(3,4,5), (5,12,13) ve (8,15,17) gibi Pisagor Teoremi’ni sağlayan sayı üçlülerine Pisagor Üçlüsü denir.
Bir Pisagor Üçlüsü’nde en büyük sayı hipotenüstür. Hipotenüsü 100’den küçük olan bütün Sadeleşmeyen Pisagor Üçlüleri şunlardır:
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
Bu liste sadeleşebilen üçlüleri içermiyor. Çünkü, örneğin (6,8,10) gibi bir Pisagor Üçlüsü sadeleştirildiğinde (3,4,5) üçlüsü elde edilir ki o da zaten listede mevcuttur.
Öklit Formülü:
m ve n aralarında asal doğal sayılar olmak üzere;
a=m²-n²
b=2mn
c=m²+n²
ise (a, b, c) sıralı üçlüsüne bir Pisagor Üçlüsü denir.
Örneğin:
m=3 ve n=2 alırsak
a=3²–2²=5
b=2×3×2=12 ve c=3²+2²=13 olur ki bu da bize (5,12,13) üçlüsünü verir.
Pisagor Üçlüleri İle İlgili Basit Bir Kural:
Eğer bir Pisagor Üçlüsünde b ile c ardışıksa[i]
a²=b+c olur. Örneğin:
(3,4,5) üçlüsü için 3²=4+5 ve
(5,12,13) üçlüsü için de 5²=12+13 ve
(11,60,61) üçlüsü için 11²=60+61 olur.
İspat:
Şimdi Öklit Formülü’nden yararlanarak bu kuralı ispat edelim.
b ile c ardışıksa b+1=c olur. Buradan c–b=1 yazabiliriz.
b yerine 2mn ve c yerine de m²+n²yazarsak:
b+1=c ifadesi şu şekle bürünür:
m²+n²–2mn=1
Buradan:
(m–n)²=1 elde edilir. Her iki tarafın karekökünü alırsak:
m–n=1 elde ederiz. (m>n olduğunu farz ettik. Bu yüzden negatif kökü dikkate almadık.)
Şimdi:
a=m²–n² idi. Buradan:
a=(m-n)(m+n) olur. Ama m–n=1 olduğunu göstermiştik. Bu durumda:
a=1×(m+n)
a=m+n olur. Her iki tarafın karesini alırsak:
a²=(m+n)²
a²=m²+2mn+n² elde edilir. Bu ifadedeki terimleri düzenlersek:
a²=2mn+m²+n²
Yani:
a²=(2mn)+(m²+n²) Ama b=2mn ve c=m²+n² olduğunu anımsarsak:
a²=b+c elde edilir ki zaten ispatlamaya çalıştığımız da buydu.
Devam edersek:
Eğer (a,b,c) Pisagor Üçlüsünde b ile c’nin farkı 2 ise o zaman da şöyle bir kural vardır:
a²/2=b+c
Örneğin (8,15, 17) üçlüsü böyle bir üçlüdür. (Yani 17 ile 15’in farkı 2). Yani;
8²/2=15+17 Bu kuralın ispatını da alıştırma olarak size bırakıyorum.
Sinan İpek
Matematiksel
—————
[i] Ardışık sayılar içeren Pisagor Üçlülerine İkiz Pisagor Üçlüsü denir. Örneğin (3,4,5) ve (7,24,25) ikiz Pisagor Üçlüleridir.
