Pisagor teoremi öğretilirken, öğretmenler öğrencilere, bazı dik üçgenlerin kenarlarını temsil eden bilinen sıralı üçlüleri tanımalarını (ve ezberlemelerini) öğütlerler. Bu sıralı üçlüler grubunun bazıları Pisagor Üçlüleri olarak bilinirler
Bir Pisagor Üçlüsü’nde en büyük sayı hipotenüstür. Hipotenüsü 100’den küçük olan bütün Sadeleşmeyen Pisagor Üçlüleri şunlardır:
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
Bu liste sadeleşebilen üçlüleri içermiyor. Çünkü, örneğin (6,8,10) gibi bir Pisagor Üçlüsü sadeleştirildiğinde (3,4,5) üçlüsü elde edilir ki o da zaten listede mevcuttur.
Peki, diğer Pisagor üçlüleri nasıl bulunurlar? Bu okul matematiğinde nadiren bahsedilen bir başlıktır.
Genel Olarak; m ve n aralarında asal doğal sayılar olmak üzere;
a=m²-n²; b=2mn; c=m²+n²
ise (a, b, c) sıralı üçlüsüne bir Pisagor Üçlüsü denir.
Örneğin:
m=3 ve n=2 alırsak; a=3² – 2²=5; b=2×3×2=12 ve c=3²+2²=13 olur ki bu da bize (5,12,13) üçlüsünü verir.
Pisagor Üçlüleri İle İlgili Basit Bir Kural:
Eğer bir Pisagor Üçlüsünde b ile c ardışıksa[i]
a²=b+c olur. Örneğin: (3,4,5) üçlüsü için 3²=4+5 ve (5,12,13) üçlüsü için de 5²=12+13 ve (11,60,61) üçlüsü için 11²=60+61 olur.
İspat:
Şimdi Öklit Formülü’nden yararlanarak bu kuralı ispat edelim. b ile c ardışıksa b+1=c olur. Buradan c–b=1 yazabiliriz.b yerine 2mn ve c yerine de m²+n²yazarsak b+1=c ifadesi şu şekle bürünür: m²+n² – 2mn=1
Buradan: (m-n)²=1 elde edilir. Her iki tarafın karekökünü alırsak: m-n=1 elde ederiz. (m>n olduğunu farz ettik. Bu yüzden negatif kökü dikkate almadık.)
Şimdi: a=m²-n² idi. Buradan: a=(m-n)(m+n) olur. Ama m-n=1 olduğunu göstermiştik. Bu durumda: a=1×(m+n) yani a=m+n olur. Her iki tarafın karesini alırsak:
a²=(m+n)² ve a²=m²+2mn+n² elde edilir. Bu ifadedeki terimleri düzenlersek: a²=2mn+m²+n² Yani: a²=(2mn)+(m²+n²) Ama b=2mn ve c=m²+n² olduğunu anımsarsak: a²=b+c elde edilir ki zaten ispatlamaya çalıştığımız da buydu.
Devam edersek: Eğer (a,b,c) Pisagor Üçlüsünde b ile c’nin farkı 2 ise o zaman da şöyle bir kural vardır: a²/2=b+c
Örneğin (8,15, 17) üçlüsü böyle bir üçlüdür. (Yani 17 ile 15’in farkı 2). Yani; 8²/2=15+17 Bu kuralın ispatını da alıştırma olarak size bırakıyorum.
Pisagor Üçlüleri ile ilgili bir de uzun süre kanıtsız bekleyen problem vardır.
Pisagor üçlüleri problemi
Problem, her pozitif tam sayının mavi ya da kırmızı olarak boyanmasını ancak Pisagor denklemini a² + b² = c² sağlayan a,b,c, sayılarının aynı renkte olmamasını hedefler.
2016 Mayıs ayında Marijn Heule, Oliver Kullmann ve Victor Marek tarafından verilen “Pisagor üçlüleri problemi”nin çözümü, Texas İleri Hesaplama Merkezi’ndeki Stampede bilgisayarı yardımıyla üretildi. Bu çözümün ispatı ise 200 terabit hacmindedir.
Sinan İpek
Matematiksel
[i] Ardışık sayılar içeren Pisagor Üçlülerine İkiz Pisagor Üçlüsü denir. Örneğin (3,4,5) ve (7,24,25) ikiz Pisagor Üçlüleridir.
