (25-1),
8128 = 26 x (27-1).
Günümüzde dahi insanları etkilemeyi başaran mükemmel sayıların hala birbirinden ilginç özellikleri keşfedilmektedir. Leonard Euler (1707-1783) tüm çift mükemmel sayıların Öklid’in teoremindeki gibi olduğunu göstermiştir. Peki ya tek ve mükemmel olan sayılar? Tek olan bir mükemmel sayının var olup olmadığını bilmiyoruz; şu ana bulunamamıştır. Günümüz bilgisayarları sayesinde rahatlıkla çok daha büyük sayılar oluşturabiliyoruz. Eğer isterseniz Öklid’in formülünü kullanarak çok daha büyük mükemmel sayılar bulabilirsiniz.
Ayrıca herhangi bir mükemmel sayının bölenlerinin tersini alır toplarsak (bu toplama sayının kendisini de dahil ediyoruz), toplamları her zaman 2’ye eşit olacaktır. Aşağıda bu durum ile ilgili bir kaç örnek görebilirsiniz.
Mükemmel Sayılar Listesi
Matematikçiler her zaman mükemmel sayılardan etkilenirler ve bu nedenle her zaman bu mükemmel sayılar kümesinin başka üyelerini ararlar. Şu ana kadar 48 tane mükemmel sayı olduğunu biliyoruz. Yukarıda mükemmel sayıların bir listesini görebilirsiniz. Sonuçta Descartes’ın da dediği gibi, mükemmel sayılar mükemmel insanlar gibi çok azdır, ancak biz yine de aramaktan vazgeçmeyelim…
Ayrıca göz atmak isterseniz:
Matematiksel
