Pell Sayı Dizisi ve Gümüş Oran

Matematikle az çok ilgili olan herkes, önemli kavramlardan olan Fibonacci dizisini ve altın oranı bilir. Matematiğin vitrin konularından olan bu iki kavram kadar ilginç olan bir dizi ve oran daha var: Pell sayı dizisi ve gümüş oran…

Pell Sayı Dizisi

eşitliği Pell denklemi (John Pell, 1611-1685) olarak bilinir.  x  ve y tamsayıları bu denklemin kökleri ise,  x/y  oranı sayısına yakınsar.

elde ettiğimiz bu dizinin paydalarını inceleyelim:

dizisine Pell sayı dizisi denir. Pell dizisini,

veya

                                                                          

şeklinde gösterebiliriz.

Tanımlamamızı yaptıktan sonra Pell dizisinin ilginç yönlerini ortaya koyalım. İlk olarak Pell dizisinin, Pisagor üçlülerinin bazıları ile yakın bir ilişki içinde olduğunu göreceğiz.

üçlüsü bir Pisagor üçlüsünü temsil eder.

birer Pisagor üçlüsüdür.

Gümüş Oran

eşitliğini ele alalım. Gerekli düzenlemeyi yaparsak,

elde ederiz. Şimdi eşitliği  ye bölelim:

                                                           

tanımlaması yaparsak, yukarıdaki denklemden,

elde ederiz. Denklemi çözdüğümüzde     bulunur. Bu sayıya gümüş oran (δ) denir.  Fibonacci dizisi ile altın oran arasındaki ilişkiyi hatırlayalım. Dizide bir sayının, kendisinden önceki sayıya oranı, gitgide bir sayıya yakınsar ve bu sayıya altın oran(φ) denmiştir. Benzer bir ilişki, Pell sayı dizisi ve gümüş oran arasında da var.

bu oranlar gitgide gümüş orana yakınsar. 

  • Gümüş Oranın Kuvvetleri

eşitliğinden yararlanarak, 

Eşitliklerin sağındaki iki terimin katsayıları da Pell sayısının terimleri olarak karşımıza çıkıyor. Gümüş oranının kuvvetlerini,

olmak üzere,

şeklinde yazabiliriz. 

  • Peki Neden “Gümüş” ?

ifadesi,

denkleminin köküdür.

    1. n=1 ise Altın Oran φ=1,618…
    2. n=2 ise Gümüş Oran δ=2,414…
  • Geometride Gümüş Oran
    Düzgün beşgen ile altın oran arasındaki ilişkinin bir benzeri düzgün sekizgen ile gümüş oran arasında da var.
Pell sayı dizisi ile türetilen koordinatlarla çizilen sekizgen
Gümüş dikdörtgenler yardımıyla çizilen iki logaritmik spiral

Kaynaklar: 

http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html

Variations on a Theme of the Silver Ratio, Dann Passoja, 2015

https://prezi.com/ifwktoptwaob/pell-numbers-the-silver-ratio/

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/05_3_52_60_ALTINORAN.pdf

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Şevket Üncü

Hakkari Anadolu Lisesi, Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi Matematik Öğretmenliği mezunuyum. Şu an MEB'te çalışmaktayım. Yüzüncü Yıl Üniversite Eğitim Fakültesinde gecikmeli diferansiyel denklemler için nümerik çözümler üzerine yüksek lisans eğitimim devam ediyor. Matematikle yaşamaktan ve matematiği araştırmaktan çok keyif alan biriyim.

Bunlara da Göz Atın

Diklik Merkezi

  Aşağıda ne görüyoruz? Üç kenar, üç köşeden oluşan bir şekil. Kısaca üçgen! Sade, yalın …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');