Parmak İzinin Topolojisi

Günlük yaşamımızda genellikle matematiğin işe yaramayacağını düşünürüz, oysa ki matematik bizimle birlikte doğar. Bizi şifreleyen DNA’mızda, bizim kim olduğumuzu ele veren parmak izimizde ve hatta Facebook’taki arkadaş sayımızda bile matematik vardır. O halde, haydi gelin, şimdi hep birlikte rotamızı, soruların cevap bulduğu ve gerçeğin var olduğu yere doğru çevirelim ve matematik limanına doğru bir seyahate çıkalım.

“Matematik bizimle birlikte doğar,” iddiasında bulunduktan sonra, bedenimizin bize matematikle ilgili öğretebilecekleriyle işe başlamak, beklenen bir yönelim olur, öyle değil mi? Çocukların sayı saymayı el ve hatta bazen ayak parmaklarıyla öğrenmeye başladığını hepimiz biliyoruz. Vücudumuzun parmak ismini verdiğimiz bu uzantıları, tıp dilinde digit(digitus) olarak adlandırılır. Aynı kelimenin 10luk sayma sisteminde 0’dan 9’a kadar olan sayıların her birini de temsil etmesi basit bir tesadüften ibaret değildir. Vücudumuz bizim ilk aritmetik (matematiğin sayıları, sayılar arasındaki bağıntıları ve işlemleri konu alan dalı) öğretmenimizdir.

Bedenimiz ayrıca, ona izin verdiğimiz ve işaretleri doğru okuyup, yorumladığımız sürece, bizlere yüksek matematik de öğretmeye çalışır.  Şimdi gelin, bunun için, hep birlikte yeni doğmuş bir bebeğin saçlarına bakalım:

Bu, tatlı küçük kafanın tepesindeki “saç döngüsü” adı verilen ve çevresindeki saç tellerinin aksi yönünde hareket etme eğilimi gösteren saç kümesi, bebeğin saç tellerinin nereye doğru uzayacağını bilemediği bir karmaşıklık, matematiksel tabiriyle bir tekillik noktasıdır.   Bu saç kümesinin arka tarafındaki saçlar sola, ön tarafındaki saçlar sağa, yanlardaki saçlar ise canları nereye isterse oraya doğru uzar. Başın tam tepe noktasındaki bu saç döngüsünü tekil yapan şey, tam tepe noktadasında birdenbire ve düzensiz olarak değişen bir değişken (saçın yönü) dir.

Tekillikler söz konusu olduğunda, sadece bedenimizden bahsetmek doğru olmaz. Doğanın kendisi de tekilliklerle doludur. Bir kasırga hayal edelim. Kasırganın odağındaki rüzgar, herhangi bir yöne esmez, fakat odaktaki rüzgara yakın rüzgarlar her yöne eser. Eşit derecede mantığa aykırı gibi gelen bir başka şey de Kuzey Kutbu’nda gerçekleşir. Eğer Lewis Carroll’un tarzına uyarak, Kuzey Kutbu’nda saatin kaç olduğunu sorarsanız, alacağınız en mantıklı cevap size bir şaka gibi gelebilir: bütün zamanlar. Gerçekten, içinde yaşadığımız zaman dilimleri, Kuzey Kutbu’nda yer alan ve bizi tekilliğe götüren tek bir noktaya yönelir. Bu tekillik noktasının bir adım dışına çıkarsak, kendimizi, farklı boylam çizgileri arasında yer alan herhangi bir zaman dilimine yerleştirebiliriz.

Tekillikler, doğanın uyumsuzlukları giderme ve her şeye rağmen sürekliliği devam ettirme girişiminden başka bir şey değildir. Saç tellerinin yönleri, rüzgar hareketleri veya zaman dilimleri arasında uyumsuzluk söz konusu olduğunda, bu uyumsuzlukları gidermek için doğanın bulduğu çözüm, onları olabilecek en küçük noktaya (tek bir noktaya) hapsetmek olmuştur. Tekilliklerin en dikkat çekici özelliklerinden birisi de devamlılıklarıdır. Büyüdükçe kafa tasınız ve kafa deriniz de sizinle birlikte büyür, fakat kafanızın tepesindeki o saç döneği asla kaybolmaz.

Topoloji, şekillerin sürekli deformasyondan (bozulmadan) sonra bile aynı kalan özellikleriyle ilgilenen bilim dalı olarak tanımlanır. Bunun ne anlama geldiğini gözümüzün önüne getirebilmek için, bir bebeğin saçlarının ince bir elastik kumaş üzerine resmedildiğini hayal edelim. Şimdi bu kumaşın şeklini bozalım, onu uzatalım, bükelim, döndürelim, fakat asla kesmeyelim veya bir parçasını başka bir parçasına tutturmayalım. Bu gayretimiz, kumaşa resmettiğimiz çizimin geometrik yapısını bozacaktır, fakat çizimin topolojik yapısı aynı kalacaktır.

Saç tellerimizi rahat bırakıp, parmak uçlarımıza veya avuç içlerimize daha yakından bakmaya ne dersiniz? Tüm o düzgünce sıralanmış çizgileri görüyorsunuz değil mi? Cildimizin küçük kısımlarında birbirlerine neredeyse paralel yerleşen bu çizgiler, doğanın sürekliliği devam ettirme çabalarının bir diğeridir. Fakat bazen, bu neredeyse paralel olma hali herkesi aynı anda memnun etmez ve parmak uçlarımızdaki veya avuç içlerimizdeki çizgilerin bazıları komşularıyla paralel paralel yaşamak isterken, bazıları da mahalleye yeni gelenlerle kaynaşmak ister. Çizgiler arasındaki bu çatışma hali, kaçınılmaz süreksizlikler (tekillikler) yaratır ve bunlar sadece el falı bakanların ya da polisin ilgi alanına girmez, girmemelidir. Eğer işaretleri doğru okursak, bu çatışmaların bize, bedenimizin bir topoloji dersi verme çabası olduğunu anlayabiliriz.

Parmak uçlarımıza baktığımızda, sadece birkaç değişik türde tekillik olduğunu fark edebiliriz. Bunlardan en çok bilinen iki tanesi triradius (üçyarıçap)

ve ilmektir:

Diğer tüm tekillikler bu ikisinden elde edilebilir. Örneğin, düğüm olarak bilinen tekillik çeşidi

iki ilmeğin birleşimine karşılık gelir:

1965’te, İngiliz medikal genetikçi Lionel Penrose, parmak ve avuç içi izlerinin evrensel bir kurala uyduğunu göstermiştir. Bu kurala göre, kişisel örüntülerin neye benzediğinden bağımsız olarak, beş parmağa sahip olan herkes, ilmeklerden dört fazla sayıda triradius-a sahip!  Burada şöyle inanılmaz bir ironi var: parmak ve avuç içlerimiz her ne kadar; bizim, birbirimizden ayırt edilmemize olanak sağlayan belirginliklerimiz olarak anılsa da, bu izlerin geometrileri arasındaki fark o kadar da belirgin değil. Yani aynı topolojik kural hepimiz için geçerli!

Penrose, bulduğu bu kuralı, bazı genetik anormalliklerden dolayı beş parmaktan farklı sayıda parmakla doğan insanları da kapsayacak biçimde genelleştirdi ortaya şöyle bir formül çıktı:

T-L=D-1

Burada, D her eldeki parmak sayısını, T eldeki triradiusların ve L de ilmeklerin sayılarını belirtiyor. Penrose’un kuralına göre, bir eldeki triradiuslarla, ilmekler arasındaki fark, eldeki parmak sayısından bir eksik.

1979’da Penrose’un, bir matematiksel fizikçi olan oğlu Roger, babasına ithaf ettiği ilgi çekici makalesinde, babasının bulduğu bu kuralın topolojik olarak da doğru olduğunu kanıtladı.

Ben de Roger Penrose’un açtığı yolu takip ederek, bu yazıyı dünyanın en önemli matematiksel biyologlarından birisi olan ve çalışmalarının çoğunun bedenimizin ve beynimizin biyolojik saatlerinin tekillikleriyle ilgisi bulunan, Art Winfree’ye ithaf etmek istiyorum.

Art, yukarıda bahsettiğimiz topolojik temellendirmeleri kullanarak, kalp atışlarımızdan, uyku döngümüze kadar değişen düzenliliklerimizin kendi içlerinde birer Kuzey Kutbuna sahip olduklarını gösterdi. Bu sayede, Art, kendini tekrar eden bu uyumlulukların birer tekillik halini alabileceğini ve bu hayati öneme sahip bu döngüleri bir an için de olsa durdurabileceğini kanıtlamış oldu. Art’ın yaptığı bu çalışmalar, bugün çoğu doktorun ve biyomedikal uzmanının kalp ritmi bozukluğu ile ilgili çalışmasına ön ayak olmuş durumda. Bu ritim bozukluklarının failleri halen kaçak olsa da, yapılan çalışmalar bu bozuklukların önüne geçme konusunda umut vaadediyor.

Bu yazıyı, Sherlock Holmes’un, Art’ın da söylemekten oldukça keyif aldığı, şu sözüyle bitirmek istiyorum: “Singularity is almost invariably a clue. (Tekillik, adeta kaçınılmaz bir ipucudur.)”

Fatma Ayça Çetinkaya

Bu yazı, Stevan Strogatz tarafından 2012 yılında The NewYork Times gazetesi için yazılmıştır.

Kaynak ve ileri okuma: https://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/10/singular-sensations/

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Fatma Ayca Cetinkaya

Fatma Ayca Cetinkaya
Matematik alanındaki lisans derecemi Ankara Üniversitesi'nden, yüksek lisans ve doktora derecelerimi Mersin Üniversitesi'nden aldım. Halen Mersin Üniversitesi Matematik bölümünde Doktor Öğretim Üyesi unvanıyla çalışmaktayım. Okurum, yazarım, düşünürüm ve kendi halinde olan insanın seyircisinin fazla olduğuna inanarak bildiğim yolda yürümeye devam ederim.

Bunlara da Göz Atın

Matematik Henüz Sormadığımız Sorulara Nasıl Cevap Verebilir?

Matematik, evrene ilişkin sorularımıza doğru cevaplar sağlayan bir enstrüman olarak görülebilir. Örneğin, 2 elmamız olduğunu …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');