Pisagor ve Mükemmel Sayılar

Sayılar teorisinde “mükemmel sayı” adı verilen bir tanıma sahibiz. Peki, bir sayıyı mükemmel yapan şey nedir?

Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda çarpanı ( diğer bir deyişle böleni) var­dır. Ancak bazı sayıların çarpan sayısı ise “tam olması gerektiği gibi”dir. İşte bu durumda o sayıyı mükemmelleştirir. Yani, eğer bir sayı öz çarpanlarının toplamına eşitse, matematikçiler bu sayıyı “mükemmel” olarak adlandırırlar.

Öz çarpan tanımını daha önce duymamış olabilirsiniz. Açıklayalım…

Bir sayının çarpanı, o sayının bir bölenidir. Sayının kendisi dışındaki bütün çarpanları bir öz çarpandır. Örneğin: 12 sayısının çarpanları ( bölenleri) 1,2,3,4,6,12 dir . Bu sayının öz çarpanları ise 1,2,3,4,6 dır.

Bir zamanlar bir üniversite sınavında soru olarak çıkana kadar muhtemel çoğu kimse duymamıştı mükemmel sayı kavramını. Oysa, mükemmel sayılar binlerce yıldır matematikçileri meşgul etmekteydi.

Pisagor, matematik dünyasında önemli bir iz bıraktı. Buluşların çoğu kendisi tarafından bizzat kurulan ve “Pisagor Kardeşliği” adı verilen 600 kişilik bir birliğin ortak çabalarıyla keşfedildi.

Sayıların sonsuzluğu içinde kardeşlik, özel bir öneme sahip olanları özellikle ara­mıştı. Bu özel sayılardan bazıları da “mü­kemmel” denilenlerdi.

En küçük mükemmel sayı 6’dır; çünkü 6 = 1 + 2 + 3; yani tüm öz çarpanlarının toplamıydı.

Pisagorcuların gözünde büyülü bir sayı olan 6, “evli­lik, sağlık ve güzelliğin” simgesiydi.

Bir sonra­ki mükemmel sayımız 28’dir: 1+2+4+7+14 = 28.

İlk iki mükemmel sayı olan 6 ve 28’in mükemmel sayı lügatinde önemli bir yeri vardır, çünkü her çift mükemmel sayının bu ikisinden biriyle bittiği ispatlanabilir.

Sayma sayıları büyüdükçe mükemmel sa­yıları bulmak da gittikçe güçleşir. Üçüncü mükemmel sayı 496, dördüncü mükemmel sayı ise 8128’dir.

Mükemmel sayıların yetenekleri sadece bölenleri toplamı olmasıyla sınırlı değildir. Örneğin mükemmel sayılar daima birbirini izleyen bir dizi sayma sayısının top­lamına eşittir. Bunu aşağıdaki birkaç örnek­le açıklayalım:

6 = 1+2+3

28 = 1+2+3+4+5+6+7

496 = 1+2+3+…+30+31

8128 = 1+2+3+…+126+127

Pisagor’dan 200 yıl kadar sonra Öklit bu mükemmel sayıların bir özelliğini daha keşfet­ti. Tüm mükemmel sayılar iki çarpana ayrılabiliyordu. Bunlardan bir tanesi ikinin kuvveti iken diğeri ikinin bir sonraki kuvveti eksi 1’di.

6 = 2¹ x (2²-1),

28 = 2² x (2³-1),

496=2⁴ x (2⁵-1),

8128 = 2⁶ x (2⁷-1).

Günümüzde dahi insanları etkile­meyi başaran mükemmel sayıların hala birbirinden ilginç özellikleri keşfedilmektedir.

Tek olan bir mükemmel sayının var olup olmadığını bilmiyoruz; şu ana bulunamamıştır. Günümüz bilgisayarları sayesinde rahatlıkla çok daha büyük sayılar oluşturabiliyoruz. Eğer isterseniz Öklid’in formülünü kullanarak çok daha büyük mükemmel sayılar bulabilirsiniz.

Sonuçta Descartes’ın da dediği gibi, mükemmel sayılar mükemmel insanlar gibi çok azdır, ancak biz yine de aramaktan vazgeçmeyelim…

Matematiksel