Muhtemel lise yıllarından aklımızda en çok kalan Pisagor teoremidir. Bu teorem a2+ b2= c2 biçiminde öğretilir. Devamında öğretmenler öğrencilere, bazı sıralı üçlüleri tanımalarını (ve ezberlemelerini) öğütlerler. Bu sıralı üçlüler grubunun bazıları Pisagor Üçlüleri olarak bilinirler. Bir Pisagor Üçlüsünde en büyük sayı hipotenüstür. Hipotenüsü 100’den küçük olan bütün Sadeleşmeyen Pisagor Üçlüleri aşağıdaki gibidir.
(3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37); (9, 40, 41) (28, 45, 53); (11, 60, 61); (16, 63, 65); (33, 56, 65); (48, 55, 73); (13, 84, 85); (36, 77, 85); (39, 80, 89); (65, 72, 97)
Bu liste sadeleşebilen üçlüleri içermiyor. Çünkü, örneğin (6,8,10) gibi bir Pisagor Üçlüsü sadeleştirildiğinde (3,4,5) üçlüsü elde edilir ki o da zaten listede mevcuttur. Peki, diğer Pisagor üçlüleri nasıl bulunurlar? Bu okul matematiğinde nadiren bahsedilen bir başlıktır.
Pisagor Üçlülerini Nasıl Oluşturabiliriz?
Bunun için bir kaç metot vardır. Öncelikle bilinen üçlüleri kullanarak yeni üçlüler yaratabilirsiniz. Bir deneme yapalım. a2+ b2= c2 ilişkisini sağlayan (a, b, c) ve ( A,B,C) tamsayılarımız olsun. Bu ikisini aşağıda gördüğünüz biçimde bir araya getirerek yeni bir Pisagor üçlüsü elde edebilirsiniz.
(aA – bB)2 + (aB + bA)2 =(cC)2
Hemen sayı deneyelim. Bunun için hepimizin bildiği (3, 4, 5) ve (5, 12, 13) üçlülerini kullanalım ve yukardaki formülde yerine yazalım. Bu durumda (3 · 5 – 4 · 12) 2 + (3 · 12 + 4 · 5) 2 = (5 · 13) 2 elde ederiz. Bu da (15 – 48) 2 + (36 + 20) 2 = 652 yani 332 + 562 = 652 anlamına gelir. Gördüğünüz gibi (33, 56, 65) Pisagor üçlüsünü yarattık. Ancak daha genel anlamda da bir kurala ihtiyaç duyabilirsiniz. Bu durumda da aşağıdaki kuralı kullanmanız gerekecektir.
Genel Olarak; m ve n aralarında asal doğal sayılar olmak üzere; a=m²-n²; b=2mn; c=m²+n² ise (a, b, c) sıralı üçlüsüne bir Pisagor Üçlüsü denir. Örneğin: m=3 ve n=2 alırsak; a=3² – 2²=5; b=2×3×2=12 ve c=3²+2²=13 olur ki bu da bize (5,12,13) üçlüsünü verir.
Pisagor Üçlüleri İle İlgili Ek Kurallar:
Eğer bir Pisagor Üçlüsünde b ile c ardışıksa[i] a²=b+c olur. Örneğin: (3, 4, 5) üçlüsü için 3²= 4+5 ve (5, 12, 13) üçlüsü için de 5²= 12+13 ve (11, 60, 61) üçlüsü için 11²= 60+61 olur. Şimdi Öklid Formülünden yararlanarak bu kuralı ispat edelim.
İspat: b ile c ardışıksa b+1=c olur. Buradan c–b=1 yazabiliriz. b yerine 2mn ve c yerine de m²+n² yazarsak b+1=c ifadesi şu şekle bürünür: m²+n² – 2mn=1. Buradan: (m-n)²=1 elde edilir. Her iki tarafın karekökünü alırsak: m-n=1 elde ederiz. (m>n olduğunu farz ettik. Bu yüzden negatif kökü dikkate almadık.) Şimdi: a=m²-n² idi. Buradan: a=(m-n)(m+n) olur. Ama m-n=1 olduğunu göstermiştik. Bu durumda: a=1×(m+n) yani a=m+n olur. Her iki tarafın karesini alırsak: a²=(m+n)² ve a²=m²+2mn+n² elde edilir. Bu ifadedeki terimleri düzenlersek: a²=2mn+m²+n² Yani: a²=(2mn)+(m²+n²) Ama b=2mn ve c=m²+n² olduğunu anımsarsak: a²=b+c elde edilir ki zaten ispatlamaya çalıştığımız da buydu.
İkinci Bir Kural
Eğer (a,b,c) Pisagor Üçlüsünde b ile c’nin farkı 2 ise o zaman da şöyle bir kural vardır: a²/2=b+c .Örneğin (8,15, 17) üçlüsü böyle bir üçlüdür. (Yani 17 ile 15’in farkı 2). Yani; 8²/2=15+17 Bu kuralın ispatını da alıştırma olarak size bırakalım.
Sinan İpek
Not: Yazarımızın Beyin Kırıcı adlı bir romanını aşağıdaki linkten satın alarak kendisine destek vermeyi düşünebilirsiniz. https://www.kitapyurdu.com/
[i] Ardışık sayılar içeren Pisagor Üçlülerine İkiz Pisagor Üçlüsü denir. Örneğin (3 ,4, 5) ve (7, 24, 25) ikiz Pisagor Üçlüleridir.
Matematiksel
