Pisagor Üçlüleri ve Öklid Kuralı

(3,4,5), (5,12,13) ve (8,15,17) gibi Pisagor Teoremi’ni sağlayan sayı üçlülerine Pisagor Üçlüsü denir.

Bir Pisagor Üçlüsü’nde en büyük sayı hipotenüstür. Hipotenüsü 100’den küçük olan bütün Sadeleşmeyen Pisagor Üçlüleri şunlardır:

(3, 4, 5)                 (5, 12, 13)            (8, 15, 17)            (7, 24, 25)

(20, 21, 29)         (12, 35, 37)         (9, 40, 41)            (28, 45, 53)

(11, 60, 61)         (16, 63, 65)         (33, 56, 65)         (48, 55, 73)

(13, 84, 85)         (36, 77, 85)         (39, 80, 89)         (65, 72, 97)

Bu liste sadeleşebilen üçlüleri içermiyor. Çünkü, örneğin (6,8,10) gibi bir Pisagor Üçlüsü sadeleştirildiğinde (3,4,5) üçlüsü elde edilir ki o da zaten listede mevcuttur.

Öklit Formülü:

m ve n aralarında asal doğal sayılar olmak üzere;

a=m²–n²

b=2mn

c=m²+n²

ise (a, b, c) sıralı üçlüsüne bir Pisagor Üçlüsü denir.

Örneğin:

m=3 ve n=2 alırsak

a=3²–2²=5

b=2×3×2=12 ve c=3²+2²=13 olur ki bu da bize (5,12,13)  üçlüsünü verir.

Pisagor Üçlüleri İle İlgili Basit Bir Kural:

Eğer bir Pisagor Üçlüsünde b ile c ardışıksa[i]

a²=b+c olur. Örneğin:

(3,4,5) üçlüsü için 3²=4+5 ve

(5,12,13) üçlüsü için de  5²=12+13 ve

(11,60,61) üçlüsü için 11²=60+61 olur.

İspat:

Şimdi Öklit Formülü’nden yararlanarak bu kuralı ispat edelim.

b ile c ardışıksa b+1=c olur. Buradan c–b=1 yazabiliriz.

b yerine 2mn ve c yerine de m²+n²yazarsak:

b+1=c ifadesi şu şekle bürünür:

m²+n²–2mn=1

Buradan:

(m–n)²=1 elde edilir. Her iki tarafın karekökünü alırsak:

m–n=1 elde ederiz. (m>n olduğunu farz ettik. Bu yüzden negatif kökü dikkate almadık.)

Şimdi:

a=m²–n² idi. Buradan:

a=(m-n)(m+n) olur. Ama m–n=1 olduğunu göstermiştik. Bu durumda:

a=1×(m+n)

a=m+n olur. Her iki tarafın karesini alırsak:

a²=(m+n)²

a²=m²+2mn+n² elde edilir. Bu ifadedeki terimleri düzenlersek:

a²=2mn+m²+n²

Yani:

a²=(2mn)+(m²+n²) Ama b=2mn  ve c=m²+n² olduğunu anımsarsak:

a²=b+c elde edilir ki zaten ispatlamaya çalıştığımız da buydu.

Devam edersek:

Eğer (a,b,c) Pisagor Üçlüsünde b ile c’nin farkı 2 ise o zaman da şöyle bir kural vardır:

a²/2=b+c

Örneğin (8,15, 17) üçlüsü böyle bir üçlüdür. (Yani 17 ile 15’in farkı 2). Yani;

8²/2=15+17 Bu kuralın ispatını da alıştırma olarak size bırakıyorum.

Sinan İpek

Matematiksel

 

—————

[i] Ardışık sayılar içeren Pisagor Üçlülerine İkiz Pisagor Üçlüsü denir. Örneğin (3,4,5) ve (7,24,25) ikiz Pisagor Üçlüleridir.