İKİ DAKİKADA MATEMATİK

Pisagor Üçlüleri Nasıl Bulunurlar?

Pisagor teoremi öğretilirken, öğretmenler öğrencilere, bazı dik üçgenlerin kenarlarını temsil eden bilinen sıralı üçlüleri tanımalarını (ve ezberlemelerini) öğütlerler. Bu sıralı üçlüler grubunun bazıları Pisagor Üçlüleri olarak bilinirler

Bir Pisagor Üçlüsü’nde en büyük sayı hipotenüstür. Hipotenüsü 100’den küçük olan bütün Sadeleşmeyen Pisagor Üçlüleri şunlardır:

(3, 4, 5)                 (5, 12, 13)            (8, 15, 17)            (7, 24, 25)

(20, 21, 29)         (12, 35, 37)         (9, 40, 41)            (28, 45, 53)

(11, 60, 61)         (16, 63, 65)         (33, 56, 65)         (48, 55, 73)

(13, 84, 85)         (36, 77, 85)         (39, 80, 89)         (65, 72, 97)

Bu liste sadeleşebilen üçlüleri içermiyor. Çünkü, örneğin (6,8,10) gibi bir Pisagor Üçlüsü sadeleştirildiğinde (3,4,5) üçlüsü elde edilir ki o da zaten listede mevcuttur.

Peki, diğer Pisagor üçlüleri nasıl bulunurlar? Bu okul matematiğinde nadiren bahsedilen bir başlıktır.

Genel Olarak; m ve n aralarında asal doğal sayılar olmak üzere;

a=m²-n²; b=2mn; c=m²+n²

ise (a, b, c) sıralı üçlüsüne bir Pisagor Üçlüsü denir.

Örneğin:

m=3 ve n=2 alırsak; a=3² – 2²=5; b=2×3×2=12 ve c=3²+2²=13 olur ki bu da bize (5,12,13)  üçlüsünü verir.

pisagor

Pisagor Üçlüleri İle İlgili Basit Bir Kural:

Eğer bir Pisagor Üçlüsünde b ile c ardışıksa[i]

a²=b+c olur. Örneğin: (3,4,5) üçlüsü için 3²=4+5 ve (5,12,13) üçlüsü için de  5²=12+13 ve (11,60,61) üçlüsü için 11²=60+61 olur.

İspat:

Şimdi Öklit Formülü’nden yararlanarak bu kuralı ispat edelim. b ile c ardışıksa b+1=c olur. Buradan c–b=1 yazabiliriz.b yerine 2mn ve c yerine de m²+n²yazarsak b+1=c ifadesi şu şekle bürünür: m²+n² – 2mn=1

Buradan: (m-n)²=1 elde edilir. Her iki tarafın karekökünü alırsak: m-n=1 elde ederiz. (m>n olduğunu farz ettik. Bu yüzden negatif kökü dikkate almadık.)

Şimdi: a=m²-n² idi. Buradan: a=(m-n)(m+n) olur. Ama m-n=1 olduğunu göstermiştik. Bu durumda: a=1×(m+n) yani a=m+n olur. Her iki tarafın karesini alırsak:

a²=(m+n)² ve a²=m²+2mn+n² elde edilir. Bu ifadedeki terimleri düzenlersek: a²=2mn+m²+n² Yani: a²=(2mn)+(m²+n²) Ama b=2mn  ve c=m²+n² olduğunu anımsarsak: a²=b+c elde edilir ki zaten ispatlamaya çalıştığımız da buydu.

Devam edersek: Eğer (a,b,c) Pisagor Üçlüsünde b ile c’nin farkı 2 ise o zaman da şöyle bir kural vardır: a²/2=b+c

Örneğin (8,15, 17) üçlüsü böyle bir üçlüdür. (Yani 17 ile 15’in farkı 2). Yani; 8²/2=15+17 Bu kuralın ispatını da alıştırma olarak size bırakıyorum.

Pisagor Üçlüleri ile ilgili bir de uzun süre kanıtsız bekleyen problem vardır.

Pisagor üçlüleri problemi

Problem, her pozitif tam sayının mavi ya da kırmızı olarak boyanmasını ancak Pisagor denklemini a² + b² = c² sağlayan a,b,c, sayılarının aynı renkte olmamasını hedefler.

2016 Mayıs ayında Marijn Heule, Oliver Kullmann ve Victor Marek tarafından verilen “Pisagor üçlüleri problemi”nin çözümü, Texas İleri Hesaplama Merkezi’ndeki Stampede bilgisayarı yardımıyla üretildi. Bu çözümün ispatı ise 200 terabit hacmindedir.

Sinan İpek

Matematiksel

[i] Ardışık sayılar içeren Pisagor Üçlülerine İkiz Pisagor Üçlüsü denir. Örneğin (3,4,5) ve (7,24,25) ikiz Pisagor Üçlüleridir.

Paylaşmak Güzeldir

SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist. Ithaki yayınları Pangea serisinin 5. üyesi "Beyin Kırıcı" adlı bir romanı var. https://www.ilknokta.com/sinan-ipek/beyin-kirici.htm

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı