Geometri

Pi Sayısının Sözde Gizemi ve Tanımındaki Çelişki!

İnternette pi sayısı hakkında bir video var belki görmüşsünüzdür. Meşhur Lost’daki efsane karakter Benjamin Linus’ün başrolü olarak oynadığı Person of Interest adlı dizideki bir sahneden bahsediyorum. Lütfen önce izleyin.

İzlediğiniz üzere sınıf yönetimine çok iyi hâkim olan bir öğretmen, şımarık öğrencilerinin kısa sürede ilgisini çekmeyi başarıyor ve hikâye başlıyor. Pi sayısının öneminden bahseden öğretmenimiz ilgi çekmek için; Yok pi sayısının içinde SGK numaramız varmış! Yok TC numaramız varmış! Yok annemizin kızlık soyadının 3. karakteri varmış! gibi bir sürü gizem yaratıyor. Az önceki şımarık öğrenciler de uslu uslu ellerindeki telefonları bir kenara bırakıp öylece bakakalıyorlar.

– Öğretmenimiz dediklerinde haklı mı?

– Evet, haklı ama kimse pi sayısının gerçekten ne olduğunu anlamadı!

Peki, Pi sayısı nedir? Pi Sayısının Gizemi Nedir? Gizemliyse bu gizem nereden geliyor?

Öncelikle pi sayısı [ir-rasyonel=irrational] bir sayıdır. Yani rasyonel olmayan bir sayıdır. Diğer bir deyişiyle iki rasyonel sayının oranı biçiminde (𝑎/ 𝑏 şeklinde) yazılamayan bir sayıdır. Ancak b=0 ol(a)mayacak. (*ratio: oran, kesir). Ayrıca irrasyonel sayıların virgülden sonraki basamakları düzensiz bir şekilde sonsuza kadar devam eder. Bunları bildiğinizi varsayıyorum. Devam edelim.

Pi sayısının tanımı her yerde bir çemberin ya da dairenin çevre uzunluğunun çapına oranı diye geçer. Kaba tabiriyle iki boyutlu yuvarlak cisimlerin, daha matematikçesiyle bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesinin oluşturduğu şekil bir çemberdir.

Her çemberin çevresini çapına bölerseniz -yaklaşık olarak- hep aynı sayıyı bulursunuz. İşte bu sayı çemberin tanımına sadık kalmaya çalışmak şartıyla, bir çemberin ne kadar çember olduğunun bir göstergesi olarak kullanılabilir ve buna da pi sayısı diyelim de adı belli olsun. Sonuçta özel bir sayı. Şimdi de pergel yardımıyla çevre ve çap uzunluklarının verilen iki çember çizdiğimizi düşünelim.

Farklı çemberler için pi sayısının hesabını yapmaya çalıştığınızda, aynı sonuca ulaşmanız pek mümkün değildir ve virgülden sonraki basamaklarında sonsuza giden düzensiz sayılar asla bulamazsınız. Çünkü
sıfır olmayan iki rasyonel sayıyı birbirine bölüyorsunuz. Bu da bir rasyonel sayı getirir. Rasyonel sayıların da mutlaka virgülden sonraki hanelerinin bir yerde sonlandığını ya da devirli sayılarda olduğu üzere bir düzen teşkil ettiğini biliyoruz. Şimdi burada benim hikâyem başlıyor. Buraya kadar gerçekten anlayarak dikkatli bir şekilde okuduysanız kafanızı karıştıran iki şeyin olması lazım.

Birincisi, pi sayısı irrasyoneldi ve a/b şeklinde yazılamazdı. Ama pi sayısının tanımı zaten iki sayının birbirine oranı, bu nasıl oluyor? Şimdi gelelim cevaplara…

(1) Pi sayısının tanımını çevre/çap şeklinde ifade etmekten başka şansımız yoktur. Burada farkında olunması gereken nokta bu tanımda çevre ya da çap uzunluklarından birinin irrasyonel olduğudur. Yani ikisi birden rasyonel değildir. Ancak böyle olursa tanımdaki çelişki kaldırılabilir ve pi irrasyonel olabilir.

Ç𝑒𝑣𝑟𝑒 = 𝜋. 𝑅

Bu denklemde eğer çevre bir rasyonel sayı ise çapın şeklinde irrasyonel bir sayı olması gerekir. 𝑅 =𝑛 / 𝜋 (𝑛 sıfırdan farklı rasyonel sayı) [1]. İkincisi, kafaları karıştıran bir diğer şey de pi sayısının virgülden sonraki basamaklarının sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam ederdi. Ama yukarıdaki hesaplar öyle demiyor!

(2) Çemberi yusyuvarlak iki boyutlu bir cisim ya da sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesi olarak tanımlamanın dışında bir yol daha var. O da şu: Sonsuz kenarlı düzgün bir çokgen çember belirtir.

Bu sayede pi sayısının irrasyonel olduğu ve neden virgülden sonraki basamaklarının sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam ettiğini anlayabileceğiz. Düzgün çokgenin kenar sayısını artırdıkça daha kusursuz bir çember elde edersiniz. 10000000 kenarlı bir düzgün çokgen, 100 kenarlı düzgün bir çokgenden daha çok çemberdir diyebiliriz. Düzgün çokgenin kenar sayısını artırmanın bir sınırı olmadığı için pi sayısının da virgülden basamakları sonsuza kadar devam eder ve yapılan hesapları incelediğimizde herhangi bir örüntü bulamayız.

Çemberin tanımını düzgün bir çokgenin kenar sayısını sonsuza götürmekle elde edilen cisim olarak tanımladığımız için doğal olarak da yapacağımız hesaplamaların bir sonu yoktur. Her bir hesaplamadan daha iyi, daha hassas bir hesap mutlaka vardır. Ve bu bitmek bilmeyen bir hesaptır. Pi sayısını bu şekilde anlattığımızda aslında çok da ilginç olmadığını anlıyoruz. Bir de pi sayısına sabit demek de çok doğru değildir. Çünkü sonlanmayan bir hesap var ortada.

Her Ölçüm Hatalıdır!

Bir de yukarıdaki çemberlerin çevre ve çap ölçümlerinin hatasız bir şekilde ölçülmediğini söylemek mümkün müdür? Fizikte genel bir kabul vardır. Hatasız bir ölçüm asla mümkün değildir. Yani her ölçüm ihmal edilebilecek kadar da olsa hata payı içerir. Belki de yukarıdaki ikinci çemberin çevresi 22 değil de 22,01 veya 22,000001 idi. Gördüğünüz üzere kusursuz bir ölçüm asla mümkün değil.

Kültürel Bilgi: 400’lü yıllarda yaşamış olan ve 10’luk sistemin de ilk kurucusu olduğu kabul edilen Hint matematikçi Aryabhata; 384 kenarlı bir düzgün çokgen yardımıyla pi sayısını 3,1416 hesapladığı rivayet edilir. Nasıl çizip hesapladıysa artık bu da o onun marifeti. Kim milyoner olmak ister tarzı yarışmalarda bir gün çıkar belki 🙂

Aryabhata (476-550)

Bu açıklamalardan sonra Benjamin Öğretmenimize iki çift lafım var: Tabi ki de sonsuza kadar karışık bir şekilde devam eden bir sayı dizesinin bir yerinde benim TC numaram yazar, senin SGK numaran yazar, ötekinin de ne bilim diploma numarası falan yazar, yazar yani… Sonsuz çünkü.
Bu yazıda pi sayısının gizemsiz sıradan bir sayı olduğunu iddia etmiyorum. Sadece bu gizemin nereden kaynaklandığını fark etmediğimizi ve popüler bilim uğruna içi doldurulmamış boş bir hayranlık uyandırma çabası olduğundan bahsediyorum. Özet olarak, Pi sayısının gizemi kusursuz bir çemberin ne olduğu konusunda yatıyor.

Yukarıdaki iki çelişkili gibi gözüken ama aslında öyle olmayan açıklamasını verdiğimiz iki durumu da fark edenleri tebrik ederek felsefeye kaçan birkaç kelam daha edelim.

“Sonsuz düzensizlik içinde küçük bir düzen yakalamak”

Yukarıda yüzyıllar önce matematikçilerin verdiği çabalar sizce de sadece sonsuz bir düzensizlik içinde küçük bir düzen yakalamaya çalışmak değil midir? Bizlerde çok büyük matematiksel denklemlerin olduğu koca bir evrende kendimize küçük düzenler yakalamak istemiyor muyuz?

Belki de yakaladığımız bu küçük düzenlerle ortada müthiş bir düzeninin olduğunu ispatlamaya çalışan matematikçiler var. Son olarak; aynı hikâye √2 sayısı için de uydurulabilir ya da herhangi bir irrasyonel sayı için. Teşekkürler…

Konuk Yazar: Osman Bağcı

Göz atmak isterseniz:

Referans: [1] https://www.quora.com/What-number-times-pi-equals-a-whole-number

Matematiksel

Editör

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.